Временная стоимость денег n Одним из важнейших свойств

Временная стоимость денег n Одним из важнейших свойств денежных потоков является их распределенность во времени. При анализе относительно краткосрочных периодов (до 1 года) в условиях стабильной экономики данное свойство оказывает относительно незначительное влияние, которым часто пренебрегают 1

Временная стоимость денег n Определяя годовой объем реализации по предприятию, просто складывают суммы выручки за каждый из месяцев отчетного года. Аналогично поступают со всеми остальными денежными потоками, что позволяет оперировать их итоговыми значениями. 2

Временная стоимость денег n Однако в случае более длительных периодов или в условиях сильной инфляции возникает серьезная проблема обеспечения сопоставимости данных. Одна и та же номинальная сумма денег, полученная предприятием с интервалом в 1 и более год, в таких условиях будет иметь для него неодинаковую ценность. 3

Временная стоимость денег n Очевидно, что 1 млн. рублей в начале 2009 года был значительно весомее миллиона “образца” 2012 года. Как правило, в таких случаях производят корректировку отчётных данных с учётом инфляции. Но проблема не сводится только к учёту инфляции. 4

Временная стоимость денег n Одним из основополагающих принципов управления финансами корпорации является признание временной ценности денег, то есть зависимости их реальной стоимости от величины промежутка времени, остающегося до их получения или расходования. В экономической теории данное свойство называется положительным временным предпочтением. 5

Временная стоимость денег n n Наряду с инфляционным обесцениванием денег существует еще как минимум три важнейшие причины данного экономического феномена. Во-первых, “сегодняшние” деньги всегда будут ценнее “завтрашних” из-за риска неполучения последних, и этот риск будет тем выше, чем больше промежуток времени, отделяющий получателя денег от этого “завтра”. 6

Временная стоимость денег n Во-вторых, располагая денежными средствами “сегодня”, экономический субъект может вложить их в какое-нибудь доходное предприятие и заработать прибыль, в то время как получатель будущих денег лишен этой возможности. Расставаясь с деньгами “сегодня” на определенный период времени (допустим, давая их взаймы на год), владелец не только подвергает себя риску их невозврата, но и несет реальные экономические потери в форме неполученных доходов от инвестирования. 7

Временная стоимость денег n В-третьих, снижается его платежеспособность, так как любые обязательства, получаемые им взамен денег, имеют более низкую ликвидность, чем “живые” деньги. То есть у кредитора возрастает риск потери ликвидности, и это третья причина положительного временного предпочтения. 8

Временная стоимость денег n Естественно, большинство владельцев денег не согласны бесплатно принимать на себя столь существенные дополнительные риски. Поэтому, предоставляя кредит, они устанавливают такие условия его возврата, которые по их мнению полностью возместят им все моральные и материальные неудобства, возникающие у человека, расстающегося (пусть даже и временно) с денежными знаками. 9

Временная стоимость денег n Количественной мерой величины этого возмещения является процентная ставка. С ее помощью может быть определена как будущая стоимость “сегодняшних” денег (например, если их собираются ссудить), так и настоящая (современная, текущая или приведенная) стоимость “завтрашних” денег – например, тех, которыми обещают расплатиться через год после поставки товаров или оказания услуг. 10

Временная стоимость денег n В первом случае говорят об операции наращения, поэтому будущую стоимость денег часто называют наращенной. Во втором случае выполняется дисконтирование или приведение будущей стоимости к ее современной величине (текущему моменту) – отсюда термин дисконтированная, приведенная или текущая стоимость. 11

Временная стоимость денег n Операции наращения денег по процентной ставке более просты и понятны, так как с ними приходится сталкиваться довольно часто беря или давая деньги взаймы. 12

Временная стоимость денег n Однако для финансового менеджмента значительно более важное значение имеет дисконтирование денежных потоков, приведение их будущей стоимости к современному моменту времени для обеспечения сопоставимости величины распределенных по времени платежей. 13

Временная стоимость денег n В принципе, дисконтирование – это наращение “наоборот”, однако для финансовых расчетов важны детали, поэтому необходимо более подробно рассмотреть как прямую, так и обратную задачу процентных вычислений. Прежде чем рассматривать их применительно к денежным потокам, следует усвоить наиболее элементарные операции с единичными суммами (разовыми платежами). 14

Временная стоимость денег n Процентная ставка показывает степень интенсивности изменения стоимости денег во времени. Абсолютная величина этого изменения называется процентом, измеряется в денежных единицах (например, рублях) и обозначается I. Если обозначить будущую сумму S, а современную (или первоначальную) P, то I = S – P. 15

Временная стоимость денег n Процентная ставка i является относительной величиной, измеряется в десятичных дробях или %, и определяется делением процентов на первоначальную сумму: 16

Временная стоимость денег n Если абсолютная сумма процента (I) представляет собой прирост современной величины, то отношение этого прироста к самой современной величине и будет темпом прироста первоначальной суммы. Наращение первоначальной суммы по процентной ставке называется декурсивным методом начисления процентов. 17

Временная стоимость денег Кроме процентной существует учетная ставка (другое название – ставка дисконта), величина которой определяется по формуле: d = D/S = (S-P)/S, (2) где D – величина дисконта. n Сравнивая формулы (1) и (2) можно заметить, что сумма процентов и величина дисконта определяются одинаковым образом – как разница между будущей и современной стоимостями. Однако, смысл, вкладываемый в эти термины неодинаков. n 18

Временная стоимость денег n Если в первом случае речь идет о приросте текущей стоимости, своего рода “наценке”, то во втором - определяется снижение будущей стоимости, “скидка” с ее величины. (Diskont в переводе с немецкого означает “скидка”). 19

Временная стоимость денег Поэтому основной областью применения учетной ставки является дисконтирование, процесс, обратный по отношению к начислению процентов. Тем не менее, иногда она используется и для наращения. В этом случае говорят об антисипативных процентах. n 20

Временная стоимость денег n При помощи рассмотренных выше ставок могут начисляться как простые так и сложные проценты. При начислении простых процентов наращение первоначальной суммы происходит в арифметической прогрессии, а при начислении сложных процентов – в геометрической. Вначале более подробно рассмотрим операции с простыми процентами. 21

Временная стоимость денег Рассмотрим операции с простыми процентами. Начисление простых декурсивных и антисипативных процентов производится по различным формулам: n декурсивные проценты : (3) n антисипативные проценты: (4) где t – продолжительность срока, на который выдана ссуда, в годах. n 22

Временная стоимость денег n n n Для упрощения вычислений вторые сомножители в формулах (3) и (4) называются множителями наращения простых процентов: (1 + t i) – множитель наращения декурсивных процентов; 1 / (1 – t d) – множитель наращения антисипативных процентов. 23

Временная стоимость денег Например, ссуда в размере 1 млн. рублей выдается сроком на 0, 5 года под 20% годовых. В случае декурсивных процентов наращенная сумма (Si) будет равна: Si = 1, 0 (1 + 0, 5 0, 2) = 1, 1 млн руб. n Сумма начисленных процентов составит: I = 1, 1 – 1, 0 = 0, 1 млн руб. n Если же начислять проценты по антисипативному методу, то наращенная величина (Sd) составит: Sd = (1, 0 (1 / (1 – 0, 5 0, 2) =1, 111 млн руб. n Сумма процентов (D) равна 0, 111 млн руб. n 24

Временная стоимость денег Наращение по антисипативному методу всегда происходит более быстрыми темпами, чем при использовании процентной ставки. Поэтому банки используют этот метод для начисления процентов по выдаваемым ими ссудам в периоды высокой инфляции. Однако у него есть существенный недостаток: как видно из формулы (4), при t = 1 / d, знаменатель дроби обращается в ноль, и выражение теряет смысл. n 25

Временная стоимость денег n Вообще, начисление процентов с использованием ставки, предназначенной для выполнения прямо противоположной операции – дисконтирования – имеет оттенок некой “неестественности” и иногда порождает неразбериху (аналогичную той, которая может возникнуть у розничного торговца, если он перепутает правила определения скидок и наценок на свои товары). 26

Временная стоимость денег С позиции математики никакой сложности здесь нет, преобразовав (1), (2) и (4), получаем: (5) Соблюдая это условие, можно получать эквивалентные результаты, начисляя проценты как по формуле (3), так и по формуле (4). n 27

Временная стоимость денег n Антисипативным методом начисления процентов обычно пользуются в чисто технических целях, в частности, для определения суммы, дисконтирование которой по заданным учетной ставке и сроку, даст искомый результат. Ниже мы рассмотрим конкретные примеры возникновения подобных ситуаций. 28

Временная стоимость денег n Как правило, процентные ставки устанавливаются в годовом исчислении, поэтому они называются годовыми. Особенностью простых процентов является то, что частота процессов наращения в течение года не влияет на результат. 29

Временная стоимость денег n То есть нет никакой разницы начислять 30% годовых 1 раз в год или начислить 2 раза по 15% годовых. Простая ставка 30% годовых при одном начислении в году называется эквивалентной простой ставке 15% годовых при начислении 1 раз в полгода. 30

Временная стоимость денег Данное свойство объясняется тем, что процесс наращения по простой процентной ставке представляет собой арифметическую прогрессию: P, P+(P i), P+2 (P i), P+3 (P i), … . . , P + (k – 1) (P i) с первым членом a 1 = P и разностью d = (P i). n 31

Временная стоимость денег n n Наращенная сумма S есть ничто иное как последний k-ый член этой прогрессии (S = ak = P + t P i), срок ссуды t равен k – 1. Поэтому, если увеличить срок ссуды t и одновременно пропорционально уменьшить i, то величина каждого члена прогрессии, в том числе и последнего, останется неизменной. 32

Временная стоимость денег n Однако продолжительность ссуды (или другой финансовой операции, связанной с начислением процентов) t необязательно должна равняться году или целому числу лет. Напротив, простые проценты чаще всего используются при краткосрочных (длительностью менее года) операциях. 33

Временная стоимость денег n n В этом случае возникает проблема определения длительности ссуды и продолжительности года в днях. Если обозначить продолжительность года в днях буквой T (этот показатель называется временная база), а количество дней пользования ссудой n, то использованное в формулах (3) и (4) обозначение количества полных лет t можно будет выразить как n/T. 34

Временная стоимость денег Подставив это выражение в (3) и (4), получим: n для декурсивных процентов: (6) n для антисипативных процентов: (7) n 35

Временная стоимость денег n В различных случаях могут применяться различные способы подсчета числа дней в году (соглашение по подсчету дней). Год может приниматься равным 365 или 360 дням (12 полных месяцев по 30 дней в каждом). Проблема усугубляется наличием високосных лет. Например, обозначение ACT/360 указывает на то, что длительность года принимается равной 360 дням, а число дней в месяцах – фактическое. 36

Временная стоимость денег n Однако возникает вопрос, а как при этом определяется продолжительность ссуды? Например, если кредит выдается 11 марта со сроком возврата 15 июля этого же года, как считать его длительность – по календарю или исходя из предположения, что любой месяц равен 30 дням? 37

Временная стоимость денег n Безусловно, в каждом конкретном случае может быть выбран свой оригинальный способ подсчета числа дней, однако на практике выработаны некоторые общие принципы, знание которых может помочь инвестору сориентироваться в любой конкретной ситуации. 38

Временная стоимость денег n Если временная база (Т) принимается равной 365 (366) дням, то проценты называются точными. Если временная база равна 360 дням, то говорят о коммерческих или обыкновенных процентах. В свою очередь подсчет длительности ссуды может быть или приближенным, когда исходят из продолжительности года в 360 дней, или точным – по календарю или по специальной таблице количества дней в году. 39

Временная стоимость денег n Определяя приближенную продолжительность ссуды, сначала подсчитывают число полных месяцев и умножают его на 30. Затем добавляют число дней в неполных месяцах. Общим для всех способов подсчета является правило: день выдачи и день возврата кредита считаются за 1 день, который называют граничным днем. 40

Временная стоимость денег n Ввернемся к примеру: ссуда выдана 11 марта сроком до 15 июля. Точная длительность ссуды составит по календарю 126 дней (20 дней в марте + 30 дней в апреле + 31 день в мае + 30 дней в июне +14 дней в июле + 1 граничный день). 41

Временная стоимость денег Наиболее часто встречаются следующие комбинации временной базы и длительности ссуды (цифры в скобках обозначают соответственно величину n и T): 42

Временная стоимость денег n n n Точные проценты с точным числом дней (365/365). Обыкновенные (коммерческие) проценты с точной длительностью ссуды (365/360). Обыкновенные (коммерческие) проценты с приближенной длительностью ссуды (360/360). 43

Временная стоимость денег n Различия в способах подсчета дней могут показаться несущественными, однако при больших суммах операций и высоких процентных ставках они достигают весьма приличных размеров. 44

Временная стоимость денег n Предположим, что ссуда в размере 20 млн руб. выдана 1 мая с возвратом 31 декабря этого года под 24 % годовых (простая процентная ставка). Определим наращенную сумму этого кредита по каждому из трех способов. 45

Временная стоимость денег n Точное значение длительности ссуды равно 244 дня; приближенная длительность – 241 день (8 30 + 1). n n n 20 (1 + 0, 24 244/365)=23, 2088 млн руб. 20 (1 + 0, 24 244/360)=23, 2533 млн руб. 20 (1 + 0, 24 241/360)=23, 2133 млн руб. 46

Временная стоимость денег Разница между наибольшей и наименьшей величинами (23, 2533 – 23, 2088) означает, что должник будет вынужден заплатить дополнительно 44, 5 тыс. руб. только за то, что согласился (или не обратил внимания) на применение второго способа начисления процентов. n 47

Временная стоимость денег n Обратной задачей по отношению к начислению процентов является расчет сегодняшней (текущей) стоимости будущих денежных поступлений (платежей) или дисконтирование. 48

Временная стоимость денег n В ходе дисконтирования по известной будущей стоимости S и заданным значениям процентной (учетной) ставки и длительности операции находится первоначальная (сегодняшная, приведенная или текущая) стоимость P. 49

Временная стоимость денег n В зависимости от того, какая именно ставка – простая процентная или простая учетная – применяется для дисконтирования, различают два его вида: математическое дисконтирование и банковский учет. 50

Временная стоимость денег n Метод банковского учета получил свое название от одноименной финансовой операции, в ходе которой коммерческий банк выкупает у владельца (учитывает) простой или переводный вексель по цене ниже номинала до истечения означенного на этом документе срока его погашения. 51

Временная стоимость денег n Разница между номиналом и выкупной ценой образует прибыль банка от этой операции и называется дисконт (D). Для определения размера выкупной цены (а следовательно, и суммы дисконта) применяется дисконтирование по методу банковского учета. При этом используется простая учетная ставка d. 52

Временная стоимость денег Выкупная цена (современная стоимость) векселя определяется по формуле: P = S (1 - (n/T) d), (8) где n – срок, остающийся до погашения векселя, в днях. Второй сомножитель этого выражения (1–(n/T) d) называется дисконтным множителем банковского учета по простым процентам. При банковском учете применяются обыкновенные проценты с точной длительностью ссуды (2 вариант). n 53

Временная стоимость денег Пример. Владелец векселя номиналом 100 тыс. руб. обратился в банк с предложением учесть его за 72 дня до наступления срока погашения. Банк согласен выполнить эту операцию по простой учетной ставке 25% годовых. Выкупная цена векселя составит: P=100 000 (1 – 72/360 0, 25)=95 000 руб. Сумма дисконта будет равна: D = S – P = 100 000 – 95 000 = 5 000 руб. n 54

Временная стоимость денег При математическом дисконтировании используется простая процентная ставка i. Расчеты выполняются по формуле: P = S / (1 + (n/T) i). (9) n Выражение 1/(1 + (n/T) i) называется дисконтным множителем математического дисконтирования по простым процентам. n 55

Временная стоимость денег Пример. Покупатель обязуется оплатить поставщику n стоимость закупленных товаров через 90 дней после поставки в сумме 5 млн руб. Уровень простой процентной ставки составляет 25% годовых (обыкновенные проценты). Следовательно текущая стоимость товаров будет равна: P = 5, 0/(1 + (90/360) 0, 25) = 4, 706 млн руб. . 56

Временная стоимость денег Применив к этим условиям метод банковского учета, получим: P=5, 0 (1 – (90/360) 0, 25)=4, 6875 млн руб. Второй вариант оказывается более выгодным для кредитора. Следует помнить, что каких-то жестких требований выбора того либо иного метода выполнения финансовых расчетов не существует. n 57

Временная стоимость денег n Никто не может запретить участникам финансовой операции выбрать в данной ситуации метод математического дисконтирования или банковского учета. Существует, пожалуй, единственная закономерность – банками, как правило, выбирается метод, более выгодный для кредитора. 58

Временная стоимость денег n Основной областью применения простых процентной и учетной ставок являются краткосрочные финансовые операции, длительность которых менее 1 года. Вычисления с простыми ставками не учитывают возможность реинвестирования начисленных процентов, так как наращение и дисконтирование производятся относительно неизменной исходной суммы P или S. 59

Временная стоимость денег В отличие от простых процентов сложные ставки процентов учитывают возможность реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1+i). P, P/(1 + i)2, P/(1 + i)3 , …, P/(1 + i)t, где число лет ссуды t меньше числа членов прогрессии k на 1 (t = k – 1). n 60

Временная стоимость денег Наращенная стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле: S=P (1+i)t , (10) где (1 + i)t – множитель наращения декурсивных сложных процентов. n 61

Временная стоимость денег n С позиций финансового менеджера корпорации использование сложных процентов является более предпочтительным, т. к. признание возможности собственника в любой момент инвестировать свои средства с целью получения дохода является краеугольным камнем всей финансовой теории. При использовании простых процентов эта возможность часто не учитывается, поэтому результаты вычислений получаются менее корректными. 62

Временная стоимость денег Тем не менее при краткосрочных финансовых операциях по-прежнему широко применяются вычисления простых процентов, поскольку при длительности операций менее 1 года (t<1) начисление простых процентов обеспечивает получение результатов более выгодных для кредитора, чем использование сложных процентов. n 63

Временная стоимость денег Наиболее широко сложные проценты применяются при анализе долгосрочных финансовых операций (t > 1). На большом промежутке времени в полной мере проявляется эффект реинвестирования, начисления “процентов на проценты”. В связи с этим вопрос измерения длительности операции и продолжительности года в днях в случае сложных процентов стоит менее остро. n 64

Временная стоимость денег Важной особенностью сложных процентов является зависимость конечного результата от количества начислений в течение года. Здесь опять сказывается влияние реинвестирования начисленных процентов: база начисления возрастает с каждым новым начислением, а не остается неизменной, как в случае простых процентов. n 65

Временная стоимость денег Например, если начислять 20% годовых 1 раз в год, то первоначальная сумма в 10 тыс. руб. возрастет к концу года до 12 000 руб. (10 (1+ 0, 2)). Если же начислять по 10% каждые полгода, то будущая стоимость составит 12 100 руб. (10 (1 + 0, 1)2), при поквартальном начислении по 5% она возрастет до 12 155 руб. (10000 (1+0, 05)4). n 66

Временная стоимость денег n Итак, как отмечалось выше, формула, по которой определяется конечная сумма к оплате по кредиту (P) при начислении сложных процентов по кредиту (ставка процента r), через период времени t, имеет вид: FV = P × (1+ r)t. 67

Начисление процентов по кредиту Пример. Корпорация вложила 50 млн руб. свободных средств в Сбербанк под 12 % годовых сроком на 3 года. Какая сумма денег будет на счёте корпорации после трёх лет хранения денег? FV = 50 ×(1+0, 12)3 = 51, 8217 млн руб. 68

Временная стоимость денег При вложении денег на депозитный счет проценты могут начисляться m раз в год. В этом случае будущая стоимость вложенных сегодня денег в сумме Р руб. при годовой ставке начисленного дохода r через m периодов равна: 69

Временная стоимость денег Пример. Корпорация вложила 50 млн руб. в Сбербанк под 12 % годовых. Процентные платежи производятся ежеквартально, то есть m=4. Какая сумма денег будет на счету корпорации после 5 лет хранения денег? F = P (1+(r/m)m t = = 50 (1+(0, 12/4)4 5 = = 50 (1+0, 03)20 = 90, 305 руб. 70

Временная стоимость денег При получении денежных потоков в будущем важно их привести к сопоставимому виду с сегодняшней стоимостью денег. 71

Временная стоимость денег Для этого используется формула, по которой определяется сегодняшняя стоимость денежных потоков, полученных в будущем: (4) 72

Временная стоимость денег В этой формуле: CFt – денежный поток, полученный в период времени t, руб. ; r – ставка дисконтирования, выражающая доходность, которую хотел бы получить инвестор на свой вложенный капитал, % или доли единицы. Т – срок жизни проекта, лет 73

Временная стоимость денег В случае, когда денежные потоки могут получаться m раз в год, то вышеприведенная формула (4) будет иметь вид: (5) 74

Временная стоимость денег Пример. Инвестору предлагается купить финансовый инструмент по цене 95 000 руб. Покупка этого инструмента позволит инвестору в течение 5 лет ежегодно получать 10 000 руб. и в конце пятого года он получит свои 95 000 руб. Определить целесообразность покупки этого инструмента. 75

Временная стоимость денег Итак, этот финансовый инструмент в течение пяти лет генерирует денежные потоки в сумме: годы 1 2 3 4 5 CFt 10 000 95 000 76

Временная стоимость денег В качестве ставки дисконта выбираем ставку доходности по депозитному вкладу (12%), от которой отказывается инвестор в пользу покупки финансового инструмента. 77

Временная стоимость денег Для того чтобы оценить эффективность вложений денег в покупку финансового инструмента определим сегодняшнюю стоимость будущих денежных потоков, генерируемых этим инструментом, и если она будет выше цены покупки, то вложение денег в этот инструмент можно считать эффективным. 78

Временная стоимость денег Приведенная сумма денежных потоков будет равна (по формуле 4): = 8 929 + 7 972 + 7 118 + 6 355 + 53 905 = = 84 278 руб. 79

Временная стоимость денег Полученный результат меньше стоимости финансового инструмента, что говорит нам о следующем: покупка данного инструмента неэффективна, поскольку он принесет нам убыток в сумме 10722 руб. (95000 -84278). 80

Временная стоимость денег n Давайте вернемся к нашему примеру и предположим, что платежи по финансовому инструменту производятся два раза в год. Найдем приведенную стоимость денежных потоков, проссумируем их и определим эффективность вложения денег в покупку данного инструмента. 81

Временная стоимость денег В этом случае инвестор получит 10 платежей по 5000 руб и еще поток в сумме 95000 руб. Сегодняшняя стоимость всех денежных потоков будет равна: 82

Временная стоимость денег Полученный результат показывает, что инвестору следует купить предлагаемый финансовый инструмент. 83

Выбор ставки дисконтирования а) В качестве ставки дисконтирования может быть выбран показатель доходности альтернативного проекта, от которого отказывается инвестор в пользу данного выбранного им проекта при условии, что оба проекта имеют одинаковый уровень риска. 84

Выбор ставки дисконтирования б) Если инвестор вкладывает в инвестиционный проект заемный капитал, то в качестве дисконтной ставки может использоваться стоимость полученного кредита. в) В некоторых случаях в качестве ставки дисконтирования может выбираться стоимость капитала фирмы. 85

Выбор ставки дисконтирования n г) В качестве ставки дисконтирования может выступать ожидакмый инвестором уровень доходности на свой инвестированный капитал, который с его точки зрения достаточен в условиях данного проекта с учетом риска для вложений такого типа. 86

Аннуитет Денежные потоки, которые генерируются равными суммами через равные промежутки времени, называются аннуитетом. 87

Аннуитет Если ежегодно в течение t лет вкладывать на депозитный счет под r % вклады в виде аннуитета (А), то их будущая стоимость будет равна: (6) 88

Аннуитет Пример. Петров решил каждые 6 мес. в течение 6 лет вносить на депозитный счет по 10 тыс. руб. под 12 % в год с целью накопления суммы денег для проведения ремонта в квартире. Определить будущую сумму денег, которая будет на счету Петрова через 6 лет. n 89

Аннуитет Задано: A =10 000 руб. ; r = 12/2 %; n=6 2 периодов. n Будущую стоимость ежегодных вкладов в виде аннуитета в размере 10 000 руб. через 12 периодов можно определить по формуле (6): FVA = 10 000 [(1+0, 06)12 -1]/0, 06= =10 000 16, 87 = 168 700 руб. n 90

Аннуитет Если известна будущая стоимость вкладов, то можно определить величину ежегодных вкладов в виде аннуитета в течение t лет, чтобы получить заданную будущую стоимость вкладов под r % в год. В этом случае величина аннуитета определяется по формуле : A=FVA r/[(1+r)t – 1] (7) n 91

Аннуитет n Пример. Иванов решил в течение 5 лет накопить 450 тыс. руб. Определить величину вклада в виде аннуитета, которую Иванов должен ежегодно вкладывать на свой депозитный счет, чтобы решить свою проблему при условии начисления банком процентной ставки в размере 12 % в год. 92

Аннуитет Задано: FVA = 450 000 руб. ; r = 12%; Т = 5 лет. Величина аннуитета определяется по формуле (7): А = 450 000 0, 12/[(1+0, 12)5 – 1] = = 450 000 0, 1574 =70 830 руб. Если Иванов ежегодно будет вносить на свой счёт 70 830 руб. , то к концу пятого года на его счёте будет 450 000 руб. n 93

Аннуитет Если ежегодно в течение t лет получать денежные потоки в виде аннуитета (А), то приведенная стоимость аннуитетов (при ставке дисконтирования r) будет равна: (8) 94

Аннуитет Пример. Инвестору предлагается приобрести финансовый инструмент, по которому он будет ежегодно получать выплаты в сумме 60 000 руб. в течение 15 лет, начиная со следующего года. Цена инструмента 475 000 руб. Инвестор хочет иметь годовую доходность не ниже 9 %. Стоит ли приобретать данный инструмент? 95

Аннуитет Задано: I = 475 000 руб. ; r = 9 %/год; А = 60 000 руб. ; Т = 15 лет. Используя формулу (8), находим приведенную величину всех выплат в виде аннуитета за 15 лет: n 96

Аннуитет n Полученный результат показывает, что инвестор, вкладывая в покупку инструмента 475 000 руб. , получит на свой капитал большую доходность в сравнении с 9 %, поскольку за период жизни инвестиционного проекта ему будет выплачена большая сумма (483 641 руб. ). 97

Аннуитет n При известной величине текущей стоимости будущих денежных потоков в виде аннуитета величину аннуитета можно определить по формуле: А=FVA r (1+r)t/[(1+r)t -1] (9) 98

Аннуитет n Пример. Банк соглашается дать ссуду 10 млн руб. сроком на 25 лет для строительства дома. По условиям ссуды ежемесячные платежи будут одинаковыми, т. е. в виде аннуитета. Банк выдает ссуду под 18 % в год. Какого размера должны быть ежемесячные платежи для того, чтобы заемщик мог погасить свой кредит? 99

Аннуитет n n В течение 25 лет заемщик должен будет осуществить всего 300 (25× 12) платежей в виде аннуитета с учетом процентной ставки за период 1, 5 % (18% /12 месяцев). Таким образом, подставив в формулу (9) исходные данные, мы получим следующее выражение: 100

Аннуитет A=FVA r [(1+r)t]/[(1+r)t-1]}= =10000000 0, 015 (1+0, 015)300 = [(1+0, 015)300 -1] =10000000 0, 0151743=151 743 руб. Таким образом, ежемесячные платежи по взятому кредиту должны составлять 151 743 руб. n 101

Аннуитет Всего за 25 лет заемщик заплатит за полученный кредит сумму, равную: 151 743 300 = 45 522 900 руб. n 102