Волновые процессы в механике Конспект лекции Елисеев В

Волновые процессы в механике Конспект лекции Елисеев В. А.

Содержание 1. Волны в упругих средах. Продольные и поперечные волны. 2. Основные характеристики волновых процессов. 3. Уравнение волны. 4. Волновое уравнение. 5. Скорость распространения и энергия упругих волн. 6. Поток и плотность потока энергии. Вектор Умова. 7. Принцип суперпозиции. 8. Групповая скорость и ее связь с фазовой скоростью. 9. Стоячие волны. 10. Эффект Доплера для звуковых волн.

Волновые процессы Ранее мы рассмотрели колебания физических систем, не интересуясь процессами, которые происходят в пространстве, окружающем колебательную систему. Теперь мы рассмотрим воздействие колебательной системы на окружающее ее пространство. Это воздействие приводит к изменению со временем состояния среды или поля, распространяющегося от точки к точке, которое называют волной или волновым процессом. Наиболее важны и часто встречаются следующие виды волн – упругие волны, поверхностные волны в жидкости и электромагнитные волны. Частным случаем упругих волн являются звуковые волны, а электромагнитных – радиоволны, свет и т. д. Необходимым условием возникновения любых волн является наличие колебательной системы, воздействующей на среду и вызывающей ее возмущение, называемой источником волн. Основным свойством всех волн, независимо от их природы, является то, что в волнах существует перенос энергии без переноса вещества. Волны различаются по тому, как возмущения ориентированы относительно их направления распространения. В поперечных волнах (которые бывают только в твердых телах) смещения частиц среды происходят в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны. Поперечные волны в упругой среде образуются только в том случае, когда возникают упругие силы, стремящиеся восстановит нарушенную форму. В продольных волнах (волны в твердых телах, в жидкости и в газе) колебания частиц среды происходят в том же направлении, в котором распространяется волна. Продольные волны состоят из сжатий и разрежений. Они возникают в упругой среде при изменении объема, поэтому продольные волны могут распространяться и в твердых, и в жидких, и в газообразных телах.

Характеристики волновых процессов Длиной волны λ = υT называют расстояние между двумя соседними максимумами возмущения. Период - время, за которое происходит один полный цикл колебания осциллятора. Еще одна характеристика гармонической волны волновое число k = 2π/λ, равное числу длин волн, укладывающихся на отрезке длиной 2π . Геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе, называют фазовой поверхностью или волновой поверхностью, или фронтом волны. Форма волновых поверхностей зависит от формы источника волн и от свойств среды, в которой распространяется волна. Волна называется плоской, если ее волновые поверхности являются плоскими, параллельными другу. Если волновые поверхности сферы или цилиндра, то волны называются сферическими или цилиндрическими. Мы ограничимся рассмотрением плоских волн, т. к. на практике сферические волны, прошедшие очень малое расстояние, можно считать плоскими, т. к. малый участок сферы очень близок к плоскости. Еще раз подчеркнем, что отдельные осцилляторы не перемещаются вместе с волнами через среду. Они гармонически колеблются в поперечном или продольном направлении около своих положений равновесия. Перемещается через среду фазовая поверхность. Упругие волны

Уравнение волны Если частицы среды связаны между собой упругими силами, то перемещение первой частицы (источника) вызовут появление упругой силы, действующей на вторую частицу, которая также начнет перемещаться вслед за первой, но вследствие инерции с некоторым запозданием. Это запоздание ( τ = х/υ ) зависит от жесткости связи и от расстояния до источника возмущения. Поэтому колебания каждой следующей частицы отстают по фазе от колебаний источника. Если колебания источника подчиняются гармоническому закону ξ = ξо. Sin(ωt) , где ω – циклическая частота, а ξ – смещение частиц среды от своего положения равновесия, то колебания каждой следующей частицы имеют вид : ξ = ξо. Sin[ω(t - τ)] = ξо. Sinω(t - x/υ ) = ξо. Sin(ωt - ω·x/υ). Учитывая ω = 2π/T и k = 2π/λ , имеем: ξ = ξо. Sin(ωt - 2π/Т·x/υ ) = ξо. Sin(ωt - 2π·x/λ ) = ξо. Sin(ωt - kx ), здесь x – расстояние колеблющейся частицы от источника колебаний, υ – скорость распространения волны, а k = 2π/λ называется волновым числом, λ = υТ – это длина волны – расстояние, которое волна проходит за время одного периода колебаний. Таким образом, уравнение ξ = ξо. Sin(ωt - kx ) , которое характеризует смещение любой точки волны, находящейся на расстоянии x от источника колебаний, и в любой момент времени t , является уравнением волны, распространяющейся в среде вдоль оси x.

Волновое уравнение Зависимость смещения ξ = ξо. Sin(ωt - kx ) частиц волны, распространяющейся вдоль оси x , является решением некоторого дифференциального уравнения. Найдем это уравнение. Если ξ = ξо·Sin(ωt - kx ) , то : ∂ξ/∂t = ξо·Cos(ωt - kx )·ω ; ∂²ξ/∂t² = – ξо·Sin(ωt - kx )·ω² = – ξ ·(2 /T) ² ; ∂ξ/∂x = – ξо·Cos(ωt - kx )·k ; ∂²ξ/∂x² = – ξо·Sin(ωt - kx )·k² = – ξ ·(2 /λ)² ; Подставляя значение ξ = – 1/k²·∂²ξ/∂x² в уравнение второй производной по времени получаем : ∂²ξ/∂t² = ω²/k². ∂²ξ/∂x² или ∂²ξ/∂t² =. υ²·∂²ξ/∂x² , здесь υ² = (λ/T)² = ω²/k² . Это и есть уравнение, решением которого является ξ = ξо. Sin(ωt - kx ). Уравнение υ². ∂²ξ/∂x² = ∂²ξ/∂t² называется волновым уравнением. Оно описывает зависимость величины ξ – смещения частиц от времени и от координаты частицы вдоль оси x. Если смещение частиц отвечает волновому уравнению, то однозначно можно утверждать, что вдоль оси x распространяется волна, а коэффициент перед ∂²ξ/∂x² есть квадрат скорости распространения этой волны.

Скорость распространения энергия волн В жидких и газообразных средах может распространяться только один тип упругих волн — продольные волны. В волне этого типа движение частиц осуществляется в направлении распространения волны. В твёрдых телах существуют касательные напряжения, что приводит к существованию других типов волн, в которых движение частиц осуществляется по более сложным траекториям. Упругие волны, распространяющиеся в земной коре, называют сейсмическими волнами. Скорость распространения волн тем меньше, чем инертнее среда, т. е. чем больше ее плотность. С другой стороны, она имеет большее значение в более упругой среде, чем в менее упругой. Е G Скорость волн определяется по формуле: υпр = , υ пп = , ρ где υпр - скорость продольных волн, а υпп - скорость поперечных волн, ρ - плотность среды, E - модуль Юнга, G - модуль сдвига. Так как для большинства твердых тел E > G , то скорость продольных волн больше скорости поперечных.

Интерференция волн Явлением интерференции называют сложение двух (или нескольких) волн, при котором в разных точках пространства наблюдается устойчивую во времени усиление или ослабление амплитуды результирующей волны. Наблюдать устойчивую во времени интерференционную картину можно только при условии, что складываются когерентные волны. Волны называют когерентными, если их частоты одинаковы, колебания в волнах происходят в одной плоскости, разность фаз остается неизменной в данной точке. При интерференции результирующее колебание в каждой точке представляет собой геометрическую сумму колебаний, соответствующих каждой из складывающихся волн. Этот принцип суперпозиции соблюдается обычно с большой точностью и нарушается только при сложении волн с очень большими амплитудами. Рассмотрим две гармонические волны, испускаемые когерентным источниками S 1 и S 2 , находящимися на расстоянии d друг от друга в точке М, удаленной на расстоянии r 1 и r 2 от этих источников. По принципу суперпозиции, результирующее колебание в точке М будет суммой двух складываемых колебаний (при ξ 1 = ξ 2 = ξо ): ξ = ξ 1 + ξ 2 = ξo. Sin(ωt – kr 1 ) + ξo. Sin(ωt – kr 2 ). После преобразования имеем: ξ = 2ξo·Cos(½k(r 2 - r 1))·Sin(ωt - ½k(r 2 + r 1). Амплитуда стоячей волны ξ = 2ξo·Cos(½k(r 2 - r 1)). Величину Δr = r 2 - r 1 называют геометрической разностью хода волн. Анализ показывает, что амплитуда волны в точке М максимальна ξ = 2ξo, если Cos(½k(r 2 - r 1)) = 1 , то есть ½k(r 2 - r 1)) = ½· 2π/λ·Δr = πm , или Δr = mλ , где m = 0, 1, 2, … (условие максимума). Если же Δr = (2 m + 1)λ/2 , то амплитуда принимает минимальное значение ξ = |ξ 2 - ξ 1| = 0 (минимум). Если волны не когерентны, то разность фаз Δφ быстро и беспорядочно изменяется, принимая все возможные значения, так что (СosΔφ)ср = 0. В этом случае среднее значение амплитуды результирующей волны оказывается одинаковым в различных точках пространства, максимумы и минимумы размываются и интерференционная картина исчезает.

Стоячие волны Важным частным случаем является интерференция примой обратной волн, распространяющихся в противоположных направлениях, которая приводит к образованию стоячих волн. Рассмотрим положение двух плоских гармонических волн, распространяющихся во встречных направлениях. Получить такие волны можно путем отражения бегущей волны, от границе раздела двух сред. Если затухание в среде отсутствует и отражение от границы раздела без потерь, то амплитуды прямой и отраженной волны равны, а скорости противоположны. Стоячая волна является суперпозицией гармонических бегущих волн и по принципу суперпозиции она удовлетворяет волновому уравнению. ξ = ξ 1 + ξ 2 = ξo. Sin(ωt – kx ) + ξo. Sin(ωt + kx ). После преобразования имеем: ξ = 2ξo·Cos(kx)·Sin(ωt + kx ). Амплитуда стоячей волны ξст = 2ξ·Cos kx является периодической функцией координаты х. Точки, в которых амплитуда стоячей волны ξст = 0, называют узлами, а точки, где амплитуда ξст = 2ξ, называют пучностями стоячей волны. Расстояния между соседними узлами и пучностями равны половине длины бегущей волны. Положение узлов и пучностей находится из условия Cos(kx) = 0 для узлов, и Cos(kx) = 1 для пучностей. . Особенностью стоячей волны является то, что в ней, в отличие от бегущей волны, не происходит переноса энергии, а осуществляется пространственная перекачка энергии одного вида в энергию другого вида. В зависимости от свойств граничащих сред отражение на границе раздела может быть синфазным и анти синфазным. Свойства сред при распространении в них упругих волн характеризуется механическим волновым сопротивлением z = ρυ , где ρ-плотность среды, υ - скорость волны в среде. Если отражение происходит от более плотной среды z 2 > z 1, то антифазно. Если от менее плотной, то оно синфазно.

Принцип Гюйгенса - Френеля Согласно  принципу Гюйгенса каждая точка пространства, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, огибающая которых задает положение волнового фронта в следующий момент времени.   Волновой фронт − геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t . Принцип Гюйгенса решает лишь задачу о направлении распространения волнового фронта, но не затрагивает вопроса об амплитуде, (интенсивности) волн, распространяющихся по разным направлениям. Френель вложил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей интерференции вторичных волн.  Согласно принципу Гюйгенса-Френеля световая волна, возбуждаемая каким-либо источником S может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн. Каждый элемент волновой поверхности S служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна величине элемента d. S. Амплитуда этой вторичной волны убывает с расстоянием r от источника вторичной волны до точки наблюдения по закону 1/r. Следовательно, от каждого участка d. S волновой поверхности в точку наблюдения Р приходит элементарное колебание: , где (ωt + αо) − фаза колебания в месте расположения волновой поверхности S, k = 2 /λ − волновое число, r − расстояние от элемента поверхности d. S до точки P, в которую приходит колебание. Множитель ао определяется амплитудой светового колебания в месте наложения элемента d. S. Коэффициент K зависит от угла φ между нормалью к площадке d. S и направлением на точку Р. При φ = 0 этот коэффициент максимален, а при φ/2 он равен нулю. Результирующее колебание в точке Р представляет собой суперпозицию колебаний, взятых для всей поверхности S: Эта формула является аналитическим выражением принципа Гюйгенса-Френеля.  

Эффект Доплера Эффект впервые теоретически обосновал для акустических и электромагнитных волн в 1842 г. австрийский физик К. Доплер. Проявляется эффект в изменении частоты колебаний (или длины волны), воспринимаемой наблюдателем, при движении источника колебаний и наблюдателя относительно друга. При приближении источника каких-нибудь волн к наблюдателю приходит большее число волн в секунду, чем когда источник колебаний удаляется. Это приводит к тому, что наблюдатель воспринимает большее число колебаний в секунду, когда источник приближается к нему, и меньшее, — когда удаляется. Эффект Доплера

Применение эффекта Доплера На рисунке приведена схема измерения скорости кровотока на основе эффекта Доплера. От генератора 1 электрических колебаний УЗ-частоты сигнал поступает на УЗ излучатель 2 и на устройство сравнения частот 3. Ультразвуковая волна 4 проникает в кровеносный сосуд 5 и отражается от движущихся эритроцитов 6. Отраженная ультразвуковая волна 7 попадает в приемник 8, где преобразуется в электрическое колебание и усиливается. 9 – Мягкие ткани, в глубине которых расположен сосуд. Усиленное электрическое колебание попадает в устройство 3. Здесь колебания, соответствующие падающей и отраженной волнам, сравниваются, и выделяется доплеровский сдвиг частоты и определяется скорость эритроцитов. В крупных сосудах скорость эритроцитов различна в зависимости от их расположения относительно оси: «приосевые» эритроциты движутся с большей скоростью, а «пристеночные» - с меньшей. Ультразвуковая волна отражается от разных эритроцитов, следовательно, доплеровкий сдвиг представляет собой и нтервал частот. Поэтому этот метод позволяет определять не только среднюю скорость кровотока, но и скорость движения различных слоев крови. В диагностическом плане появилась возможность оценки значений и направлений движения нормальных и патологических потоков крови. Можно выделить потоки с ламинарным и турбулентным движениями. В эхоскопии эти задачи решаются в рамках ультразвуковой доплерографии. В современных ультразвуковых сканерах заложена возможность звукового и цветового кодирования различных скоростных составляющих кровотока. Метод, основанный на цветовом выделении зон патологического и нормального движения крови из общего черно-белого изображения, получил название цветового доплеровского картирования кровотока. Для более точного определения области роста опухоли широко используются контрастные вещества

Звуковые волны Звук — физическое явление, представляет собой распространение в виде упругих волн механических колебаний в твёрдой, жидкой или газообразной среде. В узком смысле под звуком имеют в виду эти колебания, рассматриваемые в связи с тем, как они воспринимаются органами чувств животных и человека. Как и любая волна, звук характеризуется амплитудой и спектром частот. Обычный человек способен слышать звуковые колебания в диапазоне частот от 16— 20 Гц до 15— 20 к. Гц. Звук ниже диапазона слышимости человека называют инфразвуком; выше: до 1 ГГц, — ультразвуком, от 1 ГГц — гиперзвуком. Громкость звука сложным образом зависит от эффективного звукового давления, частоты и формы колебаний, а высота звука — не только от частоты, но и от величины звукового давления. Скорость звука — скорость распространения звуковых волн в среде. Как правило, в газах скорость звука меньше, чем в жидкостях, а в жидкостях скорость звука меньше, чем в твёрдых телах, что связано в основном с убыванием сжимаемости веществ в этих фазовых состояниях соответственно. В среднем в идеальных условиях в воздухе скорость звука составляет 340— 344 м/с

Инфразву к Инфразву к (от лат. infra — ниже, под) — звуковые волны, имеющие частоту ниже воспринимаемой человеческим ухом. Поскольку обычно человеческое ухо способно слышать звуки в диапазоне частот 16— 20'000 Гц, за верхнюю границу частотного диапазона инфразвука обычно принимают 16 Гц. Нижняя же граница инфразвукового диапазона условно определена как 0, 001 Гц. Практический интерес могут представлять колебания от десятых и даже сотых долей герц, то есть, с периодами в десятки секунд. Инфразвук подчиняется общим закономерностям, характерным для звуковых волн, однако обладает целым рядом особенностей, связанных с низкой частотой колебаний упругой среды: инфразвук имеет гораздо большие амплитуды колебаний, по сравнению с акустическими волнами равной мощности; • инфразвук гораздо дальше распространяется в воздухе, поскольку его поглощение в атмосфере незначительно; • благодаря большой длине волны для инфразвука характерно явление дифракции, вследствие чего он легко проникает в помещения и огибает преграды, задерживающие слышимые звуки; • инфразвук вызывает вибрацию крупных объектов вследствие резонанса. Перечисленные особенности инфразвука затрудняют борьбу с ним, поскольку обычные способы борьбы с шумом (звукопоглощение, звукоизоляция, удаление от источника звука) против инфразвука малоэффективны. Инфразвук, образующийся в море, называют одной из возможных причин нахождения судов, покинутых экипажем Физиологическое действие инфразвука на человека зависит только от его спектральных, временных и мощностных характеристик и не зависит от того, на открытом пространстве или в помещении находится человек. Патогенное действие инфразвука заключается в повреждении нервных образований головного мозга, органов эндокринной системы и внутренних органов вследствие развития тканевой гипоксии из-за ликворогемодинамических и микроциркуляторных нарушений. При 180 -190 д. Б действие инфразвука смертельно вследствие разрыва лёгочных альвеол. Другие зоны интенсивных кратковременных воздействий вызывают синдром резко выраженного инфразвукового дискомфорта.

Ультразву к — звуковые волны, имеющие частоту выше воспринимаемым человеческим ухом, обычно под ультразвуком понимают частоты выше 20 000 Герц. Хотя о существовании ультразвука известно давно, его практическое использование достаточно молодо. В наше время ультразвук широко применяется в различных физических и технологических методах. Так, по скорости распространения звука в среде судят о её физических характеристиках. Частота ультразвуковых колебаний, применяемых в промышленности и биологии, лежит в диапазоне от нескольких десятков КГц до единиц МГц. Высокочастотные колебания обычно создают с помощью пьезокерамических преобразователей, например, из титанита бария. В тех случаях, когда основное значение имеет мощность ультразвуковых колебаний, обычно используются механические источники ультразвука. Первоначально все ультразвуковые волны получали механическим путем (камертоны, свистки, сирены). В природе УЗ встречается как в качестве компонентов многих естественных шумов (в шуме ветра, водопада, дождя, в шуме гальки, перекатываемой морским прибоем, в звуках, сопровождающих грозовые разряды, и т. д. ), так и среди звуков животного мира. Некоторые животные пользуются ультразвуковыми волнами для обнаружения препятствий, ориентировки в пространстве и общения (киты, дельфины, летучие мыши, грызуны, долгопяты). Благодаря хорошему распространению ультразвука в мягких тканях человека, его относительной безвредности по сравнению с рентгеновскими лучами и простотой использования в сравнении с магнитно-резонансной томографией ультразвук широко применяется для визуализации состояния внутренних органов человека, особенно в брюшной полости и полости таза. Помимо широкого использования в диагностических целях (ультразвуковое исследование), ультразвук применяется в медицине как лечебное средство. Ультразвук обладает следующими эффектами: противовоспалительным, рассасывающим действиями; анальгезирующим, спазмолитическим действиями; кавитационным усилением проницаемости кожи. Фонофорез — комбинированный метод лечения, при котором на ткани вместо обычного геля для ультразвуковой эмиссии (применяемого, например, при УЗИ) наносится лечебное вещество (как медикаменты, так и вещества природного происхождения). Предполагается, что ультразвук помогает лечебному веществу глубже проникнуть в ткани.

Лекция окончена. Спасибо за терпение Можно задавать вопросы