Вероятностные распределения Разброс (неопределенность) в экспериментальных данных как вероятность.
Нормальное распределение или распределение Гаусса Плотность распределения нормальной случайной величины N( , 2) Нормальная интегральная функция распределения Erf (x, , σ) Стандартизованное или стандартное нормальное распределение N(0, 1):
1 - z z - 100 -процентной точкой нормального распределения
Некоторые важные свойства двумерного нормального распределения случайных величин x и y: 1. Распределение значений x без учета y, которому они соответствуют, есть нормальное распределение. 2. Распределение y без учета x, которому они соответствуют, есть нормальное распределение. 3. Для каждого фиксированного значения x, значения y подчиняются нормальному распределению с дисперсией 2 y, x, одинаковой для всех x. 4. Для каждого фиксированного значения y, значения x подчиняются нормальному распределению с дисперсией 2 x, y, одинаковой для всех y. 5. Средние значения y для каждого отдельного значения x ложатся на прямую.
Рассмотрим сумму y = x 1 + x 2 + … + xn, где n случайных независимых переменных xi со средними i и дисперсией i 2. Центральная предельная теорема утверждает, что при n распределение величины y приближается к нормальному распределению со средним, равным i и дисперсией i 2. Распределение выборочного среднего стремится к нормальному с математическим ожиданием x и дисперсией , при увеличении объема выборки. Стандартная ошибка среднего – это стандартное отклонение оценки независимо от вида распределения p(x)
Хи-квадрат распределение k – степени свободы При k распределение стремится к нормальному. Для оценки дисперсии
Распределение Стьюдента или t-распределение При k t-распределение приближается к нормальному.
F-распределение Статистика tn 2, имеет F-распределение с k 1 = 1 и k 2 = n степенями свободы. Если выборки сделаны из одной и той же случайной величины x = y, то:
Примеры дискретных распределений Биномиальное распределение где p – вероятность удачи при одном наблюдении, а q - вероятность неудачи (q =1 – p). Вероятность получения n 1 удач из n наблюдений определяется биномиальным распределением. Распределение Пуассона Предельный случай биномиального распределения, в котором n → , p → 0, а np = . Среднее и дисперсия такого распределения равны . При значениях > 10, распределение Пуассона приближается к нормальному. Биномиальное распределение также имеет тенденцию приближаться к нормальному при np > 5 и nq > 5.
Интервальное оценивание (построение доверительных интервалов) Доверительный интервал – это интервал, который накрывает оцениваемый параметр с известной степенью достоверности. Если вероятность риска (ошибки) обозначить через , то степень достоверности будет выражаться, как 1 – . Смысл уровня значимости в том, что в *100 % выборок наш построенный доверительный интервал не будет содержать истинного значения параметра. Построение доверительного интервала для среднего
Если дисперсия неизвестна и оценивается также по выборке, то доверительный интервал строится по распределению Стьюдента Доверительный интервал для оценки дисперсии можно построить, используя процентные точки хи-квадрат распределения:
Pаспространение погрешностей исходных данных на конечный результат Для случайной погрешности: Если отдельные влияющие величины взаимно независимы и << xi Если вместо стандартных отклонений представлены их оценки, то
Скачать презентацию Вероятностные распределения Разброс неопределенность в экспериментальных данных как
Part2-2011.ppt