Вторая позиционная задача Построение линии пересечения двух поверхностей

Вторая позиционная задача Построение линии пересечения двух поверхностей Две поверхности пересекаются по линии (совокупности линий), которая одновременно принадлежит каждой из них. В зависимости от вида и взаимного положения поверхностей линия их пересечения может быть прямой, плоской или пространственной кривой. Построение этой линии (независимо от ее формы) сводится к построению ряда точек, одновременно принадлежащих каждой из пересекающихся поверхностей. Линия, в определенном порядке соединяющая эти точки, и будет искомой.

Способ вспомогательных поверхностей Основным способом построения точек, принадлежащих искомой линии пересечения, является способ вспомогательных поверхностей. Сущность его заключается в том, что каждая из искомых точек рассматривается как результат пересечения двух линий, одна из которых является линией пересечения вспомогательной поверхности с одной из заданных, а вторая - линией пересечения той же вспомогательной поверхности с другой из заданных поверхностей.

Вторая позиционная задача Определение линии пересечения двух поверхностей Схема решения Дано: поверхности Ф и 1. Проводим вспомогательную поверхность Σ. 2. Определяем линии а и b пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных: Σ ∩ = а Σ ∩ Ф = b. 3. Отмечаем точки А и В пересечения построенных линий а и b, которые являются искомыми а ∩ b = (А, В).

Построение линии пересечение двух плоскостей Линия пересечения двух плоскостей является прямой, следовательно, определяется двумя точками М и N, одновременно принадлежащими обеим плоскостям. Точку М искомой линии ℓ (MN) пересечения поверхностей Г и определяют по следующей схеме: 1) вводим вспомогательную плоскость Σ (проецирующую или уровня), пересекающую обе заданные: Σ ∩ Г, Σ ∩ Δ; 2) строим линии m и n пересечения вспомогательной плоскости Σ с каждой из заданных плоскостей: m = Σ ∩ Г , n = Σ ∩ Δ; 3) определяем точку М пересечения линий m и n, которая является искомой: M = m ∩ n. Точка N определяется по этой же схеме.

Построение линии пересечение двух плоскостей Задача. Построить линию k(DE) пересечения двух плоскостей общего положения Г(а, А) и Δ(b, B). Записать алгоритмы определения точек D и E.

Построение точки D линии пересечение двух плоскостей Г (А, а) и Δ(В, b) Алгоритм определения точки D: 1) Σ П 2 Σ ∩ Г, Σ ∩ Δ, А Σ, В Σ; 2) c =Σ∩Г, d = Σ ∩Δ ; 3) D =c∩d.

Введение вспомогательной плоскости Σ Алгоритм определения точки D Обозначаем на чертеже заданные плоскости Г(а, А) и Δ(b, B). Вводим фронтально проецирующую плоскость Σ, пересекающую заданные Г и Δ. 1) Σ ∩ Г, Σ ∩ Δ, Σ П 2, А Σ, В Σ;

Построение линий пересечения вспомогательной плоскости Σ с заданными Г и Δ Строим линии с и d пересечения вспомогательной плоскости Σ с каждой из заданных плоскостей. Плоскость Σ содержит фронтальные проекции с2 и d 2 линий с и d. 2) Σ ∩ Г= с(А, 1), Σ ∩ Δ= d(В, 2).

Построение горизонтальной проекции D 1 общей для плоскостей Г и Δ точки D По линиям связи по принадлежности (1 а, 2 b) находим горизонтальные проекции с1 и d 1 линий пересечения с и d. Горизонтальную проекцию D 1 общей для плоскостей Г и Δ точки D, определим в пересечении с1 и d 1

Построение фронтальной проекции D 2 общей для плоскостей Г и Δ точки D По линии связи по принадлежности плоскости Σ, определяем фронтальную проекцию D 2 общей для плоскостей Г и Δ точки D, пересечения линий с и d, которая является искомой. 3) D = с ∩ d.

Построение точки Е линии пересечение двух плоскостей Г (А, а) и Δ(В, b) Алгоритм определения точки E: 1) Σ′ II Σ Σ ′ ∩ Г, Σ′ ∩ Δ; 2) c′ =Σ′ ∩Г, d′ =Σ′ ∩Δ; 3) E =c′ ∩d′.

Введение вспомогательной плоскости Σ’ Алгоритм определения точки Е. Вводим вспомогательную проецирующую плоскость Σ′, пересекающую заданные Г и Δ параллельно Σ. 1) Σ′ ∩ Г, Σ′ ∩ Δ, Σ′ II Σ;

Построение линий пересечения вспомогательной плоскости Σ′ с заданными Г и Δ Строим линии с' и d' пересечения вспомогательной плоскости Σ' с каждой из заданных плоскостей. Плоскость Σ′ содержит фронтальные проекции с′ 2 и d′ 2 линий с′ и d′. 2) с′= Σ′ ∩ Г, 3 c′ II c, d′= Σ′ ∩ Δ, 4 d′II d

Построение горизонтальной проекции Е 1 общей для плоскостей Г и Δ точки Е По линиям связи по принадлежности находим горизонтальные проекции с′ 1 и d′ 1 линий пересечения с′ и d′. Горизонтальную проекцию Е 1 общей для плоскостей Г и Δ точки Е, определим в пересечении с′ 1 и d′ 1.

Построение фронтальной проекции Е 2 общей для плоскостей Г и Δ точки Е По линии связи по принадлежности плоскости Σ′, определяем фронтальную проекцию Е 2 общей для плоскостей Г и Δ точки Е, пересечения линий с' и d', которая является искомой. 3) E = с' ∩ d'.

Построение линии k(DE) пересечения плоскостей общего положения Г(а, А) и Δ(b, B) Через одноимённые проекции точек D и E проводим проекции линии k(k 2, k 1) пересечения плоскостей Г и Δ.

Пересечение двух плоскостей, заданных многоугольниками

Пересечение двух плоскостей, заданных многоугольниками Задача. Построить проекции линии пересечения k(DE) плоскостей Г(АВС) и Δ(KLMN). Записать алгоритмы определения точек D и E. Определить видимость. 1. Обозначаем на чертеже проекции заданных плоскостей Г и Δ.

Введение вспомогательной плоскости Σ Алгоритм определения точки D линии пересечения плоскостей Г и Δ. Вводим вспомогательную плоскость Σ через сторону треугольника АС 1) АС Σ П 2;

Построение линии m(1, 2) пересечения вспомогательной плоскости Σ с плоскостью Δ(KLMN) Вспомогательная плоскость Σ пересекает плоскость Δ(KLMN) по лини m(1, 2), фронтальная проекция (m 2) которой совпадает с фронтальной проекцией Σ 2 вспомогательной плоскости Σ Фиксируем фронтальные проекции точек пересечения Σ с LM – точка 1, с KN – точка 2.

Построение горизонтальной проекции (m 1) линии m пересечения плоскостей Σ и Δ По линиям связи по принадлежности сторонам параллелограмма LM и KN (плоскости Δ), определяем горизонтальные проекции точек 11 и 21. Проводим горизонтальную проекцию m 1 линии m пересечения плоскостей Σ и Δ. 2) Σ ∩ Δ= m(1, 2)

Построение точки D линии пересечения плоскостей Г и Δ Горизонтальная проекция m 1 линии m пересекает горизонтальную проекцию A 1 C 1 стороны треугольника AC в точке D 1 горизонтальной проекции точки D, которая является искомой. Фронтальную проекцию D 2 определим по линии связи по принадлежности AC. 3) D = AC ∩ m(1, 2).

Введение вспомогательной плоскости Т Алгоритм определения точки E Через сторону треугольника АВ (плоскости Г) вводим вспомогательную фронтально проецирующую плоскость Т 1) АB Т П 2;

Построение линии n(3, 4) пересечения вспомогательной плоскости T с плоскостью Δ(KLMN) Вспомогательная плоскость T пересекает плоскость Δ(KLMN) по лини n(3, 4), фронтальная проекция (n 2) которой ( совпадает с фронтальной проекцией Т 2 вспомогательной плоскости Т. Фиксируем фронтальные проекции точек пересечения плоскости Т с LM – точка 3, с KN – точка 4.

Построение горизонтальной проекции (n 1) линии n пересечения плоскостей T и Δ По линиям связи по принадлежности сторонам параллелограмма LM и KN (плоскости Δ), определяем горизонтальные проекции точек 31 и 41. Проводим горизонтальную проекцию n 1 линии n пересечения плоскостей T и Δ. 2) T ∩ Δ= n(3, 4)

Построение точки E линии пересечения плоскостей Г и Δ Горизонтальная проекция n 1 линии n пересекает горизонтальную проекцию A 1 B 1 стороны треугольника AB в точке E 1 горизонтальной проекции точки E, которая является искомой. Фронтальную проекцию E 2 определим по линии связи по принадлежности AB. 3) E = AB ∩ n(3, 4).

Построение линии (отрезка) k(DE) пересечения плоскостей Г и Δ Через одноимённые проекции точек D и E проводим проекции линии k(k 2, k 1) пересечения плоскостей Г и Δ.

Правила определения видимости проекций объектов Считаем плоскости непрозрачными. Плоскость закрывает часть другой плоскости, находящуюся за ней, или ниже. Линия пересечения плоскостей k(DE) видима на всех проекциях Линия пересечения меняет видимость на противоположную. Видимость определяется отдельно для каждой плоскости проекций. Видимость на фронтальной плоскости проекций П 2 (ближе, дальше) определяем с помощью фронтально конкурирующих точек. Видимость на горизонтальной плоскости проекций П 1 (выше, ниже) определяем с помощью горизонтально конкурирующих точек.

Определение видимости проекций многоугольников с помощью конкурирующих точек Определение видимости на П 2 Выделяем фронтально конкурирующие точки 2 и 5. Точка 5 принадлежит стороне АС треугольника Г(АВС). Точка 2 принадлежит стороне КN параллелограмма Δ(KLMN). По линии связи по принадлежности АС и КN находим горизонтальные проекции 51 и 21 конкурирующих точек.

Определение видимости проекций многоугольников на П 2 Точка 5, принадлежащая [AС] плоскости Г, ближе к наблюдателю, чем точка 2 стороны KN. Следовательно, на П 2 участок проекции A 2 С 2 от точки 52 до точки пересечения D 2 видимый – вычерчиваем толстой (основной) линией. После точки пересечения D видимость меняется на обратную. Участок стороны A 2 С 2 от 12 до проекции точки пересечения D 2 невидимый – вычерчиваем штриховой линией (штриховая линия невидимого контура). Линия k(DE) видима всегда. Тогда участок Е 2 42 – видимый. Отсек ВСDEB треугольника расположен перед параллелограммом.

Видимость проекций многоугольников на фронтальной плоскости проекций (вид спереди)

Определение видимости проекций многоугольников на П 1 Выделяем горизонтально конкурирующие точки 6 и 7. Точка 7 принадлежит стороне АВ треугольника Г(АВС). Точка 6 принадлежит стороне LМ параллелограмма Δ(KLMN). По линии связи по принадлежности АВ и LМ находим фронтальные проекции 72 и 62 конкурирующих точек. При рассмотрении фронтальных проекций этих точек замечаем, что точка 6 выше точки 7. Тогда L 1 М 1 – видим, а участок 71 Е 1 – нет (вычерчиваем штриховой линией). В точке Е видимость меняется на обратную. Отсек А 1 D 1 E 1 A 1 треугольника Г на П 1 видимый (сплошная толстая).

Видимость проекций многоугольников на горизонтальной плоскости проекций (вид сверху)

Видимость проекций многоугольников Алгоритм определения точки D: 1) АС Σ П 2; 2) m(1, 2) =Σ ∩ Δ; 3) D = m(1, 2) ∩ АС. Алгоритм определения точки E: 1) АB T П 2; 2) n(3, 4) =Σ ∩ Δ; 3) E = n(3, 4) ∩ АB. Содержание