Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Курс лекций

Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Курс лекций по сетевому анализу Степанова Алена Андреевна профессор кафедры математики и моделирования

оглавление 1. Сетевой график 2. Нумерация событий. Метод вычеркивания 3. Алгоритм Форда нумерации событий 4. Критическое время 5. Максимальные времена наступления событий 6. Резервы времени 2

оглавление 7. Подкритические пути 8. Линейная диаграмма проекта 9. Оптимальное по времени распределение ресурсов при постоянных интенсивностях 10. Уплотнение ресурса 3

Оглавление(продолжение) 5. Прямые и плоскости 6. Кривые второго порядка 7. Поверхности второго порядка 8. Замечательные кривые 9. Комплексные числа 4

Лекция 1. Сетевой график 5

• Ориентированный граф(орграф) – это пара (V; E), где V - непустое множество, E -множество упорядоченных пар элементов из V. • Элементы множества V называются вершинами, элементы множества Е называются дугами орграфа. 6

Сеть – это орграф, в котором существует единственная вершина, в которую не входит ни одна дуга и существует единственная вершина, из которой не выходит ни одна дуга, при этом каждой дуге сопоставлено некоторое число, которое называется длиной дуги. 7

Пусть (V; E) – орграф. • Последовательность u 1, (u 1, u 2), u 2, …, un-1, (un-1, un), un, где u 1 , …, un - вершины орграфа, (u 1, u 2), …, , (un-1, un) – дуги орграфа, называется путем в орграфе. • Число дуг пути называется длиной пути. 8

• Сетевой график – это наглядное изображение проекта в виде орграфа, отображающее технологическую связь между работами. • Вершины сетевого графика называются событиями. • Дуги сетевого графика называются работами. Замечание. В сетевом графике не существует циклов. 9

Правила составления сетевого графика • Если k>1 работ выходят из одного события Pi и входят в одно событие Pj, то вводим k-1 дополнительных событий Pi 1, …, Pi(k-1), которые соединяем с Pj фиктивными работами нулевой продолжительности, изображаемых пунктиром. • Если событие Pi (I отлично от m и 0) не имеет выходящих (входящих) дуг, то Pi (P 0) следует соединить фиктивной работой с Pm (Pi). 10

Ключевые понятия Орграф, вершина, дуга, путь, длина пути, сеть, сетевой график 11

Вопросы для самопроверки по теме «Сетевой график» • Дать определение орграфа. • Как определяется понятие пути в орграфе? • Как посчитать длину пути в орграфе? • Что такое сеть? • Определить понятие сетевого графика. 12

Вопросы для самопроверки по теме «Сетевой график» (продолжение) • Является ли сетевой график сетью? • Какие существуют правила построения сетевого графика? 13

Лекция 2. Нумерация событий. Метод вычеркивания дуг 14

Сетевой график называется правильно занумерованным, если из того, что - работа следует, что. 15

Метод вычеркивания дуг (алгоритм правильной нумерации сетевого графика) Первый шаг: просматриваем сеть с события , которое отнесем к событиям 0 -го ранга, и вычеркиваем все дуги, выходящие из ; события без входящих дуг отнесем к событиям 1 -го ранга. 16

Общий шаг: вычеркиваем все дуги, выходящие из события k –го ранга; события без входящих дуг отнесем к событиям (k+1) –го ранга. 17

После разбиения событий по рангам нумеруем события: событию присваиваем номер 0; событиям 1 -го ранга в произвольном порядке присваиваем номера 1, 2, … , k 1; событиям 2 -го ранга в произвольном порядке присваиваем номера k 1+1, … , k 1+k 2; и т. д. 18

Утверждение 1. На каждом шаге алгоритма вычеркивания дуг найдется событие, в которое не входит ни одна дуга. Утверждение 2. Ранг события – наибольшая из длин путей из P 0 в данное событие, где под длиной пути мы понимаем число дуг, входящих в этот путь. 19

пример Р 2 Р 1 Р 3 Р 0 Р 4 Р 5 20

Разбиение событий по рангам: ранг 0 1 2 событие P 0 P 1, P 5 P 4 3 4 P 2 P 3 21

Пронумерованная сеть: Р 4 Р 1 Р 5 Р 0 Р 3 Р 2 22

Ключевые понятия Правильная нумерация событий в сетевом графике, ранг события, алгоритм правильной нумерации событий (метод вычеркивания дуг). 23

Вопросы для самопроверки по теме «Нумерация событий. Метод вычеркивания дуг» • Дать определение правильной нумерации событий. • Для чего применяется метод вычеркивания дуг? • Описать этот метод? • Что такое ранг события? 24

Лекция 3. Алгоритм Форда нумерации событий 25

Алгоритм Форда нумерации событий (алгоритм правильной нумерации сетевого графика) Первый шаг: каждой вершине число ; каждой дуге число. ставят в соответствие 26

Общий шаг: просматриваем все события сети в каком-нибудь порядке, например , и полагаем , , где равно или в зависимости от того, просматривалось ли на -м шаге событие или нет. 27

Обозначение: для всех. Утверждение 3. Число есть максимальная из длин цепей из события в событие , т. е. совпадает с рангом события. 28

После разбиения событий по рангам нумеруем события: событию присваиваем номер 0; , . событиям 1 -го ранга в произвольном порядке присваиваем номера 1, 2, … , k 1; событиям 2 -го ранга в произвольном порядке присваиваем номера k 1+1, … , k 1+k 2; и т. д. 29

пример Р 2 Р 1 Р 3 Р 0 Р 4 Р 5 30

1 -й шаг: 2 -й шаг: для всех 31

3 -й шаг: 32

4 -й шаг: 33

Разбиение событий по рангам: ранг событие 0 P 0 1 P 1, P 5 2 P 4 3 P 2 4 P 3 34

Пронумерованная сеть: Р 4 Р 1 Р 5 Р 0 Р 3 Р 2 35

Ключевые понятия Правильная нумерация событий, ранг события, алгоритм Форда правильной нумерации событий. 36

Вопросы для самопроверки по теме «Алгоритм Форда нумерации событий» • Дать определение правильной нумерации событий сетевого графика. • Что такое ранг события? • Описать алгоритм Форда нумерации событий сетевого графика. 37

Лекция 4. Критическое время 38

• Длина работы - это продолжительность ее выполнения. • Длина пути – это продолжительность выполнения всей последовательности работ этого пути, т. е. сумма длин работ этого пути. • Считаем, что время наступления события равна нулю. 39

• Минимальное (наиболее раннее) время возможного наступления события равно максимальной длине пути из в. • Критическое время проекта – это минимальное время наступления последнего события. • Критический путь – путь из в максимальной длины. • Критическая работа – это работа, принадлежащая критическому пути. 40

Алгоритм вычисления минимальных времен и критического времени Первый шаг: каждой вершине ставят в соответствие число ; каждой дуге ставят в соответствие число. 41

Общий шаг: просматриваем все события пронумерованной сети в порядке , полагаем , и записываем около каждого вычисленного номера тех событий , на которых был достигнут максимум. , 42

Утверждение 4. Для правильно занумерованной сети третий шаг не изменит ни одного из чисел , полученных после второго шага. 43

Утверждение 5. Каждое из чисел определяет максимальную длину пути из в , т. е. равно минимальному времени наступления события. Число дает критическое время. 44

Утверждение 6. Путь из в является критическим тогда и только тогда, когда для всех дуг этого пути. 45

Следствие. Если по пометках, полученным в алгоритме вычисления минимальных времен, восстановить путь из в начиная с пометок события , то этот путь будет критическим. 46

пример Р 1 3 Р 0 Р 4 2 3 6 4 5 9 Р 5 Р 3 8 4 Р 2 47

1 -й шаг: 2 -й шаг: для всех 48

Таким образом, критическое время равно 16; критические пути: 49

Ключевые понятия Минимальное время наступления события, критическое время проекта, критический путь, критическая работа, алгоритм вычисления минимальных времен, критического времени и нахождения критического пути. 50

Вопросы для самопроверки по теме «Критическое время» • Дать определение минимального времени наступления события. • Что такое критическое время проекта? • Определить понятие критического пути. • Какая работа называется критической? 51

Вопросы для самопроверки по теме «Критическое время» (продолжение) • Описать алгоритм вычисления минимальных времен. • За сколько шагов данный алгоритм сходится при условии правильной нумерации сети? 52

Лекция 5. Максимальные времена наступления событий 53

• Максимальным (наиболее поздним) временем наступления события называется наиболее позднее время окончания всех работ, входящих в , не увеличивающее критическое время проекта. Замечание. Максимальное время наступления события равно разности между критическим временем проекта и максимальной длиной пути из в. 54

Утверждение 7. Для того, чтобы событие принадлежало критическому пути, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство 55

Алгоритм вычисления максимальных времен Первый шаг: каждой вершине ставят в соответствие число ; каждой дуге ставят в соответствие число. 56

Общий шаг: просматриваем все события пронумерованной сети в порядке от до ; полагаем и. Максимальные времена получаем по формуле: 57

пример Р 1 3 Р 0 Р 4 2 4 3 33 6 9 5 Р 3 8 4 4 Р 2 58

1 -й шаг: 2 -й шаг: для всех 59

Максимальные времена получаем по формуле : 60

Ключевые понятия Максимальное время наступления события, критическое время проекта, критический путь, алгоритм вычисления максимальных времен наступления события. 61

Вопросы для самопроверки по теме «Максимальные времена наступления событий» • Дать определение максимального времени наступления события. • Описать алгоритм вычисления минимальных времен. • За сколько шагов данный алгоритм сходится при условии правильной нумерации сети? • Сформулировать критерий принадлежности события критическому пути. 62

Лекция 6. Резервы времени 63

Величина называется полным резервом времени работы. Свойства полного резерва времени работы : • при увеличении продолжительности выполнения работы на полный резерв времени этой работы критическое время выполнения проекта не меняется; • при увеличении на полный резерв времени работы критическое время выполнения проекта не меняется; 64

• полный резерв времени работы равен нулю тогда и только тогда, когда данная работа критическая; • увеличение продолжительности некритической работы на полный резерв времени влечет появление нового критического пути, содержащего эту работу; • полный резерв времени работы – это разность между критическим временем выполнения проекта и максимальной длиной пути, проходящего через эту работу. 65

• Величина называется свободным резервом времени работы Свойства свободного резерва времени работы • при увеличении продолжительности выполнения работы на полный резерв времени этой работы критическое время выполнения проекта не меняется; • при увеличении продолжительности выполнения работы на полный резерв времени не меняется; : 66

• увеличение продолжительности работы на часть ее свободного резерва может уменьшить полный резерв времени работ, входящих в событие и не влияет на полные резервы работ, выходящих из события ; • для работ, оканчивающихся в событиях, лежащих на критическом пути, полный резерв времени совпадает со свободным. 67

• Величина называется независимым резервом времени работы. Свойства независимого резерва времени работы : • независимый резерв времени работы это максимально допустимое время для увеличения продолжительности этой работы или запаздывания ее начала при условии, что все работы, входящие в событие , заканчиваются во время , а все работы, выходящие из события , начинаются во время ; 68

• при увеличении продолжительности выполнения работы на независимый резерв времени этой работы критическое время выполнения проекта не меняется; • использование на работе ее независимого резерва времени не влияет на резервы других работ; • для работы, выходящей из события, лежащего на критическом пути, независимый резерв времени совпадает со свободным. 69

ПРИМЕР Р 1 3 Р 0 Р 4 2 4 3 6 9 5 Р 3 8 4 Р 2 70

Резервы полный 3 4 5 4 2 8 6 9 3 0 0 0 3 3 4 7 7 13 3 8 7 7 13 16 16 свободный независи мый 0 4 2 0 8 4 0 0 0 0 8 0 0 71

Ключевые понятия Полный резерв времени работы, свободный резерв времени работы, независимый резерв времени работы. 72

Вопросы для самопроверки по теме «Резервы времени» • Дать определение полного резерва времени работы. • Перечислить свойства полного резерва времени работы. • Дать определение свободного резерва времени работы. • Перечислить свойства свободного резерва времени работы. • Дать определение независимого резерва времени работы. • Перечислить свойства независимого резерва времени работы. 73

Лекция 7. Подкритические работы 74

Работы, лежащие на путях, длина которых отличается от длины критического пути не более чем на величину , называются подкритическими с величиной отклонения. Замечание. Работа длины является подкритической с величиной отклонения , если 75

Подкритическим путем с величиной отклонения называется путь из в , длина которого удовлетворяет неравенствам Утверждение. Работа является подкритической с величиной отклонения тогда и только тогда, когда ее полный резерв времени не превосходит. 76

ПРИМЕР Р 1 3 Р 0 Р 4 2 4 3 6 9 5 Р 3 8 4 Р 2 77

Пусть =2. Подкритическими работами являются критические работы и работа. Подкритическими путями являются критические пути и путь 78

Ключевые понятия Подкритическая работа, подкритический путь, полный резерв времени работы. 79

Вопросы для самопроверки по теме «Подкритические работы» • Дать определение подкритической работы. • Что такое подкритический путь? • Какая существует связь между понятиями подкритической работы и полного резерва времени этой работы? 80

Лекция 8. Линейная диаграмма проекта 81

Алгоритм построения линейной диаграммы проекта: • на горизонтальной оси наносится равномерная шкала времени; • каждая работа изображается полоской, параллельной оси времени, длины, равной продолжительности этой работы; • работы откладываются в порядке возрастания индекса , при равенстве этих индексов – в порядке возрастания индекса. 82

• Критическое время проекта равно координате по оси времени самого правого конца всех полосок-работ линейной диаграммы. • Нахождение критического пути: рассматриваем полоску любой работы, заканчивающейся в критическое время; находим полоску-работу, правый конец которой совпадает с левым концом уже выбранной полоски-работы, и т. д. Полученная последовательность работ составляет критический путь. • Минимальное время наступления события - это координата начала полоскиработы для любого. 83

• Нахождение максимального времени наступления события : сдвигаем вправо до вертикали критического времени полоскиработы , правым концом которых служит последнее событие; спускаясь затем сверху вниз, сдвигаем одну за другой все полоски вправо на максимально допустимые отрезки, т. е. так, чтобы правые концы сдвигаемых полосок попали на одну вертикаль с самым левым концом уже сдвинутых полосок; левый конец ранее сдвинутых полосок определяет максимальное время наступления события. 84

• Полный резерв времени работы - это величина сдвига полоски-работы при нахождении максимальных времен появления событий. • Свободный резерв времени работы это наибольшая длина отрезка, на который можно сдвинуть вправо полоску-работу , не сдвигая других полосок-работ. 85

• Нахождение независимого резерва времени работы : сдвигаем полоску-работу до совпадения с ; тогда независимый резерв времени работы - это длина отрезка от конца сдвинутой полоски до минимального времени события. 86

пример Р 1 2 Р 0 Р 4 3 4 2 6 4 5 Р 3 7 4 Р 2 87

Р 4 Р 3 Р 5 Р 5 Р 2 Р 3 Р 1 Р 4 Р 1 Р 3 Р 0 Р 1 Р 0 2 Р 2 4 5 6 7 10 11 12 14 88

• Минимальное время события : • Максимальное время события : появления 89

• Полный резерв времени (ПРВ) некритической работы : • Свободный резерв времени (СРВ) некритической работы : 90

• Независимый резерв времени (НРВ) некритической работы : 91

Ключевые понятия Линейная диаграмма проекта, максимальные и минимальные времена появления события, полный, свободный и независимый резервы времени. 92

Вопросы для самопроверки по теме «Линейная диаграмма проекта» • Описать алгоритм построения линейной диаграммы проекта. • Как по линейной диаграмме проекта находятся максимальные и минимальные времена появления события? • Как по линейной диаграмме проекта находятся полный, свободный и независимый резервы времени? 93

Лекция 9. Оптимальное по времени распределение ресурсов при постоянных интенсивностях 94

Пусть проект выполняется s различными ресурсами, ежедневное наличие которых • Интенсивность потребления k – го ресурса это количество k – го ресурса, потребляемого в единицу времени. 95

Для каждого ресурса известно: • - интенсивность потребления этого ресурса для работы • - продолжительность выполнения работы при этой интенсивности 96

Постановка задачи: оптимальное распределение ресурсов по работам, т. е. размещение работ, которое при заданных ограниченных ресурсах обеспечило бы выполнение проекта в минимальное время 97

Алгоритм приближенного решения задачи Для простоты изложения считаем, что все работы потребляют один и тот же ресурс Первый шаг: 1) составляем линейную диаграмму проекта; 2) определяем критическое время, критические работы, полные резервы времени для всех работ; 98

3) проектируем начало и конец каждой работы на ось времени, проекции обозначаем через ; 4) рассматриваем совокупность работ над промежутком ; 5) нумеруем эти работы в порядке возрастания их ПРВ, при равенстве ПРВ – в порядке убывания их интенсивностей; 99

6) суммируем интенсивности этих работ в порядке возрастания их номеров; 7) работы, для которых после прибавления их интенсивностей сумма превосходит , сдвигаем вправо к моменту. 100

Предположим проделано k шагов алгоритма, так что суммарная интенсивность работ, размещенных над промежутком , не превышает. 101

Общий шаг: 1) момент считаем моментом начала оставшейся части проекта; 2) определяем критическое время, критические работы, полные резервы времени для всех работ, начинающихся не ранее ; 3) рассматриваем совокупность работ над промежутком ; 102

4) нумеруем эти работы в зависимости от условий задачи: а) если работы проекта не допускают перерыва в их выполнении, то первые номера присваиваем продолжающимся работам, остальные работы нумеруем в порядке возрастания их ПРВ, при равенстве ПРВ – в порядке убывания их интенсивностей; 103

б) если работы проекта допускают перерыв в своем выполнении, то нумеруем работы в порядке возрастания их ПРВ, при равенстве ПРВ – в порядке убывания их интенсивностей; 5) суммируем интенсивности этих работ в порядке возрастания их номеров; 104

6) работы, для которых после прибавления их интенсивностей сумма превосходит , сдвигаем вправо к моменту , причем, если при нумерации а) сдвигу подлежит продолжающаяся работа, то сдвигаем ее полностью. Алгоритм закончен, когда просмотрены все работы проекта. 105

пример (работы проекта не допускают перерыва в их выполнении, А=12) Р 1 2; 6 Р 0 Р 4 3; 7 2; 5 6; 2 6; 3 4; 4 4; 3 5; 3 Р 5 Р 3 4; 3 7; 4 Р 2 106

Линейная диаграмма проекта: (0, 2): (P 0, P 1), (P 0, P 3), (P 0, P 2) Р 4 Р 3 Р 1 Р 0 Р 0 4 5 3 6 2 Р 1 2 Р 4 7 Р 1 Р 5 3 Р 5 Р 5 3 Р 2 5 Р 3 Р 2 4 5 6 7 10 11 12 14 107

(2, 5): (P 0, P 3), (P 1, P 3), (P 0, P 2) , (P 1, P 4) Р 4 Р 3 Р 1 5 Р 0 Р 0 Р 1 6 2 3 Р 5 Р 4 2 Р 4 7 Р 1 Р 5 3 Р 2 Р 3 5 Р 5 4 Р 3 Р 2 3 5 6 10 12 13 14 108

(5, 6): (P 0, P 2), (P 1, P 3), (P 1, P 4) Р 4 Р 3 Р 2 Р 3 3 2 Р 1 Р 0 Р 1 4 5 Р 0 Р 1 6 2 Р 5 3 7 5 Р 5 Р 4 Р 3 Р 2 3 5 6 8 10 12 13 14 109

(6, 9): (P 3, P 4), (P 2, P 5), (P 1, P 4), (P 3, P 5) Р 4 Р 3 Р 2 Р 3 Р 1 Р 0 Р 1 5 Р 0 4 6 Р 1 2 Р 5 3 7 3 2 Р 4 5 Р 5 Р 4 Р 3 Р 2 3 5 6 9 10 12 13 14 110

(9, 10): (P 3, P 4), (P 2, P 5), (P 3, P 5), (P 1, P 4) Р 4 Р 3 Р 1 Р 0 5 Р 0 4 6 Р 1 2 Р 5 3 2 Р 3 Р 1 Р 5 3 Р 2 5 Р 4 7 Р 4 Р 3 Р 2 3 5 6 9 10 12 13 14 111

(10, 12): (P 3, P 4), (P 2, P 5), (P 1, P 4) Р 33 Р Р 55 Р 3 3 Р 22 Р Р 1 Р 00 Р 5 5 Р 00 Р Р 11 Р 6 6 2 4 4 Р 55 Р 3 4 2 3 3 Р 33 Р Р 11 Р Р 45 5 Р 5 7 7 Р 44 Р Р 4 Р 33 Р 3 3 5 Р 2 6 10 12 13 15 112

(12, 13): (P 2, P 5), (P 1, P 4) (13, 15): (P 1, P 4) (15, 17): (P 4, P 5) Р 4 Р 3 Р 5 3 Р 2 Р 4 Р 1 Р 0 Р 1 5 Р 0 4 6 Р 1 2 Р 5 3 2 Р 3 5 7 Р 4 Р 3 Р 2 3 5 6 10 12 13 15 17 113

Ключевые понятия Интенсивность потребления ресурса на работе, оптимальное по времени распределение ресурсов при постоянных интенсивностях. 114

Вопросы для самопроверки по теме «Оптимальное по времени распределение ресурсов при постоянных интенсивностях » • Дать определение интенсивности потребления ресурса на работе. • Сформулировать задачу оптимального по времени распределения ресурсов при постоянных интенсивностях. • Описать алгоритм приближенного решения этой задачи, если работы проекта не допускают перерыва в их выполнении. • Описать алгоритм приближенного решения этой задачи, если работы проекта допускают перерыва в их выполнении. 115

Лекция 10. Уплотнение ресурса 116

Алгоритм уплотнения ресурсов применяется к линейной диаграмме проекта, полученного в результате применения алгоритма приближенного решения задачи оптимального по времени распределения ресурсов при постоянных интенсивностях. 117

Алгоритм уплотнения ресурсов 1 шаг: 1) проектируем начало и конец каждой работы на ось времени, проекции обозначаем через ; 2) рассматриваем промежуток ; 3) если количество ресурса, потребляемого на этом промежутке меньше имеющегося в наличии, то нумеруем работы, заканчивающиеся событием в момент в порядке убывания их интенсивностей; 118

4) суммируем потребляемое на промежутке количество ресурса и ресурсом каждой из работ из предыдущего промежутка в порядке их номеров; 5) если полученная сумма не превышает наличия ресурса, то сдвигаем эту работу вправо так, чтобы ее конец совпал с ; 6) после просмотра всех работ их предыдущего промежутка снова проектируем начала и концы всех работ на временную ось. 119

Общий шаг: 1) рассматриваем промежуток ; 2) если количество ресурса, потребляемого на этом промежутке, меньше имеющегося в наличии, то нумеруем работы, заканчивающиеся в момент , которые сетевой график позволяет сдвигать, в порядке убывания их интенсивностей; 3) если работы проекта не допускают перерыв в своем выполнении, то пронумерованные работы сдвигаем в промежуток как на первом шаге; если наличие ресурса позволяет дальнейший сдвиг работ вправо, то производим его; 120

4) если работы проекта допускают перерыв в своем выполнении, то пронумерованные работы сдвигаем в промежуток полностью или частично; если наличие ресурса позволяет дальнейший сдвиг части работы вправо, то производим его; 5) проектируем начала и концы всех работ на временную ось. 121

пример (15, 17): работы и на 4 единицы вправо Р 3 Р 4 5 Р 5 3 Р 2 сдвигаем Р 5 3 2 Р 3 Р 4 Р 1 Р 0 4 5 Р 0 Р 1 6 2 Р 5 7 Р 4 Р 3 Р 2 3 5 6 10 12 13 15 17 122

(12, 15): работу Р 3 сдвигаем на 2 единицы Р 4 Р 5 3 Р 2 3 Р 3 2 Р 1 Р 0 Р 0 6 4 5 Р 1 2 5 7 Р 5 Р 4 Р 3 3 5 Р 2 6 9 10 12 15 17 123

(10, 12): работу сдвигаем на 4 единицы, работу сдвигаем на 10 единицы Р 3 Р 5 3 Р 2 2 Р 1 Р 0 Р 0 6 4 5 Р 1 2 5 3 Р 1 Р 4 7 Р 5 Р 4 Р 3 3 5 Р 2 6 8 9 10 12 15 17 124

(9, 10): сдвигов нет, (8, 9): сдвигов нет (6, 8): работа сдвигается на 2 единицы, работа сдвигается на 3 единицы Р 3 Р 5 3 Р 2 2 Р 1 Р 0 4 5 2 5 3 Р 1 Р 4 7 Р 5 Р 4 Р 3 5 Р 0 6 3 Р 0 8 Р 2 6 Р 1 9 10 12 15 17 125

Таким образом, продолжительность выполнения проекта сократилась на 2 единицы. Р 3 Р 5 3 Р 2 5 Р 0 3 4 2 Р 1 4 Р 0 Р 3 3 Р 0 8 5 3 Р 1 Р 4 7 Р 5 Р 4 Р 2 6 Р 1 9 10 12 15 17 126

(8, 10): работу сдвигаем на 4 единицы Р 3 Р 5 3 Р 2 Р 3 Р 0 Р 0 6 4 5 Р 1 2 5 3 3 Р 5 Р 4 Р 1 Р 4 7 Р 4 Р 3 Р 2 3 5 6 8 10 12 15 17 127

Ключевые понятия Оптимальное по времени распределение ресурсов при постоянных интенсивностях, алгоритм уплотнения ресурсов. 128

Вопросы для самопроверки по теме «Уплотнение ресурсов » • Описать алгоритм уплотнения ресурсов, если работы проекта не допускают перерыва в их выполнении. • Описать алгоритм уплотнения ресурсов, если работы проекта допускают перерыва в их выполнении. 129

Основная литература 1. 2. 3. 4. Зуховицкий С. И. , Радчик И. А. , Математические методы сетевого планирования. - М. : Наука, 1965. Разумов И. М. , Белова Л. Д. , Ипатов М. И. , Проскуряков А. В. , Сетевые графики в планировании: учебное пособие. – М. : Высшая школа, 1975. Абрамов С. А. , Мариничев М. И. , Поляков П. Д. , Сетевые методы планирования и управления, М. , 1965. Новицкий Н. И. , Сетевое планирование и управление производством. Учебно-практическое пособие, - М. : Новое знание, 2004. 130

Дополнительная литература 1. 2. 3. Зайденман И. А. , Маргулис А. Я. , Математика в сетевом планировании. – М. : Знание, 1967. Васильев В. М. , Вальковский Б. В. , Лавров М. Ф. , Методы планирования и управления по сетевым графикам и их использование в капитальном строительстве МО СССР. – Л. : Высшее военное инженерно-техническое краснознаменное училище, 1966. Кофман А. , Дебазей Г. , Сетевые методы планирования. Применение системы ПЕРТ и ее разновидностей при управлении производственными и научно-исследовательскими проектами, пер. с франц. , М. , 1968. 131

Использование материалов презентации Использование данной презентации возможно только при условии соблюдения требования законов РФ об авторском праве и интеллектуальной собственности , а также с учётом требований настоящего Заявления. Презентация является собственностью автора. Разрешается распечатывать любую часть презентации для личного некоммерческого использования, но не допускается её использование с какой-нибудь иной целью. Не разрешается вносить изменения в любую часть презентации. 132