Вопрос 4. Статистические методы в имитационном моделировании

Вопрос 4. Статистические методы в имитационном моделировании

Сущность метода имитационного моделирования

К имитационному моделированию прибегают, когда: • дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте; • невозможно построить аналитическую модель; • необходимо сымитировать поведение системы во времени.

Основные определения • Слово имитация (от лат. – подражание) означает воспроизведение определенным образом явлений, событий, действий объектов и т. п. • Имитационное моделирование – метод исследования, основанный на том, что изучаемая система заменяется имитирующей. • Имитационная модель – логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта. • Структура имитационного моделирования представляется последовательно-циклической.

Основные определения Методика построения имитационных моделей состоит из двух этапов: Методология имитации – постановка задачи, подготовка данных, построение модели, оценка адекватности. Организация имитационного эксперимента – планирование эксперимента, экспериментирование, обработка результатов, документирования.

Этапы имитационного моделирования

Процесс имитационного исследования.

Концепции моделирования Виды имитационного моделирования 9

Понятие об имитационных моделях – – – Имитационная модель: представляет собой описание структуры моделируемого объекта, достаточное для воспроизведения существенных черт его поведения; конструируется таким образом, чтобы в процессе моделирования ей могла быть сообщена цель моделирования. Способы использования : случайные испытания (метод Монте. Карло); сценарный метод; поиск критических значений параметров модели; поиск оптимума некоторой целевой функции.

Статистическое моделирование Статистическое имитационное моделирование. Применение: Исследование сложных процессов и систем, подверженных случайным возмущениям Определение: Метод имитационного моделирования сложных случайных процессов, основанный на генерации случайных чисел с заданными законами распределения.

Представление имитационной модели в виде “черного ящика”.

Свойства сложных систем: 1 свойство: Целостность и членимость. 2 свойство: Связи. 3 свойство: Организация. 4 свойство: Интегративные качества.

Виды имитационных моделей • Непрерывные; • Дискретные; • Непрерывно-дискретные.

Область применения Применение в экономических исследованиях: - моделирование производственных систем и логистических процессов, - в маркетинге, - моделирование бизнес-процессов, - в социально-экономических исследованиях, - моделирование экономических реформ, - региональных процессов , - моделирование транспортных, информационных и телекоммуникационных систем, и т. д.

Имитационный эксперимент, содержание которого определяется предварительно проведенным статистическим исследованием и результаты которого достоверны и математически основаны, называется направленным вычислительным экспериментом. Стратегическое планирование – это разработка эффективного плана эксперимента Проблемы стратегического планирования 1. Выбор метода сбора информации 2. Организация целенаправленного экспериментального исследования 3. Методы обработки выходных данных

Задачи тактического планирования Связаны с определением способов проведения имитационных прогонов, намеченных планом эксперимента: 1. Как провести каждый прогон в рамках составленного плана эксперимента. 2. Определение длительности прогона. 3. Оценка точности результатов моделирования

Вычислительный эксперимент Цели вычислительного эксперимента Тип направленного вычислительного эксперимента Применяемые математические модели и методы 1. Оценка выходных переменных при заданных параметрах системы. Оценка и сравнение средних и дисперсий различных альтернатив Статистические методы оценивания, проверки гипотез; однофакторный дисперсионный анализ; 3. Получение знаний о влиянии управляемых параметров на результаты эксперимента Анализ чувствительности Методы планирования эксперимента, дисперсионный, регрессионный анализ; 4. Определение тех значений входных параметров и переменных, при которых достигается оптимальный выход Поиск оптимума на множестве возможных значений переменных Последовательные методы планирования эксперимента (методология анализа поверхности отклика). 2. Сравнение альтернатив (или выбор на множестве альтернатив)

Испытание и исследование свойств имитационной модели

Основные категории оценки: • Оценка адекватности модели. Проверка соответствия между поведением имитационной модели и исследуемой реальной системы. • Верификация модели. Проверка на соответствие поведения модели замыслу исследователя и моделирования. • Валидация данных. Доказательство того, что все используемые в модели данные, в том числе входные, обладают необходимой точностью.

Оценка адекватности имитационной модели • 1 способ: по средним значениям откликов модели и системы. Основные этапы: 1. Проводят N 1 опытов на реальной системе и N 2 опытов на имитационной модели (обычно N 2>N 1). 2. Оценивают для реальной системы и имитационной модели математическое ожидание и дисперсию. 3. Гипотезы о средних значениях проверяются с помощью критерия t-Стьюдента

• 2 способ: по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов систем. Основные этапы: 1. Проверяется гипотеза о значимости различий оценок двух дисперсий с помощью критерия Фишера по 1 -ой компоненте вектора отклика. 2. Процедура повторяется аналогичным образом по всем компонентам вектора отклика. 3. Если хотя бы по одной компоненте адекватность отсутствует, то модель неадекватна.

Валидация данных имитационной модели: • оценка точности результатов моделирования; • оценка устойчивости результатов моделирования; • оценка чувствительности имитационной модели. Оценка точности результатов моделирования. Точность имитации явлений представляет собой оценку влияния стохастических элементов на функционирование модели сложной системы. При оценке точности необходимо ответить на вопросы? - какой разброс данных на выходе имитационной модели; - какие выводы можно сделать по полученным результатам моделирования. Степень точности определяется величиной дисперсии случайного фактора. Мерой точности является доверительный интервал.

Оценка устойчивости результатов моделирования Под устойчивостью результатов имитации будем понимать степень нечувствительности ее к изменению условий моделирования. Методика оценка 1. Устанавливается длительность прогона 2. Выбирается контролируемая компонента вектора отклика уi 3. Задается шаг, 4. На каждом шаге контролируется уi, оценивается дисперсия и т. д. Формулируется нулевая статистическая гипотеза: о равенстве дисперсий и проверяется с помощью критерия Бартлетта. Врасч сравнивается с тестовой. В случае удачной проверки, считается, что модель устойчива по всему вектору выходных переменных.

Анализ чувствительности имитационной модели Анализ чувствительности модели определяет оценку влияния колебаний значений входных переменных на отклики (выходные переменные) модели.

Системы массового обслуживания

Основы теории случайных процессов Случайный процесс (СП) это некоторый процесс или явление, поведение которого в течение времени и результат заранее предсказывать невозможно. Виды случайных процессов (СП): 1) СП с непрерывным временем и непрерывным состоянием (пример: температура воздуха в некоторый момент времени, изменяется плавно в любой момент времени). 2) СП с непрерывным временем и дискретным состоянием (пример: число посетителей в магазине, изменяется кратно одному в любой момент времени). 3) СП с дискретным временем и непрерывным состоянием (пример: динамика курс валюты, изменяется плавно в момент валютных торгов). 4) СП с дискретным временем и дискретным состоянием (пример: число пассажиров в транспорте изменяется кратно одному и только в определенные моменты времени, на остановках).

Случайные потоки Стационарный поток Пуассона называется простейшим потоком. 1. Число событий есть случайная величина, распределённая по закону Пуассона. P(r)= 2. Интервал между событиями или время ожидания очередного события T есть случайная величина

Случайный процесс с дискретным состоянием Пример. Работа магазина S 1 - имеются клиенты, которые обслуживаются, S 2 – клиентов нет, S 3 – осуществляется прием товара, S 4 – учет товара, который происходит иногда после его приема.

Интенсивностью переходного потока называется среднее число переходов из состояния Si в состояние Sj за единицу времени, которое система проводит в состояние Si. Для нахождения вероятностей состояний составляется система уравнений Условие нормировки:

Процессы гибели и размножения Из любого (кроме первого и последнего) состояния Si возможен переход только в соседние состояния Si+1 и Si-1. – интенсивности размножения, – интенсивности гибели. Оценка вероятности каждого состояния:

Системы массового обслуживания (СМО)— это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания. Примеры систем массового обслуживания : • магазины; • банки; • ремонтные мастерские; • почтовые отделения; • посты технического обслуживания автомобилей, посты ремонта автомобилей; • персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач; • аудиторские фирмы; • отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий и т. д.

Основными компонентами системы массового обслуживания являются: - входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание; - очередь; - механизм обслуживания.

1) Одноканальная СМО с отказами Плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований Плотность распределения длительностей обслуживания – интенсивность обслуживания – среднее время обслуживания одного клиента

Относительная пропускная способность Абсолютная пропускная способность Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал обслуживания занят»

Другие системы массового обслуживания 2) Одноканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью 3) Одноканальная СМО с ожиданием и неограниченной очередью 4) Многоканальная СМО с отказами 5) Многоканальная СМО с ожиданием