Волшебное число «Пи» Подготовили ученики 8 класса «Б» Савченко Александра и Димитренко Никита
1. Введение; 2. Цель и задачи; 3. История появления числа "Пи"; 4. Приближение числа "Пи"; 5. Практическое применение числа "Пи"; 6. Выводы; 7. Заключение. План работы
Введение Тема нашего проекта «Волшебное число Пи» . Мы выбрали эту тему, потому что на уроках математики нам часто встречаются задачи на разные темы, решаются которые через число "пи". Число "пи" является одним из интереснейших чисел, встречающихся при изучении математики. Оно встречается и в других школьных дисциплинах. С числом "пи" связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению.
Знаете ли вы, что эта обыкновенная, на первый взгляд, полузабытая буква из школьного курса математики намного интереснее при ближайшем рассмотрении и изучении, имеет свою историю, очень много значит для математиков — они без неё просто никуда, и даже имеет свой праздник? 14 марта объявлено Всемирным днем числа «Пи»
Цель и задача работы 1) Исследование числа "Пи" и выявление его роли в окружающей среде; 2) Познакомиться подробнее с числом "Пи"; 3)Провести практическую работу нахождения числа "Пи"; 4)Найти занимательные факты и правила для запоминания числа "Пи".
История числа «Пи» История числа "Пи", выражающего отношение длины окружности к её диаметру, началась в Древнем Египте. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли как (d-d/9)2 (эта запись дана здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно заключить, что время число p считали равным дроби (16/9)2, или 256/81, т. е. p = 3, 160. . . В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н. э. ) имеется указание, из которого следует, что число p в то время принимали равным , что даёт дробь 3, 162. . .
Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.
Архимед в III в. до н. э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения, одно из которых: Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71. Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т. д. , доведя вычисления до периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96 сторономи. По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3*10/71 и 3*1/7, а это означает, что p = 3, 1419. . . Истинное значение этого отношения 3, 1415922653. . .
Во второй половине XVI в. в Европе Ф. Виет нашёл число p только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф. Виет первым заметил, что p можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислить p с какой угодно точностью. Только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойдён.
Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом p английский математик У. Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "periferia", что в переводе означает "окружность". Введённое У. Джонсоном обозначение стало обшеупотребительным после опубликования работ Л. Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.
В конце XVIII в. А. М. Лежандр на основе работ И. Г. Ламберта доказал, что число p иррационально. Затем немецкий математик Ф. Линдеман, опираясь на исследования Ш. Эрмита, нашёл строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т. е. не может быть корнем алгебраического уравнения. Из последнего следует, что с помощью только циркуля и линейки построить отрезок, равный по длине окружности, н е в о з м о ж н о, а следовательно, не существует решения задачи о квадратуре круга.
К концу XIX в. , после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа p. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520 -м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.
После разработки методов дифференциального и интегрального исчисления было найдено много формул, которые содержат число "пи". Некоторые из этих формул позволяют вычислить "пи" приёмами, отличными от метода Архимеда и более рациональными. Например, к числу "пи" можно прийти, отыскивая пределы некоторых рядов. Так, Г. Лейбниц (16461716) получил в 1674 г. ряд 1 -1/3+1/5 -1/7+1/9 -1/11+. . . =p/4, который дал возможность вычислить p более коротким путём, нежели Архимед.
Ещё более удобную формулу для вычисления p получил Дж. Мачин. Пользуясь этой формулой, он вычислил p (в 1706 г. ) с точностью до 100 верных знаков. В наше время труд вычислителей заменили ЭВМ. С их помощью число "пи" вычислено с точностью более миллиона знаков после запятой, причём эти вычисления продолжались только несколько часов.
Приближения числа "ПИ". Напомним: число π ( «пи» ) определяется как отношение длины окружности C к ее диаметру d = 2 r. Это кратко выражается формулой для вычисления длины окружности C = πd, или C = 2πr. Другая известная формула, в которой встречается π, – формула площади круга S = πr 2, или S = πd 2/4. В принципе π можно было бы определить как отношение площади круга к квадрату радиуса. За этими формулами скрываются три нетривиальных математических факта: ü длина окружности пропорциональна ее диаметру; ü площадь круга пропорциональная квадрату радиуса; ü коэффициенты пропорциональности в двух последних случаях совпадают.
Десятичная дробь, выражающая число π, бесконечна, хотя можно вычислить различные конечные дроби – десятичные приближения для π. Наиболее популярное приближение – с точностью до сотых: π ≈ 3, 14
Практическое вычисление числа "Пи 1) Простейшее измерение. Начертим на плотном картоне окружность диаметра d (=15 см), вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить. Измерив длину l (=46, 5 см) одного полного оборота нити, разделим l на длину диаметра d окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа , т. е. = l / d = 46, 5 см / 15 см = 3, 1. Данный довольно грубый способ дает в обычных условиях приближенное значение числа с точностью до 1.
2)Измерение с помощью взвешивания. mкв = 10 г mкр = 7, 8 г На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата Вырежем из квадрата круг. Взвесим круг.
Зная массы квадратаmа и вписанного в него круга воспользуемся формулами: m= p. V V= Sh где p и h –соответственно плотность и толщина картона, S – площадь фигуры. Рассмотрим равенства: mкв= p. Sквh = p 4 R 2 h Отсюда: mкр= p. Sкрh = pπR 2 h mкр /mкв= pπR 2 h= π/4 т. е. π = 4 mкр / mкв= 4 * 7, 8 / 10 = 3, 12
Естественно, что в данном случае приближенное значение π зависит от точности взвешивания. Если взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значения масс, которые обеспечат приближение числа π с точностью до 0, 1.
3) Метод Монте-Карло Это фактически метод статистических испытаний. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи дождя. Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель.
Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть Nкр – число капель в круге, Nкв – число капель в квадрате, тогда = 4 Nкр / Nкв
Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. Каждому следу капли поставим в соответствие два случайных числа, характеризующих его положение вдоль осей Ох и Оу. Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, например, подряд. Пусть первое четырехзначное число в таблице 3265. Из него можно приготовить пару чисел, каждое из которых больше нуля и меньше единицы: х=0, 32, у=0, 65. Эти числа будем считать координатами капли, т. е. капля как будто попала в точку (0, 32; 0, 65). Аналогично поступаем и со всеми выбранными случайными числами. Если окажется, что для точки (х; у) выполняется неравенство, то, значит, она лежит вне круга. Если х + у = 1, то точка лежит внутри круга.
Для подсчета значения "пи" снова воспользуемся формулой (1). Ошибка вычислений по этому методу пропорциональна, где D – некоторая постоянная, а N –число испытаний. В нашем случае N = Nкв. Из этой формулы видно: для того чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N, т. е. объем работы, в 100 раз. Ясно, что применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компьютерам.
4)Метод “падающей иголки”. Возьмем обыкновенную швейную иголку и лист бумаги. На листе проведем несколько параллельных прямых так, чтобы расстояния между ними были равны и превышали длину иголки. Чертеж должен быть достаточно большим, чтобы случайно брошенная игла не упала за его пределами. Введем обозначения: а- расстояние между прямыми, l – длина иглы
Положение случайным образом брошенной на чертеж иглы определяется расстоянием Х от ее середины до ближайшей прямой и углом j , которой игла образует с перпендикуляром, опущенным из середины иглы на ближайшую прямую
. Изобразим графически функцию y=0, 5 cos Всевозможные расположения иглы характеризуются точками с координатами ( ; y), расположенными на участке ABCD. Закрашенный участок AED – это точки, которые соответствуют случаю пересечения иглы с прямой. Вероятность события a – “игла пересекла прямую” – вычисляется по формуле:
Вероятность p(a) можно приблизительно определить многократным бросанием иглы. Пусть иглу бросали на чертеж c раз и p раз она упала, пересекая одну из прямых, тогда при достаточно большом c имеем p(a) = p / c. Отсюда = 2 l с / a k. Замечание. Изложенный метод представляет собой вариацию метода статистических испытаний. Он интересен с дидактической точки зрения, так как помогает совместить простой опыт с составлением довольно сложной математической модели.
1. В ходе работы была изучена история возникновения числа пи, число пи в культуре человека и в окружающем мире. 2. Для вычисления числа Пи были использованы четыре основных метода приближения. 3. В дальнейшем можно ознакомиться с другими иррациональными и трансцендентными числами: e и j. Выводы
Заключение Из курса школьной математики мы знаем, что число Пи (греческая буква π) - это математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Число Пи иррационально и бесконечно. Существует масса формул, которые вычисляют эту константу, формулы эти были выведены как древними учеными, так и современными математиками. ü Большинство из нас будут удивлены, узнав, сколько людей интересуется числом π. В школе на геометрии мы уяснили, что это отношение длины окружности к диаметру, что ж тут может быть интересного? Но познакомившись поближе с этим числом, мы будем удивлены еще больше, ибо история человечества предстанет перед нами, как череда усилий величайших умов по уточнению знаков числа π и поисков алгоритмов для этого процесса. ü Изучение числа π еще далеко незавершенный этап. И человечество ждёт многие научные открытия, связанные с этим числом. ü
Скачать презентацию Волшебное число Пи Подготовили ученики 8 класса Б
Volshebnoe_chislo_Pi.pptx