Вещественные числа Теорема 1 8 Пусть множество М

Вещественные числа Теорема 1. 8. Пусть множество М – несчетно, множество А не более чем счетно и А М. Тогда множество М – А равномощно множеству М. Теорема 1. 10. Если множество С является бесконечным, то существует его подмножество В такое, что В С и В равномощно с С. Теорема 1. 11. Множество рациональных чисел Q является счетным. Теорема 1. 12. Множество точек интервала (0, 1) является несчетным. Множества, равномощные множеству точек интервала (0, 1), называются множествами мощности континуум Математический анализ, 1 семестр

Вещественные числа 2. ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 2. 1. Вещественные числа I. Любые два рациональных числа а и b связаны между собой одним и только одним из трех знаков >, < или =, причем если а > b, то b < а. II. Существует правило, посредством которого любым двум рациональным числам а и b ставится в соответствие определенное рациональное число с, называемое их суммой и обозначаемое символом с = а + b. III. Существует правило, посредством которого любым двум рациональным числам а и b ставится в соответствие определенное рациональное число с, называемое их произведением и обозначаемое символом с = ab. Правила. Особая роль принадлежит последнему свойству: 13° каково бы ни было рациональное число а, можно число 1 повторить слагаемым столько раз, что полученная сумма превзойдет а. (аксиома Архимеда) Математический анализ, 1 семестр

Вещественные числа 2. 2. Об измерении отрезков числовой оси 2. 3. Вещественные числа и правило их сравнения Определение 2. 1. Рассмотрим множество всевозможных бесконечных десятичных дробей. Числа, представимые этими дробями, будем называть вещественными Математический анализ, 1 семестр

Вещественные числа 2. 4. Приближение вещественного числа рациональными числами для любого вещественного числа а и для любого наперед взятого положительного рационального числа найдутся два рациональных числа и такие, что < a < , причем - < . 2. 5. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу Определение 2. 2. Множество вещественных чисел X называется ограниченным сверху (снизу ), если существует такое вещественное число М (число m), что каждый элемент х множества X удовлетворяет неравенству х М (х m). При этом число М (число m) называется верхней (нижней) гранью множества X. Математический анализ, 1 семестр

Вещественные числа Определение 2. 3. Число А называется точной верхней гранью множества Х и обозначается символом А = sup. Х, если выполнены следующие условия: 1) х А для х Х; 2) для любого > 0 x X: x > A - . Число В называется точной нижней гранью множества Х и обозначается символом В = inf Х, если выполнены следующие условия: 1) х B для х Х; 2) для любого > 0 x X: x < B + . Математический анализ, 1 семестр

Вещественные числа Теорема 2. 1. Если множество вещественных чисел содержит хотя бы один элемент и ограничено сверху (снизу), то существует вещественное число A (число B), которое является точной верхней (точной нижней) гранью этого множества. 2. 5. Арифметические операции над вещественными числами. Основные свойства вещественных чисел Математический анализ, 1 семестр