Виды и способы решения иррациональных уравнений Автор Ахметзянова

Виды и способы решения иррациональных уравнений Автор Ахметзянова Кристина, ученица 10 б класса СОШ № 12 г. Усть-Илимска

“Источником алгебраических иррациональностей является двузначность или многозначность задачи…” Готфрид Лейбниц

Целью исследования является изучение иррациональных уравнений и методов их решения. Задачи – выбрать соответствующую литературу, исследовать способы решения иррациональных уравнений, классифицировать практический материал

Объектом исследования являются, иррациональны уравнения их виды и способы решения. Методы исследования: анализ и классификация практического материала; наблюдение и сравнение различных способов решения одного и того же вида уравнений. Гипотеза: существуют различные способы решения уравнений одного и того же вида.

Историческая справка Термин “рациональное” (число) происходит от латиноамериканского слова ratio – отношение, которое является переводом греческого слова “логос”в отличие от рациональных чисел, логос числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, были названы еще в древности иррациональными, т. е. нерациональными (по-гречески “алогос”) алогос

Историческая справка В своих “Началах” Евклид Началах излагает учение об иррациональностях чисто геометрически. Греки называли иррациональную величину “алогос” – невыразимое алогос словами, а позже европейские переводчики с арабского на латынь перевели это слово латинским словом surdus – глухой.

Иррациональные уравнения Основными методами решения иррациональных уравнений являются следующие: а) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень; b) метод введения новых переменных. Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить, пользуясь следующим правилом:

Иррациональные уравнения стандартного вида Пример 1. Пример 2. (1) (2) (1) Проверка x 2 – 17 +66 = 0 х=11; х=6 (2) 2 = 2 Ответ: х=3; х = - 3 х≥ 8 Ответ: х=11

: Иррациональные уравнения смешанного вида Иррациональность четной степени Иррациональные уравнения с модулем √х+5 +√ 5– х =4 ОДЗ x+5≥ 0 x≥-5 5 -х≥ 0 ; х≤ 5; х є[-5; 5] х+5+2 √ (х+5)(5 -х) +5 -х=16 2 √ 25 -х2 =6 √ х-7 ≥ 0; х≥ 7 значит 5 х-7>0 Уравнение примет вид 5 х -34 ≥ 0, х-7≥ 0, 5 х -34 = х2 -14 х +49 ; х2 -16 =0 Ответ: x = – 4 и x = 4 Ответ:

Введение новой переменной t=1 Откуда имеем x = – 3, x = 0. Согласно проверке, корнями исходного уравнения являются найденные значения x = – 3, x =0. Ответ: – 3; 0.

Уравнение, содержащее двойную иррациональность 1) 0≤ t ≤ 1 t+1–t+1=2 2=2 Решением является весь интервал. 0≤ t ≤ 1 2) t > 1 t + 1 + t -1 = 2 2 t = 2 t = 1 не принадлежит интервалу -1 ≤ 2 x-1 ≤ 1 0 ≤ 2 x ≤ 2 Ответ:

Исследование способов решения уравнения 1 нестандартным методом, используя монотонность функции и обе функции возрастающие учитывая, что подбором легко найти, что х = 5 стандартным способом х + 11 = 36 - 12√х – 1 + х – 1, 12√х – 1 = 24 √х – 1 = 2 х – 1 = 4; х = 5 Ответ: 5

Исследование способов решения уравнения 2 Иррациональность нечетной степени по условию поэтому Ответ: – 7; 2.

Исследование способов решения уравнения 2 Решим это же уравнение способом замены: - x - 1= t; x- 1 +1+ 6=t + 7 – t – 33√ t 2 + 7 t = 1 -33√ t 2 + 7 t = - 6 3√ t 2 + 7 t = 2 t 2 + 7 t – 8 = 0 t 1 = - 8 t 2 = 1 x– 1=-8 x– 1=1 Ответ: -7; 2 x = - 7; x = 2

Список литературы 1. Интернет - ресурсы: www. obey. ru www. mccme. ru http: //uztest. ru/abstracts/? idabstract=33244 http: //www. mccme. ru/exam/kn_uch/book 2 v 3 a. htm http: //festival. 1 september. ru/articles/312257/ 2. А. С. Солодовников, А. В Браилов Сборник задач по курсу математики; ФА 2001 г 3. А. И. Макушевич. Детская энциклопедия – Москва: Издательство «Педагогика» , 1972. 4. А. П. Савин. Энциклопедический словарь юного математика – Москва: Издательство «Педагогика» , 1989. 5. В. Н. Шандер «Уравнения и неравенства» . Издательство МГУ. Москва, 2002 г. 6. Д. Т. Письменский “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г. Издательство «Мнемозина» , 1999. 7. Л. О. Денищева Готовимся к единому государственному экзамену. Математика. – М. : Дрофа, 2004. 8. М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике - Москва: Издательство «Наука» , 1986. 9. М. И. Сканави Сборник задач по математике; М: 1999 г 10. Н. Я. Виленкин Алгебра для 9 класс. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики – Москва: Издательство «Просвещение» , 1998. 11. О. Ю. Черкасов Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы. – М. : АСТ-ПРЕСС, 2001.

Спасибо за внимание!