Встроенные функции «ЕСЛИ» и «Подбор параметра» в Excel

Решение нелинейных уравнений методом дихотомии (деление отрезка пополам)

Постановка задачи Дано нелинейное алгебраическое уравнение f(x)=0 Решить уравнение – это найти такое x* ∈ R: f(x*)=0. Значение x* называют корнем уравнения. Методы решения нелинейного уравнения можно разделить на точные (аналитические) и приближенные (итерационные). В точных методах корень представляется некоторой алгебраической формулой. Например, решение квадратных уравнений, некоторых тригонометрических уравнений и т. д. В приближенных методах процесс нахождения решения, вообще говоря, бесконечен. Решение получается в виде бесконечной последовательности {xn}, такой, что . По определению предела, для любого (сколь угодно малого) ε, найдется такое N, что при n>N, |xn – x*|< ε. Члены этой последовательности xn называются последовательными приближениями к решению, или итерациями. Наперёд заданное число ε называют точностью метода, а N – это количество итераций, которое необходимо выполнить, чтобы получить решение с точностью ε.

Наиболее часто используется следующий критерий остановки итерационного процесса: |xn+1–xn|<ε, т.е. разница между соседними итерациями становится малой. Также для окончания итерационного процесса используется условие |f(xn)|<ε , где f(xn) – невязка метода. Прежде чем использовать приближенный метод, уравнение надо исследовать на наличие корней и уточнить, где эти корни находятся, т.е. найти интервалы изоляции корней (отделение корней). Интервалом изоляции (отдделения) корня называется отрезок, на котором корень уравнения существует и единственен.

табличный, графический Графический способ – это построение графика функции f(x) и определение числа корней по количеству пересечений графика с осью x. Табличный способ – это построение таблицы, состоящей из столбца аргумента x и столбца значений функции f(x). О наличии корней свидетельствуют перемены знака функции. Чтобы не произошла потеря корней, шаг изменения аргумента должен быть достаточно мелким, а интервал изменения достаточно широким

Необходимое условие существования корня уравнения на отрезке [a,b]: Пусть f(x) непрерывна и f(a)f(b)<0 (т.е., на концах интервала функция имеет разные знаки). Тогда внутри отрезка [a, b] существует хотя бы один корень уравнения f(x)=0. Достаточное условие единственности корня на отрезке [a,b]: Корень будет единственным, если f(a)f(b)<0 и f /(x) не меняет знак на отрезке [a, b], т.е. f(x) – монотонная функция, в этом случае отрезок [a,b] будет интервалом изоляции. Если корней несколько, то для каждого корня нужно найти интервал изоляции.

Отделение корней x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 f(x) -79 -27 1 11 9 1 -7 -9 1 29 81

Метод деления отрезка пополам (дихотомии) Идея метода: Найдем середину отрезка [a, b]: c=(a+b)/2. Корень остался на одной из частей: [a, c] или [c, b]. Если f(a) * f(с)<0, то корень попал на отрезок [a, c], тогда деление отрезка можно повторить, приняв в качестве нового правого конца точку c, т.е. b=c. В противном случае корень попал на половину [c, b], и необходимо изменить значение левого конца отрезка: a=c. Поскольку корень всегда заключен внутри отрезка, итерационный процесс можно останавливать, если длина отрезка станет меньше заданной точности: |b – a|< ε

Графическая иллюстрация метода:

Условие присутствия корня где a0 , b0 - начальные границы интервала изоляции корня;

Подбор параметра