«Відсотки»
Історія створення відсотків. У Європі в середні віки розширилася торгівля і, отже, особлива увага зверталася на вміння обчислювати відсотки. Тоді доводилося розраховувати не тільки відсотки, але й відсотки з відсотків (складні відсотки). Часто контори та підприємства для полегшення розрахунків розробляли особливі таблиці обчислення відсотків. Ці таблиці трималися в таємниці, складали комерційний секрет фірми. Вперше таблиці були опубліковані в 1584 році Симоном Стевіном
Рішення задач на відсотки різними способами Завдання з відсотками можна вирішити різними способами: рівнянням; складанням таблиці; застосовуючи пропорцію; по діям; використовуючи правила.
Рішення задач на складні відсотки Складним відсотком називається сума доходу, яка утворюється в результаті інвестування грошей за умови, що сума нарахованого простого процента не виплачується в кінці кожного періоду, а приєднується до суми основного внеску і у наступному платіжному періоді сама приносить дохід. Складні відсотки - це відсотки, отримані на нараховані відсотки
Формула складного відсотка х(1+ 0, 01 а) періодичне збільшення деякої величинина одне і те ж число відсотків. х(1 - 0, 01 а) періодичне зменшення деякої величинина одне і те ж число відсотків. де х - початковий внесок, сума. а - відсоток (и) річних n-час розміщення вкладу в банку
Рішення задач Задача 1: Вкладник відкрив рахунок у банку, внісши 2000 рублів на вклад, річний дохід по якому становить 12%, і вирішив протягом шести років не брати процентні нарахування. Яка сума буде лежати на рахунку через шість років?
Вирішимо це завдання по формулі складних відсотків. початковий внесок- 2000 Відсоток річних - 12 n - 6 років, значить 2000(1 + 0, 12) = 2000*1, 126 = 2000*1, 973823 = 3947, 65 ВІДПОВІДЬ: через 6 років на рахунку буде лежати сума у вигляді 3947 грн. і 65 к.
Задача 2: Після двох послідовних знижень цін на одне і те ж число відсотків вартість товару з 400 рублів знизилася до 324 рублів. На скільки відсотків вартість товару знижувалася кожен раз?
рішення: 400*(1 -0, 01 а)=324 20(1 - 0, 01 а) = 18 1 - 0, 01 а = 0, 9 а = 10 ВІДПОВІДЬ: вартість товару кожного разузнижувалася на 10%
Задача № 3 У відповідності з договором фірма з метою компенсації втрат від інфляції була зобов'язана на початку кожного кварталу (3 місяці) підвищувати співробітникові зарплату на 2%. Однак у зв'язку з фінансовими труднощами вона змогла підвищувати йому зарплату тільки раз на півроку (на початку наступного півріччя). На скільки% фірма повинна підвищувати зарплату кожні півроку, щоб першого січня наступного року зарплата співробітника була рівна тій, яку він отримав би в режимі підвищення, передбаченої договором?
рішення: Для вирішення складемо таблицю Через який час підвищується На скільки % виросте Яка заробітна плата буде Через кожні 3 місяці 2% х(1+0, 02)4 Через кожні пів року а% х(1+0, 01 а)2
По таблиці складемо рівняння: х(1+0, 02) = х(1+0, 01 а)² (1+0, 02)² = (1+0, 01 а) 1+0, 04+0, 0004=1+0, 01 а 0, 0404=0, 01 а а = 4, 04% ВІДПОВІДЬ: через кожен півроку зарплату співробітникамтреба піднімати на 4, 04%
Рішення задач на суміші та сплави. Задача 1. При змішуванні 5% розчину кислоти з 40% розчином кислоти отримали 140 г 30% розчину. Скільки грамів кожного розчину було для цього взято?
Рассмотрим старинный способ решения этой задачи. Друг под другом пишутся содержания кислот имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине – содержание кислоты в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединив написанные числа чёрточками получим такую схеме: 5 30 40 Рассмотрим пары 30 и 5, 30 и 40. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей чёрточки. Получится такая схема: 5 10 30 40 25 Из неё делается заключение, что 5%-ного раствора следует взять 10 частей, а 40% - ого 25 частей, т. е. для получения 140 г. 30% - ого раствора нужно взять 5% - ого раствора 40 г. , а 40% - ого - 100 г. (10+25=35 частей всего, 140: 35=4 г-вес одной части, 4× 10=40 г, 4× 25=100 г. )
Задача 2. • Имеется серебро 12 -й, 11 -й и 5 -й пробы. Сколько какого серебра надо взять, для получения 1 кг. серебра 9 -й пробы? Применим метод, рассмотренный в задаче 1 дважды: первый раз, взяв серебро с наименьшей и наибольшей пробой, а во второй раз – с наименьшей и средней пробой. Получим следующую схему: 5 3 3 + 2 = 5 4 4 4 13 9 12 5 9 2 4 11 4
При этом найдены доли , в которых нужно сплавлять серебро наибольшей и средней пробы (4 и 4). Сложив затем доли серебра наименьшей пробы , найденные в первой и во второй раз (3+2=5), получим долю серебра наименьшей пробы в общем сплаве. Таким образом, надо взять кг. серебра 5 -й пробы, кг. серебра 12 -й пробы, кг. серебра 11 -й пробы. Данная задача имеет не единственное решение. 9 -й пробы серебро можно получить , сплавляя серебро 5 -й и 12 -й пробы в отношении 3: 4(1 сплав) или серебро 5 -й и 11 -й пробы в отношении 2: 4(2 сплав). Соединяя 1 и 2 сплавы в любой пропорции, мы будем получать различные сплавы серебра 9 -й пробы.
Задача 3. Имеется 240 г. 70% -ого раствора уксусной кислоты. Нужно получить 6% - ный раствор кислоты. Сколько граммов воды (0%-ный раствор) нужно прибавить к имеющемуся раствору?
Решение. 0 64 6 70 0 Итак, 240: 6=40 г. - составляет одна часть, а а воды следует взять 64 части, т. е, 64 × 40=2560 г
Применение процентов в жизни. В настоящее время понимание процентов и умение производить процентные расчеты, необходимы каждому человеку: Прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. Изучение процента продиктовано самой жизнью. Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни.
Заключение. Я выбрал эту тему потому, что мне нравится математика и я считаю, что математику надо знать хорошо. Я хотел получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни. Работа над данной темой , способствовала расширению моего математического кругозора, развитию умения анализировать, сравнивать, глубоко и прочно усвоив материал. Мне хочется порекомендовать ученикам формулу сложных процентов и применять её при решении задач на проценты.
Литература Крамор В. С. «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начало анализа» . М. , «Просвещение» 1990 год. Журнал «Математика в школе. » 1998 г. № 5. Ф. Ф. Нагибин «Математическая шкатулка» М. «Просвещение» 1988 год.