Вписанный угол Вписанный угол Определение Угол вершина

Вписанный угол

Вписанный угол Определение. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её, называется вписанным. О У S В F М А К D С А Н В Т АВС - вписанный С Е Р Назови вписанный угол

Вписанный угол Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. B Дано: Окр. (О; r), АВС – вписанный. Доказать: O АВС = ½ АС. Доказательство: A 1 случай. ВС проходит через центр окружности. Проведём ОА. Тогда дуга АС меньше полуокружности. C АОС – центральный, значит АВС – равнобедренный, значит, АОС – внешний угол Следовательно, 2 Значит, АВС = ½ АВС, значит, В= АС АС. В= АОС = АС А АОС = А+ В=2 В

Вписанный угол Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. В А Дано: Окр. (О; r), АВС – вписанный. Доказать: АВС = ½ АС. О Доказательство: 2 случай. Центр окружности лежит внутри угла АВС. К С Проведём луч ВО, который пересекает дугу АС в точке К. АВС = АВК + = ½ АС. АВК и СВК – вписанные, сторона каждого проходит через центр окружности. СВК = ½ АК + ½ СК = ½ ( АК + СК) =

Вписанный угол Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. В Дано: Окр. (О; r), АВС - вписанный. А Доказать: О АВС = ½ АС. Доказательство: 3 случай. Центр окружности лежит вне угла АВС. С К Проведём луч ВО, который пересекает Oкр(О; r) в точке К. АВК и СВК – вписанные, сторона каждого проходит через центр окружности. АВС = АВК = ½ АС. СВК = ½ АК - ½ СК = ½ ( АК - СК) =

Реши задачи Найти: х 1. 2. 3. х х х 300 820 800 4. 650 х 5. х

Реши задачи Найти: х 6. А 600 К В В 7. х С А 300 О С 1300 В 8. А х х С

Следствия 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, - прямой. А В В А С С О К

Нужные выводы М В К В М С С О А А О К АМК = ½ ( АК + ВС) АМК = ½ ( АК - ВС)

Нужные выводы В А А В С О К ВАК = ½ ( ВК - ВС) ВАС = ½ АС

Свойство пересекающихся хорд Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Дано: Окр. (О; r), М – точка пересечения хорд АВ и СК. В К М Доказать: АМ С А О ВМ = СМ КМ. Доказательство: Проведём АК и ВС. Рассмотрим А= К= АКМ и С, как вписанные, опирающиеся на В, как вписанные, опирающиеся на Значит, АКМ и ВСМ подобны, следовательно, сходственные стороны пропорциональны: , а, значит, АМ ВМ = СМ КМ. ВСМ. ВК. АС.

Нужные свойства В А С М С К АВ 2 = АК АС А В К АМ АВ = АК АС

Реши задачи 1. Найти х 2. В А х 4 3 С 6 К Дано: АК = 9, АС =4. Найти: АВ. 2 6

Михайлова Л. П. ГОУ ЦО № 173.