Вопросы по лекции №1 1. Что такое плазма

Вопросы по лекции №1 1. Что такое плазма 2. Концентрация (плотность) 3. Степень ионизации (два определения) 4. Ленгмюровская частота 5. Электронный дебаевский радиус 6. Квазинейтральность плазмы 7. Температура плазмы

Лекция №2 Электромагнитные волны Электронно-плазменные (ленгмюровские волны) Ионно-звуковые и ионно-плазменные волны Распространение космических лучей в межзвёздной среде Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной плазме Диффузионное приближение

Колебания и волны в плазме Коллективность плазменных процессов позволяет легко возбуждать в плазме колебания и волны различных типов. Колебания характеризуют частотой ω , а волны, кроме частоты, длиной волны λ, волновым вектором k, а также рядом др. параметров. Между частотой и волновым вектором k (или волновым числом k = | k |=2π/ λ) существует связь, называемая дисперсионным соотношением: ω= vф k

Колебания и волны в плазме Т.к. фазовая скорость волны, т.е. скорость строго монохроматической волны, vф = ω/ k, дисперсионное соотношение даёт также зависимость vф, от ω или λ . В обычном, не ионизованном, газе могут распространяться волны различных типов, их дисперсионные соотношения очень просты. Например, для звуковых волн малой амплитуды ω= vs k, где vs - скорость звука. Здесь vф = vs, т.е. скорость не зависит от частоты или длины волны.

Колебания и волны в плазме В плазме значительно больше различных типов волн, и их дисперсионные соотношения много сложнее. На следующем рисунке схематически, без соблюдения масштаба, нанесены дисперсионные соотношения бесстолкновительной плазмы низкого давления. Далее рассмотрим основных видов плазменных волн и их св-ва.

Электромагнитные волны в плазме без магнитного поля В плазме без магн. поля (H0=0) эл.-магн. волны являются поперечными. Дисперсионное соотношение для эл.-магн. волн в плазме: (3) и где ленгмюровская частота (4)

Электромагнитные волны в плазме без магнитного поля Из (4) следует, что фазовая скорость радиоволн в плазме vф > c и что эл.-магн. волны с частотой, меньшей ленгмюровской (ω<<ω 0е), в плазме распространяться не могут. С другой стороны, эл.-магн. волны с большей частотой, распространяясь в сторону увеличения электронной концентрации, испытывают полное внутреннее отражение.

Электромагнитные волны в плазме без магнитного поля Эти особенности важны при исследовании распространения радиоволн в солнечной короне, межзвёздном газе и ионосфере. В результате непрозрачность ионосферы для этих волн ограничивает с длинноволновой стороны "радиоастрономическое окно" прозрачности земной атмосферы и, с др. стороны, обеспечивает распространение радиоволн вдоль земной поверхности.

Электромагнитные волны в плазме с внешним магнитным полем Распространение радиоволн в П., находящейся во внешнем магнитном поле (H0>0), обладает рядом особенностей. Гирочастота – ωНе . Наиболее прост и чаще всего встречается случай "квазипродольного распространения", когда и угол между волновым вектором волны k и направлением внешнего магн. поля H0 не слишком близок к π/2 , т.е. волна распространяется не точно поперёк поля.

Электромагнитные волны в плазме с внешним магнитным полем Если в плазме без магнитного поля эл.-магн. волна остаётся всё время линейно поляризованной, т.е. направление её электрического вектора не меняется при распространении, то в плазме с магнитным полем эл.-магн. волны оказываются поляризованными по кругу или эллиптически поляризованными в более общем случае.

Электромагнитные волны в плазме с внешним магнитным полем Круговая поляризация в случае квазипродольного распространения объясняется возникновением в П. двух волн - обыкновенной и необыкновенной. Электрич. вектор необыкновенной волны вращается по кругу в ту же сторону, что и электроны, Электрич. вектор обыкновенной волны - в противоположную сторону.

Электромагнитные волны в плазме с внешним магнитным полем Обыкновенная и необыкновенная волны распространяются в П. с разной скоростью и с разными показателями поглощения, последний у необыкновенной волны, как правило, больше. Это, в частности, приводит к тому, что у ряда космических источников наблюдается только излучение, поляризованное по кругу (чаще всего обыкновенная волна). Исследование поляризации эл.-магн. волн, распространяющихся в космич. П., служит одним из важнейших источников сведений о космических магнитных полях.

Электронно-плазменные (ленгмюровские) волны При смещении электронов плазмы. относительно ионов возникает электростатическая сила, стремящаяся вернуть их в положение равновесия. Коллективность плазменных процессов приведёт к тому, что в колебаниях сразу примет участие много электронов. Если температура плазмы мала, то возникают только т. н. электростатические колебания на частоте ω0е .

Электронно-плазменные (ленгмюровские) волны При увеличении температуры и усилении теплового движения электронов появляются ленгмюровские волны. Эти волны, подобно звуковым, продольные. Ионы в их распространении не участвуют, т.к. обладают большой массой и не могут колебаться с высокой частотой, с какой колеблются электроны.

Электронно-плазменные (ленгмюровские) волны Движение электронов происходит в этом случае под действием двух факторов: перепада их давления и электрического поля. В отличие от эл.-магн. волн, здесь вектор электрического поля направлен вдоль вектора k (продольные электрич. волны). Магнитное поле при ω 0е >>ωНе не влияет существенно на св-ва ленгмюровских волн. ωНе - гиромагнитная частота

Электронно-плазменные (ленгмюровские) волны Фазовая скорость плазменных волн: где νТе - тепловая скорость электронов. vф может быть даже больше скорости света (если ω = ω 0е ). Если ω не слишком близка к ω0е , то фазовая скорость плазменной волны может быть много меньше скорости света. При этом длина волны близка к величине дебаевского радиуса.

Электронно-плазменные (ленгмюровские) волны Однако такие волны очень быстро затухают, т. к. в плазме есть много электронов, попадающих в резонанс с подобными волнами и забирающих у них энергию (затухание Ландау - бесстолкновительное затухание колебаний и волн в плазме ). Поэтому могут существовать только волны ω -ω 0е <<ω0е . В магнитном поле бесстолкновительное затухание волн связано не только с затуханием Ландау, но и с циклотронным затуханием. Физический механизм, лежащий в основе циклотронного затухания (резонанс), аналогичен механизму затухания Ландау.

Электронно-плазменные (ленгмюровские) волны В П. всегда есть ленгмюровские волны (плазменные флуктуации), обусловленные тепловым движением частиц. Такие флуктуации имеют плотность энергии порядка kTe/ rDe 3, и длина волны их не слишком сильно отличается от дебаевского радиуса rDe. Если в силу тех или иных причин в П. возбуждены ленгмюровские волны с длиной волны, много большей rDe , и плотностью энергии, много большей kTe/ rDe 3, то П. становится турбулентной. Плазменная турбулентность должна поддерживаться каким-либо источником.

Ионно-звуковые и ионно-плазменные волны В условиях, когда температура электронов по крайней мере в 5-10 раз больше температуры ионов, электроны распределяются в пространстве более однородно. На фоне этого равномерно распределённого отрицательного заряда могут распространяться ионно-плазменные волны с частотой, близкой к где mi - масса иона. По своим характеристикам эти продольные волны похожи на ленгмюровские, но здесь колеблются не электроны, а ионы.

Ионно-звуковые и ионно-плазменные волны Кроме них возможны др. продольные волны с ещё меньшими частотами, они называются ионно-звуковыми и распространяются со скоростью звука. Если электронная и ионная темп-ры почти одинаковы (изотермич. П.), то ионные (плазменные и звуковые) волны быстро затухают, их энергия нагревает ионы. В космич. условиях ионно -плазменные волны могут возникать внутри фронтов ударных волн, где ионная температура сильно отличается от электронной.

Низкочастотные волны в плазме с магнитным полем В отсутствие магн. поля есть только один тип - ионно-звуковая. При наличии магн. поля появляются три ветви колебаний Их характеристики заметно меняются в зависимости от частоты и угла между волновым вектором и полем. На частотах, меньших ионной гирочастоты это будет альвеновская и две магнитозвуковые (быстрая и медленная) волны.

Низкочастотные волны в плазме с магнитным полем Их скорости распространения равны альвеновской скорости и комбинациям альвеновской скорости и скорости звука. При большей частоте одна из этих волн, соответствующая необыкновенной волне, переходит в т.н. свисты или вистлеры. Свисты обладают св-вом распространяться в П. вдоль магн. силовых линий. Такие волны наблюдаются в земной ионосфере и магнитосфере. Поскольку их частота сравнительно мала, они могут трансформироваться в звук той же частоты. По характеру этого звука их и наз. свистами.

Низкочастотные волны в плазме с магнитным полем. Обыкновенная (быстрая) магнитозвуковая волна, так же как и все другие - медленная и альвеновская, обрывается на частоте ω Нi , на которой она сильно поглощается. Рассмотренные выше волны в П. могут переходить одна в другую. Этот процесс называется конверсией. Для астрофизики особенно важен переход плазменных волн в электромагнитные.

Низкочастотные волны в плазме. с магнитным полем. Например, плазменная волна, рассеиваясь на флуктуации электронной плотности (к-рая может быть создана движением иона или обусловлена др. плазменной волной), превращается в эл.-магн. волну с той же частотой (рэлеевское рассеяние) или удвоенной частотой (комбинац. рассеяние на плазменных волнах), или, наконец, с много большей частотой, если рассеяние происходит на релятивистском электроне.

Распространение космических лучей в межзвёздной среде Характер распространения быстрых заряженных частиц в межзвездной среде определяется, главным образом, их взаимодействием с магнитными и электрическими полями, присутствующими в космической плазме. Эффективное удержание и «перемешивание» космических лучей в Галактике, их диффузия могут в принципе обеспечиваться:

Распространение космических лучей в межзвёздной среде 1) за счет стохастической структуры галактического магнитного поля и его крупномасштабных неоднородностей; 2) в результате рассеяния частиц мелкомасштабной турбулентностью;

Распространение космических лучей в межзвёздной среде 3) в силу неустойчивости анизотропных распределений релятивистских частиц в межзвездной плазме; 4) вследствие неустойчивости «галактического диска», представляющего собой систему, включающую межзвездный газ, магнитное поле и космические лучи и удерживаемую в равновесии в конечном счете за счет гравитационного поля звезд.

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Одно из основных свойств плазмы состоит в том, что в ней легко возбуждаются различные типы колебаний и волн. Турбулентные пульсации и различные волны имеются и в межзвездной среде. Частицы космических лучей должны взаимодействовать с этими пульсациями (волнами), испытывать рассеяние и изменять свою энергию. Рассеяние в некоторых случаях может приводить к эффективной диффузии частиц по углам и, в конечном итоге, к изотропизации космических лучей и их диффузии в пространстве

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Мы будем рассматривать рассеяние быстрых частиц при заданном спектре волн и неоднородностей. Такая постановка задачи не всегда возможна — быстрые частицы сами могут заметно изменять дисперсионные свойства плазмы и, в частности, приводить к неустойчивостям, возбуждению новых волн или, наоборот, к их затуханию.

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Если считать электрическое поле Ε и магнитное поле Н заданными, то функция распределения частиц космических лучей по импульсам f(t, r, р) определяется из кинетического уравнения (9.1)

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Здесь Zе — заряд частицы. Нормировка функции f(t, r, р) такова, что интеграл (9.2) дает концентрацию частиц; столкновения в (9.1) не учитываются (na ~ 0.1 cm-3 )

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Далее используем обычную процедуру квазилинейного приближения, хорошо известного из физики плазмы. Разделяем поля на средние и флуктуирующие, отвечающие ансамблю волн со случайными фазами: (9.3)

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Угловые скобки означают усреднение по ансамблю волн (т. е. по достаточно быстрым пульсациям). Считается, что из-за высокой проводимости среды среднее электрическое поле равно нулю (здесь предполагается, что в среде отсутствуют крупномасштабные движения). В функции распределения также выделяется флуктуирующая часть ` (9.4) Усредняя уравнение (9.1) по ансамблю волн, получаем

Подставим 9.4 в ур-е 9.1 и усреднив по ансамблю волн получим (9.5) Вычитая (9.4) из (9.1), приходим к уравнению (9.6) Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме

: Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Считая амплитуду волн малой (и соответственно полагая f1 << f0) пренебрегаем двумя последними слагаемыми в правой части уравнения (9.6) и таким образом находим уравнение для f1 . Его решение можно представить в виде: (9.8)

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме где интегрирование проводится по траекториям частицы в поле Н0. С помощью выражения (9.8) из (9.5) получаем замкнутое уравнение для усредненной функции распределения (9.9)

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Правая часть уравнения (9.9) определяет медленное изменение функции распределения , обусловленное усредненным воздействием ансамбля слабых случайных полей Е и Н1

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Пусть Н0 — однородное магнитное поле, направленное вдоль оси z, а поля Е и Н1 являются суперпозицией полей волн со случайными фазами. При этом удобно использовать представление Фурье по пространственным координатам.. (9.10) α – тип волны.

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Суммирование ведется по различным типам волн в плазме. Собственная частота волны каждого типа определяется дисперсионным соотношением (9.11) Поля E и Н1 связаны уравнением Максвелла (9.12) Откуда: (9.13)

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме В рассматриваемых нами задачах гирочастота — где Е полная энергия частицы, (Е2 = р2с2 + т2с4) обычно так велика, что за время t ~ 1/ωH действие случайных полей Е и Н1 слабо меняет движение быстрых частиц.

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Важнейшей особенностью взаимодействия частиц с волнами является его резонансный характер — частицы рассеиваются волнами при условии S= 0, ±1, ….. (9.24) ν|| и k|| - проекции волновой скорости и волнового вектора на ось z или на Н0 Фактически соотношение это условие кратности частоты волны (с учетом эффекта доплера) частоте циклотронного вращения частицы в регулярном магнитном поле Н0.

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Обычно рассматривается два предельных случая. Если длина волны много меньше ларморовского радиуса частицы в регулярном магнитном поле, то можно считать, что при взаимодействии частицы движутся прямолинейно и регулярное поле Н0 не влияет на механизм рассеяния.

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Точнее, условие «незамагниченности» частиц таково: При этом взаимодействие определяется совокупностью большого числа близко расположенных гармоник при значениях: Это условие сводится к условию черенковского резонанса

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме В обратном предельном случае частицы «замагничены». Взаимодействие идет н основном на нулевой или первой (в зависимости от поляризации волн) гармониках S= 0, ±1 .

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Для составляющих поля волны E||α =0 значение S= 0 и условие резонанса имеет вид: Для E||α ≠ 0 значение S= ±1 и

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Для случая распространения космических лучей в межзвездной среде выполняется условие rH << l, где l — характерная длина, на которой частицы рассеиваются на угол порядка единицы (в диффузионном приближении), а rH=ν / |ωН| - ларморовский радиус.

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Так, для протона с кинетической энергией Еk = 1 ГэВ величина rH =1012 см, а l =1018 см. Неравенство rH << l автоматически возникает в теории рассеяния быстрых частиц в среде со слабой магнитогидродинамической турбулентностью, так что в этом смысле частицы космических лучей «замагничены» вплоть до энергий Еk ~106 ГэВ (Еk ~ 1015 эВ ).

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме В условиях межзвездной среды для частиц интересующих нас энергий больше нескольких сотен МэВ — взаимодействие с ленгмюровскими, ионно-звуковыми волнами, вистлерами и короткими (с длиной волны λ << 2π rH) магнитогидродинамическими волнами в основном происходит за счет черенковского резонанса.

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Эффективная частота рассеяния ультрарелятивистских частиц на этих волнах уменьшается с ростом энергии как Е-2 , поэтому в межзвездной среде такое рассеяние не может играть большой роли. Действительно, наблюдается лишь слабая зависимость времени выхода космических лучей из Галактики от энергии Т ~ Е-μ , μ = 0,3 ÷ 0,5 и, следовательно, рассеяние с частотой, пропорциональной Е-2, не имеет места.

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме При рассеянии на магнитогидродинамических волнах с длиной волны λ ~ 2π rH положение иное. Зависимость эффективной частоты рассеяния от энергии не универсальна и определяется видом спектра волн. Для простоты будем считать (хотя это не всегда верно в условиях межзвездной среды), что скорость звука в среде много меньше альфвеновской скорости νs << νa

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме (k — постоянная Больцмана, Те — температура тепловых электронов, тi — масса ионов в плазме) (ρ — плотность среды).

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Тогда в магнитогидродинамической области, т. е. при ω << ωНi (ωНi =ZiH/mic) существуют две ветви колебаний: альфвеновские волны с дисперсионным соотношением и (быстрые) магнитозвуковые волны, для которых

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме В альфвеновскпх волнах скорость среды направлена перпендикулярно волновому вектору k и внешнему полю Н0, а электрическое поле лежит в плоскости k , Н0. Групповая скорость этих волн νгр = νа Н0 / Н

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме В магнитозвуковых волнах колебания скорости среды лежат в плоскости векторов k и Н0, а электрическое поле направлено перпендикулярно этой плоскости. Групповая скорость магнитозвуковых волн νгр = νа k / |k|.

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме В межзвёздной среде при Н0 = 5 10-6 Э и концентрации газа n = 0,1 см-3 альфвеновская скорость νа = 5 10-6 см/с. При распространении вдоль магнитного поля альфвеновская и магнитозвуковая волны представляют собой две поперечные противоположно циркулярно поляризованные волны, распространяющиеся с альфвеновской скоростью.

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Приближение замагниченных частиц в данном случае строго выполняется лишь для волн, распространяющихся вдоль магнитного поля, кроме этого, волны с k┴ ≠0 сильно затухают. Поэтому будем рассматривать случаи распространения волн вдоль регулярного магнитного поля Н0.

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Введём цилиндрическую систему координат, тогда p┴ и p║ - перпендикулярная и параллельная составляющие импульса относительно оси z, θ - питч-угол, т. е. угол между р и Н0. Введём обозначение μ = cos θ. φ – азимутальный угол

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Будем использовать усреднённую по углу φ функцию распределения (9.14)

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме От переменных p┴ и p║ перейдём к p = │p│, k = k ║, μ и Условие резонанса (9.24) имеет вид

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Уравнение (9.9) теперь сводится к следующему

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Величина плотность энергии волн типа α со случайными фазами и случайным распределением поляризаций. Для альфвеновских и магнитозвуковых волн энергия волн поровну распределена между кинетической энергией частиц среды и энергией магнитного поля

Рассеяние быстрых частиц в слаботурбулентной магнитоактивной плазме Уравнение (9.28) показывает, что частицы быстро рассеиваются по углам, но медленно меняют свою энергию, поскольку производные входят с большими множителями Это обстоятельство позволяет пренебречь ускорением частиц и учитывать только диффузию по углам.

Диффузионное приближение Релаксация анизотропного распределения определяется эффективной частотой рассеяния частиц на волнах, которую в соответствии с уравнением (9.28) для одного типа волн α удобно определить как

Диффузионное приближение θ - питч-угол, т. е. угол между р и Н0, а μ = cos θ. Характерное время изотропизации (или время рассеяния частицы на угол порядка единицы) равно оно зависит от гирочастоты рассеиваемой частицы и относительной плотности энергии волн в резонансной области (по сравнению с энергией регулярного поля). Напомним, что используется приближение слабой турбулентности, так что .

Диффузионное приближение В зависимости от вида спектра частота может иметь разную зависимость от энергии частиц и, в частности, при ~ k-2 величина не зависит от энергии в ультрарелятивистской области.

Диффузионное приближение При t >> и расстояниями, много большими длины релаксации l >> v , можно ожидать, что функция распределения имеет вид где анизотропная добавка мала , а

Диффузионное приближение После усреднения уравнения (9.28) по косинусу питч-угла получаем замкнутое уравнение для f0 с точностью до (9.37) Здесь эффективная скорость конвективного переноса частиц волнами равна

Диффузионное приближение После усреднения уравнения (9.28) по косинусу питч-угла получаем замкнутое уравнение для f0 с точностью до (9.37)

Диффузионное приближение Пространственный коэффициент диффузии вдоль регулярного поля Но дается соотношением коэффициент диффузии по модулю импульса, определяющий статистическое ускорение частиц, равен

Диффузионное приближение В общем случае рассеянно частиц на волнах приводит к их пространственной диффузии, конвективному переносу, сопровождающемуся регулярным (называемым адиабатическим) изменением энергии в неоднородном потоке, и статистическому ускорению. При условии - отсутствует конвективный перенос, а при условии нет статистического ускорения

Оценка коэффициента диффузии КЛ в галактике Предположим, что спектр волн имеет степенной вид: где Н1┴ — средняя перпендикулярная к регулярному полю компонента случайного поля в основном масштабе тогда при (9.48)