Винтовые поверхности Пересечение поверхностей Лекция 7 1

Винтовые поверхности Пересечение поверхностей Лекция № 7 1

План лекции 1. Винтовые поверхности 2. Пересечение поверхностей 3. Метод вспомогательных плоскостей 4. Пересечение соосных поверхностей 5. Метод сфер 6. Теорема Монжа 7. Теорема о двойном касании 2

Винтовые поверхности 3

i m l i 4

13 ¢ 12 ¢ 10 ¢ ¢ 9 8¢ Р 11 ¢ 1¢ 2¢ 11 3¢ ¢ 4¢ 5 10 7¢ 6¢ 9 8 12 7 1=13 Р -шаг 2 6 3 4 5 5

Винтовой линией называется пространственная кривая, образованная при движении точки , совершающей одновременно вращательное и поступательное движение 6

13 ¢ 12 ¢ 10 ¢ ¢ 9 8¢ Р 11 ¢ 1¢ 2¢ 11 3¢ ¢ 4¢ 5 10 7¢ 6¢ 9 12 8 7 1=13 Р -шаг Прямой закрытый геликоид 6 2 3 4 5 7

8

Винтовая поверхность, образованная при движении линии (образующей) по винтовой линии(направляющей) 9

Если образующая-прямая линия то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью или геликоидом. Геликоид может быть прямым или наклонным 10

11 12 Наклонный закрытый геликоид 9 10 8 7 1 =13 6 2 3 4 5 11

Наклонный закрытый геликоид 12

Р 11 10 Прямой открытый геликоид 9 12 8 7 1=13 6 2 3 4 5 13

Р 11 10 Прямой открытый геликоид 9 12 8 7 1=13 6 2 3 4 5 14

Пересечение поверхностей 15

Для того , чтобы построить линию пересечения двух поверхностей надо найти общие точки 16

Эти точки находятся с помощью посредников. В качестве посредника может быть выбрана плоскость (общего или частного положения) 17

или поверхность: цилиндрическая, коническая, шаровая 18

2 M 1 N 19

Метод вспомогательных проецирующих плоскостей 20

Окр. r 2 T 1 2 Окр. r 1 1 21

2 1 22

Окр. r T 2 2 n окр. R 1 m 23

2 n 1 m 24

окр. r 4 T 3 2 n 1 m 4 окр. r 3 3 25

2 n 1 m 4 3 26

2 1 n 4 m 3 27

3 6 12 10 12 28

P 1 V r 1 QH r 1 29

P 2 V r 3 r 2 QH r 3 r 2 30

P 3 V r 4 r 5 QH r 4 r 5 31

32

33

Пересечение соосных поверхностей 34

35

36

i Окружность 37

38

i Окружности i 39

Соосными поверхностям называются поверхности, имеющие общую ось вращения 40

Две соосные поверхности пересекаются по окружностям, лежащим в плоскостях, перпендикулярных оси вращения поверхностей 41

Число окружностей равно числу пересечений главных меридианов 42

43

Метод сфер 44

В методе сфер в качестве поверхности-посредника выбирается сфера. При этом возможны два варианта: 45

1. Сферы проводятся из одного центра (метод концентрических сфер) 46

2. Сферы проводятся из разных центров (метод эксцентрических сфер) 47

Метод концентрических сфер 48

Методом сфер строится линия пересечения двух поверхностей вращения. При этом должны быть выдержаны следующие условия: 49

-оси поверхностей должны пересекаться; -оси поверхностей должны быть параллельны какой-нибудь плоскости проекций 50

Точку пересечения осей принимаем за центр шаровых поверхностей 51

O¢ X QH 52

Сфера с минимальным радиусом должна вписываться в большую поверхность 53

Максимальный радиус сферы-расстояние от точки пересечения осей до наиболее удаленной общей точки поверхностей 54

Rmax O¢ Rmin 55

56

Возможные случаи пересечения криволинейных поверхностей 57

Проницание 58

Проницание = ¢ d ¢¢ d 59

Врезание 60

Врезание 61

Касание 62

Касание 63

Двойное касание 64

Двойное касание ¢ ¢= k 2 k 1 ² k 2 65

Теорема Монжа Если две поверхности второго порядка описаны или вписаны около третьей поверхности второго порядка, то они пересекаются по двум плоским кривым 66

67

3 1 N M 2 4 68

69

70

71

Теорема о двойном касании Если две поверхности второго порядка имеют двойное касание, то они пересекаются по двум плоским кривым 72

Примечание Если оси пересекающихся поверхностей параллельны какой-нибудь плоскости проекций, то на эту плоскость кривые линии проецируются в прямые 73

QH PH 74