Временной ряд — это перечень значений случайной переменной

Временной ряд — это перечень значений случайной переменной в зависимости от времени. временной интервал между наблюдениями постоянен. В случае метеорологических временных рядов этот интервал простирается от малых долей секунды (для изучения турбулентности) до тысяч лет (для изучения колебаний климата).

Задачи статистического анализа временного ряда ¡ понять основные свойства временного ряда — изменчивость и характеристики его периодических и непериодических колебаний; знание этих свойств помогает разрешить основную задачу, а именно ¡ предсказать поведение временного ряда в будущем.

«стационарный» временной ряд ¡ Этот термин означает, что, несмотря на то, что отдельные флуктуации такого ряда могут быть вполне беспорядочными, все же определенные статистические характеристики будут оставаться постоянными от одного периода к другому (на протяжении всего временного ряда).

Выделение периодических циклов ¡ Годовой и суточный ход метеорологических элементов имеет тенденцию интерферировать друг с другом. Иначе говоря, характер годового хода температуры зависит от часа дня, в который произведены наблюдения, а суточный ход — от месяца или сезона.

ГОДОВОЙ ХОД

Анализ периодических флуктуаций ¡ Гармонический анализ ¡ Такой анализ помогает понять физическую сущность периодических флуктуации. Исходя из основных принципов математического анализа, любую функцию, заданную в каждой точке интервала, можно представить бесконечным рядом синусоидальных и косинусоидальных функций. Такой ряд называется рядом Фурье, а метод нахождения функций— анализом Фурье.

Нахождение конечной суммы членов с синусами и косинусами называют гармоническим анализом. ¡ Первая (или основная) гармоника имеет период, равный длине всего исследуемого периода (в приведенном выше примере — один год). Вторая гармоника имеет период, равный половине основного, третья — период, равный одной трети основного, и так до шестой гармоники, период которой равен 1/6 основного периода. Вообще говоря, если число наблюдений равно N, то число гармоник будет — N/2.

¡ Различные гармоники выделяются таким образом, что каждую из них можно рассматривать как независимый объект и объясняют различные гармоники разными физическими причинами. Например, первая гармоника суточного хода давления может быть обусловлена суточным нагревом под воздействием солнечной радиации, а вторая — приливо-отливными явлениями.

¡ Частовесь ход метеорологического элемента не может быть сразу объяснен, в то время как отдельные гармоники поддаются объяснению. ¡ Однакокаждая гармоника в отдельности не обязательно имеет отчетливый физический смысл.

¡ Не всегда требуется определить все — гармоники. Обычно изменение периодической функции достаточно хорошо описывается первыми двумя или в крайнем случае тремя гармониками.

Пусть случайная величина Хt задана следующей суммой: член с синусом и =0 членов с косинусом.

¡В этом выражении Р — основной период, или полный периодической функции. Р не всегда равно N. Если наблюдения производить каждые два часа для одного дня, то N=12, а Р=24. ¡ (Заметим, что Р выражается в единицах времени, a N —безразмерное число. ) ¡ Величина i называется номером гармоники и является целым числом между единицей и N/2.

Нахождение коэффициентов i здесь может иметь любое целое значение от 1 до (N/2 -1).

¡ Коэффициенты Ai и Bi не зависят от величины начала отсчета переменной X. ¡ Выбор начала отсчета времени также не имеет существенного значения. Изменение начала отсчета приведет к изменению Ai и Вi, но не повлияет на общую амплитуду гармоники.

Величины и можно сложить. Тогда получим где

Здесь Ci — амплитуда i-той гармоники, а ti — время, при котором i-тая гармоника имеет максимум. Таким образом, при известных C i и t i i-тую гармонику легко представить графически. При подсчете t i возникает трудность, связанная с тем, что arctg(Ai/Bi) имеет два значения в интервале от 0 до 360°. Для выбора правильного решения используется условие

«Какая часть общей дисперсии X учитывается первыми несколькими гармониками? » Если эта часть значительна, то не следует проводить дальнейшие расчеты. К счастью, формула для дисперсии, учитываемой единичной гармоникой i, проста: дисперсия за счет i-той гармоники равна для всех гармоник, за исключением последней, для которой эта дисперсия равна Часть дисперсии, о которой идет речь, может быть представлена в виде отношения величины или к общей дисперсии Так как все гармоники не коррелируют между собой, то никакие две гармоники не будут учитывать одну и ту же часть дисперсии X. Иными словами, дисперсии, учитываемые различными гармониками, можно складывать. Например, первая гармоника учитывает 30%, вторая 50%, 95% изменений X третья 15%

ИСКЛЮЧЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ЦИКЛОВ ¡ 1. Если период регулярного цикла короче, чем предполагаемые периоды нерегулярных колебаний, можно воспользоваться любым из двух методов: ¡ а) использовать только наблюдения в одной и той же точке цикла; например, можно было бы взять только наблюдения температур, проведенные в полночь, и тем самым избежать усложнений, вносимых суточным ходом температуры; ¡ б) использовать средние из всех наблюдений за полный регулярный цикл; например, можно было бы исключить влияние суточного хода температуры, оперируя только средними суточными температурами,

ИСКЛЮЧЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ЦИКЛОВ ¡ 2. Если по сравнению с периодами нерегулярных колебаний период регулярного цикла длиннее, то каждое наблюдение может быть выражено как отклонение от среднего или нормы. Например, если временной ряд состоит из средних месячных температур, то каждую из них можно заменить разностью между средней месячной температурой и климатической нормой температуры для того же месяца.

ВЫДЕЛЕНИЕ И АНАЛИЗ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ЦИКЛОВ ¡ Короткопериодические флуктуации настолько малого временного масштаба, что они проходят за половину или меньше половины периода между следующими друг за другом наблюдениями. ¡ Из-за недостаточной частоты наблюдений такие циклы не могут быть изучены. Влияние короткопериодических флуктуации может быть в значительной степени исключено с помощью методики осреднения, такой, как применение скользящих средних или скользящих сумм.

ВЫДЕЛЕНИЕ И АНАЛИЗ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ЦИКЛОВ ¡ Медленное, постепенное изменение случайной переменной в течение всего анализируемого периода. Такое постепенное изменение называется трендом. ¡ Тренд никогда не длится бесконечно, а скорее является частью колебаний с периодами, длительность которых сравнима с периодом наблюдений.

Тренд. Уравнение тренда – частный случай регрессии Температура воздуха 26 марта в Томске

y=ax+b tg(ά)=a α=0, 114 tr=1, 14 ºС/10 лет

ВЫДЕЛЕНИЕ И АНАЛИЗ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ЦИКЛОВ ¡ Нерегулярные колебания, характеризующиеся промежуточным временным масштабом.

¡ Спектр временного ряда аналогичен оптическому спектру. Оптический спектр показывает вклад различных длин волн или частот в энергию заданного источника света. Спектр временного ряда показывает вклад колебаний с разными частотами в дисперсию временного ряда. ¡ Площадь под дисперсионным спектром есть сумма вкладов отдельных частот в дисперсию. Эта сумма должна быть равна общей дисперсии. ¡ Иногда пользуются нормированным спектром. Такой спектр имеет площадь, равную единице, и получается путем деления всех ординат исходного спектра на дисперсию переменной X.

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ ¡ коэффициенты автокорреляции являются обычными коэффициентами линейной корреляции между временным рядом в данный момент времени и тем же временным рядом в последующий момент времени. Для практических целей коэффициенты автокорреляции определяют по формуле:

Коррелограмма выражает зависимость между коэффициентом автокорреляции и периодом запаздывания ¡ .