Вступ в теорію ймовірностей Ярослав Притула @ Я.

Вступ в теорію ймовірностей Ярослав Притула @ Я. Притула 1

Теорія ймовірностей: поле чудес Ви берете участь у шоу, де вам пропонують знайти приз за однією з трьох закритих дверей. Ви вибрали одні двері, після чого ведучий відкриває одні з двох інших, де немає призу і пропонує вам подумати ще раз. Чи варто змінювати свою думку? Чи варто враховувати нову інформацію? Онлайн версія гри: http: //www. stat. sc. edu/~west/javahtml/Lets. Makea. Deal. html @ Я. Притула 2

Теорія ймовірностей: як знайти ймовірність? Зазвичай, говорячи про ймовірність настання певної події, починають з опису процесу, що нас цікавить, далі, розглядаємо всеможливі результати (елементарні події), виділяємо ті, що сприяють появі цієї події, і оцінюємо ймовірність настання цієї події. Найпростіший підхід – класичний підхід, коли де mx – кількість подій, що сприяють появі події х, n – кількість всеможливих рівноможливих подій. @ Я. Притула 3

Теорія ймовірностей: як знайти ймовірність? Часто, цього простого правила недостатньо і використовують інші підходи, зокрема емпіричний підхід (коли можна провести низку експериментів, тоді ймовірність настання події х рівна відносній частоті появи події х в цій низці повторюваних експериментів). Суб’єктивна оцінка ймовірності визначається на основі досвіду та суджень людини чи групи людей (як приклад – Метод Делфі). Теоретична оцінка визначається на основі певних формул. @ Я. Притула 4

Теорія ймовірностей: правила ймовірностей Протилежна подія до А – це подія, що стається якщо не стається А. Р(А)+Р(не А)=1 Перетин подій А і Б ( ) – це подія, що стається коли одночасно настають події А і Б. Об’єднання (сума) подій А і Б ( )– це подія, що стається коли настає або А, або Б, або обидві одночасно. Події А і Б – несумісні, якщо Правило додавання ймовірностей: Приклад. В рулетці ймовірність випадання парного числа = 18/37, більшого за 18 = 18/37, парного більшого за 18 = 9/37. Отже, ймовірність випадання або парного або більшого 18 = @ Я. Притула 5 18/37+18/37 -9/37=27/37.

Теорія ймовірностей: правило множення Умовна ймовірність події А при настанні додії Б – це ймовірність події А, якщо Б вже настала. Задача. Ви отримуєте приз якщо виграєте два тенісні матчі підряд. Можливими є дві схеми гри: любитель-чемпіон-любитель, або чемпіон-любитель-чемпіон. Чемпіон грає краще від любителя. Яку схему ви виберете? Правило незалежних подій. Якщо події А і Б – незалежні, то Задача. Бажаючи диверсифікувати ваші заощадження ви купили акції та облігації певної компанії. Чи зменшили ви ризик втрати коштів? @ Я. Притула 6

Теорія ймовірностей: дерево рішень Багато ймовірнісних задач, тобто задач з невизначеностями вирішуються за допомогою дерев рішень та дерев ймовірностей. Приклад. Ви виришуєте запустити новий товар але не впевнені в його успіх, тому було вирішено зробити дешевший пілотний проект, що дасть змогу вивчити ринок і збільшити ймовірність успіху товару, якщо ви всетаки вирішите його запускати. Ви оцінили такі ймовірності: - ймовірність успіху випуску товару = 0. 6; - ймовірність успіху в пілотному проекті = 0. 7; - ймовірність того, що успішними будуть або випуск товару або пілотний проект або обидвоє разом = 0. 75. Чи є зміст в пілотному проекті? @ Я. Притула 7

Теорія ймовірностей: дерево ймовірностей Дерево ймовірностей в нашому випадку буде таким: Успіх пілотного проекту 0. 55 0. 15 так 0. 7 так ні @ Я. Притула Тоді, наприклад, ймовірність успішного виходу товару при провальному пілотному проекті = 0. 05/0. 3=0. 167, В той же час ймовірність успішного виходу товару при успішному пілотному проекті = 0. 55/0. 7=0. 786. 0. 05 0. 3 ні 0. 25 8

Теорія ймовірностей: дерево рішень Приклад. Ви вирішуєте чи виходити на ринок з новим товаром, де монополістичне становище має ваш конкурент з річним доходом в 300 тис. Якщо ви вирішуєте вийти на ринок, то можливі два варіанти – ви ділите ринок навпіл – по 100 тис. кожен (вже немає монополістичної надбавки!) або ваш конкурент починає цінову війну, в результаті якої він втратить 100 тис. , а ви 200 тис. Чи виходити на ринок з цим товаром? @ Я. Притула 9

Теорія ймовірностей: дерево рішень е дит о вих д цін ов Ви не конкурент ь тис іли ав ви хо ди те ійн а 0 грн. для вас 300 тис. для конкурента 100 тис. для вас 100 тис. для конкурента -200 тис. для вас -100 тис. для конкурента Що буде, якщо ймовірні втрати конкурента від цінової війни є невизначеними і ви прогнозуєте, що конкурент втратить 100 тис. з ймовірністю 1/3, буде “в нулях” з ймов. 1/3 і заробить 120 тис. з ймов. 1/3? @ Я. Притула 10

Теорія ймовірностей: суб’єктивність Психологи визначили, що людина часто помиляється в своїх суб’єктивних судженнях, особливо коли мова йде про оцінки ймовірностей малоймовірних подій. @ Я. Притула 11

Випадкові величии Випадкова величина приймає ті чи інші значення з певними ймовірностями. Приклади: обмінний курс, ціна нафти, банкрутство. Випадкова величина може бути дискретною та неперервною. Приклад. Обсяг продажу автомобілів автосалоном в наступному кварталі – дискретна величина, що приймає всеможливі значення між 0 (малоймовірно) і, наприклад, 100 (також малоймовірно). Більш ймовірним буде продаж, наприклад 55 автомобілів. @ Я. Притула 0 55 100 12

Випадкові величии Ці ж дані можна подати в таблиці: Х 0 1 2 3 . . . 52 53 54 55 56 57. . . 98 99 100 р 0. 01 0. 02 . . . 0. 06 0. 01 0. 07 0. 08 0. 09 0. 08 0. 01 Щоб знайти найбільш очікуване значення (математичне сподівання) треба: Яка різниця між середнім значенням та математичним сподіванням? @ Я. Притула 13

Випадкові величии Щоб знайти стандартне відхилення випадкової величини треба: Яка різниця між стандартним відхиленням даних та стандартним відхиленням випадкової величини? Приклад. Ви розглядаєте можливість інвестиції 12 тис. в три проекти А, В та С. Через рік проект А гарантовано дає 14 тис. , проект В дає або 10 тис. або 20 тис. з ймовірністю 0. 5, проект С дає 0 з ймов. 0. 98 і 1 млн з ймов. 0. 02. Куди вам інвестувати? Очікувана дохідність проектів, Е(А)=14000, Е(В)=10000*0. 5+20000*0. 5=15000, Е(С)=0*0. 98+1000000*0. 02=20000. Невже С – найкращий проект? @ Я. Притула 14

Випадкові величии Приклад. (продовження) Порахуємо стандартні відхилення: Який проект вибрати? @ Я. Притула 15

Математичні дії над випадковими величинами Множення випадкової величини на константу Додавання випадкових величин Множення випадкових величин Х+Х = 2 Х ? @ Я. Притула 16