Властивості відношень. Відображення. Поняття алгебри Лекція 2 Вступ до теорії множин 1
Властивості бінарних відношень Нехай A – деяка множина, – бінарне відношення на A. Відношення називається: üрефлексивним, якщо a a для всіх a A; üсиметричним, якщо з a b випливає b a для a, b A; üтранзитивним, якщо з a b і b c випливає a c для a, b, c A. Рефлексивне, симетричне та транзитивне відношення називається відношенням еквівалентності. Важливою властивістю будь-якого визначеного на множині A відношення еквівалентності є те, що воно розбиває A на неперерізні підмножини – класи еквівалентності. Для кожного елемента a A позначимо через [a] клас еквівалентності, який містить a, тобто множину {b|a b}. Властивості відношень 2
Приклад відношення еквівалентності Приклад 1. 6. Розглянемо визначене на множині N = {1, 2, . . . } відношення порівняння за модулем M. Кажуть, що a порівняно з b (a, b N) за модулем M і пишуть a b(mod M), якщо існує таке ціле число k, що a – b = k M. Нехай M = 3. Тоді множина {3, 6, . . . , 3 n, . . . } буде одним із класів еквівалентності, оскільки 3 n 3 m(mod 3) для будьяких цілих чисел m і n. Позначимо цей клас через [3]. Інші два класи еквівалентності відношення порівняння за модулем 3: [2] = {2, 5, 8, . . . , 3 n+2, . . . }, [1]={1, 4, 7, . . . , 3 n+1, . . . }. Очевидно, що [1] [2] [3] = N та [1] [2] = , [1] [3] = , [2] [3] = . Властивості відношень 3
Індекс відношення еквівалентності Індексом визначеного на множині A відношення еквівалентності називається кількість класів еквівалентності, на які цим відношенням розбивається множина A. У прикладі 1. 6 індекс відношення еквівалентності на множині N = {1, 2, . . . } складав 3. Властивості відношень 4
Деякі спеціальні бінарні відношення Бінарне відношення 2 називається відношенням толерантності, якщо воно рефлексивне, симетричне, але не транзитивне. Бінарне відношення 2 називається відношенням нестрогого порядку, якщо воно рефлексивне, транзитивне, але не симетричне. Бінарне відношення 2 називається відношенням строгого порядку, якщо воно транзитивне, але не рефлексивне та симетричне. Властивості відношень 5
Відображення Важливим класом відношень є відображення. Означення 1. 1. Відображенням (або функцією) M множини A у множину B називають таке відношення з A у B, коли при (a, b) M і (a, c) M, b = c. Якщо (a, b) M, то зазвичай пишуть M(a) = b. Кажуть, що M(a) визначене, якщо b B є таким, що (a, b) M. Якщо M(a) визначене для всіх a A, то кажуть, що M всюди визначене. Якщо треба підкреслити, що M може бути визначене не для всіх a A, то кажуть, що M – часткове відображення (функція) множини A у множину B. У будьякому випадку пишуть M: A B. Означення 1. 2. Множини A та B називаються областю визначення та множиною значень M, відповідно. Відображення 6
Ін’єктивне відображення (ін’єкція) Означення 1. 3. Якщо відображення M: A B таке, що b B існує не більш ніж одне a A таке, що M(a) = b, то відображення M називається ін'єктивним (взаємно однозначним, ін'єкцією). Важлива властивість ін’єкції полягає в тому, що якщо b=M(a 1) & b=M(a 2) ═> (a 1=a 2). Для ін’єктивного відображення можна знайти обернене відображення M– 1: B A, для якого M– 1(b) = a тоді й тільки тоді, коли M(a) = b. Якщо b B, для якого в A не знайдеться такого a, що M(a)=b, то M– 1 буде частковою функцією. Відображення 7
Сюр’єктивне відображення (сюр’єкція) Означення 1. 4. Якщо відображення M всюди визначене на A та b B a A таке, що b=M(a), то M називається сюр’єктивним відображенням (сюр’єкцією). Відображення 8
Бієктивне відображення (бієкція) Означення 1. 5. Всюди визначене відображення M на A таке, що для b B існує одне і тільки одне a A, для якого виконується умова M(a) = b, називається бієктивним відображенням (бієкцією). Бієктивне відображення можна визначити як ін'єктивне та сюр’єктивне. Поняття бієктивного відображення використовується для визначення потужності множин. Відображення 9
Різні види функцій (1) A B Відношення, але не функція Відображення A B Ін’єкція, але не сюр’єкція 10
Різні види функцій (2) A B Сюр’єкцієя, але не ін’єкція Відображення A B Бієкція 11
Приклади відображень (1) Приклад 1. 1. Нехай A та B – множини дійсних чисел і f : A B визначена у такий спосіб: f(x)=3 x+5. Функція f ін’єктивна, бо якщо f(a 1)=f(a 2), то 3 a 1+5=3 a 2+5 і a 1=a 2. Функція f є також сюр’єктивною. Для будь-якого дійсного числа b необхідно знайти таке a, що f(a)=b=3 a+5. Розв’язуючи це рівняння відносно a, знаходимо, що якщо a=(1/3)(b-5), то f(a)=b. Тому f являє собою взаємно-однозначну відповідність. Відображення 12
Приклади відображень (2) Приклад 1. 2. Нехай A та B – множини дійсних чисел і f : A B визначена як f(x)=x 2. Функція f не є ін’єктивною, бо f(2)=f(-2), але 2≠-2. Функція f не є також і сюр’єктивною, оскільки не існує такого дійсного числа a, для якого f(a)=-1. Слід зауважити, що у випадку, коли A та B – множини невід’ємних дійсних чисел, то функція f є як ін’єктивною, так і сюр’єктивною. Відображення 13
Потужність множин Означення 1. 6. Множина S скінченна, коли рівнопотужна множині {1, 2, . . . , n} для деякого цілого числа n (у цьому випадку потужність множини – S, |S| = n). Означення 1. 7. Множина нескінченна, коли рівнопотужна деякій власній підмножині. Означення 1. 8. Множина зчисленна (рахункова), коли рівнопотужна множині додатних цілих чисел N = {1, 2, . . . }. Потужність такої множини позначається як 0. Існують нескінченні незчисленні множини. Означення 1. 9. Нескінченна множина, що не є зчисленною, називається незчисленною. Нескінченна незчисленна множина рівнопотужна (еквівалентна) множині дійсних чисел D і називається також континуальною. Її потужність позначається як c. Потужність множин 14
Континуум-гіпотеза 1877 року Георг Кантор висунув і згодом безуспішно намагався довести так звану континуум-гіпо тезу, яку можна сформулювати таким чином: Будь-яка нескінченна підмножина континууму є або рахунковою, або континуальною. (Не існує нескінченних множин, потужність яких знаходиться між 0 та c). Континуум-гіпотеза стала першою з двадцяти трьох математичних проблем, про які Гільберт доповів на II Міжнародному Конгресі математиків в Парижі в 1900 році. Тому континуум-гіпотеза відома також як перша проблема Гільберта. Потужність множин 15
Коен Пол Джозеф (2. 04. 1934 – 23. 03. 2007) Коеном було доведено, що континуум-гіпотеза не може бути ані доведена, ані спростована, за що він став лауреатом премії Бохера Американського математичного товариства (саме її вручили йому за розробки в області континуум-гіпотези), одержав золоту медаль конгресу математиків у Москві (1964 р. ), Філдсівську медаль (еквівалент Нобелівської премії в галузі математики), він був почесним членом Лондонського наукового товариства. Потужність множин 16
Відображення Повернемось до розгляду множин A та B. Якщо множина B збігається із множиною E 2 = {0, 1}, то відображення M: A E 2 називається предикатом. Квантори і зв'язують змінні у предикаті. Наприклад, ( x X)( y Y)[x y] не залежить від x та y. Якщо множина B збігається із множиною дійсних чисел, то відображення M: A B називається функціоналом. У випадку, коли множини A та B є значеннями деяких змінних величин, відображення M: A B називається функцією. Відображення 17
Поняття алгебри Означення 1. 10. Алгеброю називається система Α = B, , що складається з основної множини B (основи алгебри) та визначеної на ній скінченної або нескінченної множини nарних алгебраїчних операцій, які називаються сигнатурою операцій алгебри. Задати n-арну операцію на множині B означає зумовити для будь-яких n елементів b 1, b 2, . . . , bn B елемент b B, який є результатом застосування операції до елементів b 1, b 2, . . . , bn. Це записується так: b = (b 1, b 2, . . . , bn). Вимога однозначності операції обов'язкова. Звідси випливає, що є функцією на B. Алгебри 18
Приклади алгебр Розглянемо конкретні приклади алгебр. У випадку, коли множина B є множиною векторів, а – сукупністю операцій над ними, A являє лінійну алгебру. Якщо B – множина комплексних чисел, а – сукупність операцій над ними, то маємо алгебру комплексних чисел. Наприклад, ми можемо записати мовою Сі++ протокол класу matrix для виконання операцій над комплексними матрицями. Якщо ж B – множина булевих змінних, а – сукупність операцій над ними, то ці множини визначають булеву алгебру. Алгебри 19
Багатоосновні алгебри Узагальненням в визначенні алгебр є поняття багатоосновної алгебри, сигнатуру якої визначено на деякій сукупності множин Bi, що є основами алгебри. Прикладом багатоосновної алгебри є система алгоритмічних алгебр (САА) В. М. Глушкова, основами якої є множина операторів (B 1) і множина логічних умов (B 2) із визначеною на множинах сигнатурою операцій . Деякі операції сигнатури та їх порівняння із відповідними операторами мови програмування Pascal подано у таблиці на наступних слайдах. Алгебри 20
Академік Глушков В. М. (24. 08. 1923 – 30. 01. 1982) Піонер кібернетики в Україні, створив Інститут кібернетики НАН України. Під його керівництвом в 1966 р. було створено першу персональну ЕОМ „МІР – 1”, автор фундаментальних праць у галузі кібернетики, математики і обчислювальної техніки. Яскравим науковим результатом є створення математичного апарату модифікованих систем алгоритмічних алгебр для дослідження паралельних алгоритмів. Алгебри 21
Сигнатура операцій в САА № Сигнатура операцій алгоритмічної алгебри Відповідні оператори мови Паскаль 1 Композиція A*B A; B; 2 -диз'юнкція if then A else B; 3 -ітерація while do A; 4 Обернена -ітерація repeat A until not ; 5 Перемикач case of 1: A 1; . . . k: Ak; end; Алгебри 22
Сигнатура паралельних операцій в САА-М № Сигнатура паралельних операцій САА-М Позначення операції 1 Фільтрація u Унарна операція, що породжує операторифільтри 2 Синхронна диз’юнкція A V B Бінарна операція синхронного застосування операторів A i B Бінарна операція паралельного виконання Асинхронна диз’юнкція A B операторів A і B на двох 3 підструктурах певної моделі (наприклад, ядрах мікропроцесора) Алгебри 23
Паралельні підсхеми алгоритму Флойда-Уоршала для MPP-архітектури із GPU Після застосування запропонованих автором підходів* отримаємо підсхеми алгоритму, які виконуються на GPU * S. D. Pogorilyy, Yu. V. Boyko, A. D. Gusarov, S. I. Lozytskyi. An approach to the parallel solution of a high-dimensional basic flow problem. Cybernetics and Systems Analysis, Volume 45, Issue 2 (March 2009) pages: 291 – 296. Springer Science and Business Media Inc. ISSN: 1060 -0396. Алгебри 24
Параллельна схема алгоритму Флойда. Уоршала для MPP-архитектуры с GPU (2) Загальна паралельна схема алгоритму виглядає у такий спосіб: Алгебри 25
Кольорова мережа Петрі алгоритму Флойда-Уоршала для MPP-архітектури із GPU Алгебри 26
Алгебри 27
Скачать презентацию Властивості відношень Відображення Поняття алгебри Лекція 2 Вступ
ДМ_л2_2012.ppt