Вещественные числа 2. 4. Приближение вещественного числа рациональными числами для любого вещественного числа а и для любого наперед взятого положительного рационального числа найдутся два рациональных числа и такие, что < a < , причем - < . 2. 5. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу Определение 2. 2. Множество вещественных чисел X называется ограниченным сверху (снизу ), если существует такое вещественное число М (число m), что каждый элемент х множества X удовлетворяет неравенству х М (х m). При этом число М (число m) называется верхней (нижней) гранью множества X. Математический анализ, 1 семестр
Вещественные числа Определение 2. 3. Число А называется точной верхней гранью множества Х и обозначает- ся символом А = sup. Х, если выполнены следующие условия: 1) х А для х Х; 2) для любого > 0 x X: x > A - . Число В называется точной нижней гранью множества Х и обозначается символом В = inf Х, если выполнены следующие условия: 1) х B для х Х; 2) для любого > 0 x X: x < B + . Математический анализ, 1 семестр
Вещественные числа Теорема 2. 1. Если множество вещественных чисел содержит хотя бы один элемент и ограничено сверху (снизу), то существует вещественное число A (число B), которое являет- ся точной верхней (точной нижней) гранью этого множества. 2. 5. Арифметические операции над вещественными числами. Основные свойства вещественных чисел Математический анализ, 1 семестр
Вещественные числа Вопросы к коллоквиуму № 1 I семестр 1. Множества. Включение множеств и его свойства. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, симметрическая разность. Свойства этих операций. Принцип двойственности и законы Де Моргана. Декартово произведение. Отображения или функция. Инъекция, сюръекция, биекция. Обратная функция. 2. Эквивалентность множеств. Счётные множества. Счётность множества рациональных чисел. 3. Теорема Г. Кантора о неэквивалентности множества всех его подмножеств. 4. Множество мощности континуум. Несчётность континуума. 5. Десятичная запись вещественного числа. Свойства вещественных чисел. Аксиома Архимеда. Свойство принадлежности рационального и иррационального числа интервалу. 6. Теорема о существовании точной верхней грани у ограниченного сверху числового множества. Математический анализ, 1 семестр
Числовые последовательности 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 3. 1. Числовые последовательности Определение 3. 1. Если каждому числу n натурального ряда чисел 1, 2, . . . , n, . . . ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число хn то множество занумерованных вещественных чисел x 1, x 2, . . . , xn, . . . мы и будем называть числовой последовательностью или просто последовательностью. Определение 3. 2. Последовательность {хn} называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое вещественное число М (число m), что каждый элемент хn последовательности {хn} удовлетворяет неравенству хn М (хn m). верхняя грань (нижняя грань) Определение 3. 3. Последовательность {хn} называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу т. е. если существуют числа m и М такие, что любой элемент хn этой последовательности удовлетворяет неравенствам: m хn М. Математический анализ, 1 семестр
Числовые последовательности Определение 3. 4. Последовательность {хn} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А можно указать номер N такой, что при n N все элементы хn этой последовательности удовлетворяют неравенству |хn| > А. Определение 3. 5. Последовательность { n} называется бесконечно малой, если для любого положительного числа можно указать номер N такой, что при n N все элементы n этой последовательности удовлетворяют неравенству | n | < . Математический анализ, 1 семестр
Числовые последовательности 3. 2. Основные свойства бесконечно малых последовательностей. Теорема 3. 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Теорема 3. 2. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей — бесконечно малая последовательность. Теорема 3. 3. Бесконечно малая последовательность ограничена. Теорема 3. 4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность. Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность. Математический анализ, 1 семестр
Числовые последовательности Теорема 3. 5. Если все элементы бесконечно малой последовательности { n} равны одному и тому же числу с, то с = 0. Теорема 3. 6. Если {хn} - бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера т, определена последовательность {1/ хn}, которая является бесконечно малой. Если все элементы бесконечно малой последовательности { n} не равны нулю, то последовательность {1/ n} бесконечно большая. Математический анализ, 1 семестр
Скачать презентацию Вещественные числа 2 4 Приближение вещественного числа рациональными
Лекция 4.pptx