Вероятность. Виды распределения. Всякий результат, полученный в процессе

Вероятность. Виды распределения.

Всякий результат, полученный в процессе наблюдения или эксперимента, называют событием Событие, которое может произойти, а может и не произойти, называется случайным событием 2

Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется - теорией вероятностей 3

Вероятность - Изменяющаяся от 0 до 1 мера убеждения в верности гипотезы Предел относительной частоты появления события в последовательности N случайных проб, где N стремится к бесконечности, т.е предел, выраженный как Число появлений данного события N

Относительной частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к числу всех испытаний 5

6 Испытания с бросанием монеты

Результаты наблюдений и опытов показывают, что при большом числе испытаний, проводимых в одних и тех же условиях, относительная частота принимает достаточно устойчивое значение и принимается за вероятность случайного события Такое определение называют статистическим определением вероятности 7

Вероятностью события называется отношение числа благоприятных для него исходов испытания к числу всех равновозможных исходов. Это классическое определение вероятности. 8

Событие, которое никогда не может произойти, сколько бы раз ни повторялось испытание, называется - невозможным событием. Вероятность невозможного события равна 0. 9

Событие, которое происходит всегда, сколько бы раз ни повторялось испытание, называется - достоверным событием. Вероятность достоверного события равна 1 10

В саду было совершенно тихо. Замёрзшая земля, покрытая пушистым слоем снега, совершенно смолкла, не отдавая звуков. Зато воздух стал как-то особенно чуток, отчётливо и полно перенося на далёкие расстояния крик вороны, удар топора, легкий треск обломавшейся ветки. Найдем относительную частоту появления буквы О. Всего букв - 217. Буква О – 29. Относительная частота - 11

Многократная проверка показала, что всхожесть семян огурцов определенного сорта равна 0,9. Посадили 85 семян этого сорта. Найдите ожидаемое число проросших семян. Р = 0,9 n = 85 m = 0,9 * 85 = 76,5  77 (семян) 12

Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет: а) одно очко; б) более 3 очков? а) Р= б) больше трех баллов, т.е. 4, 5, 6. значит Р = 13

Вероятность – количественная мера объективной возможности появления события при реализации определенного комплекса условий. Вероятность события А обозначается как р(А) и выражается в долях единицы или в процентах. Мера вероятности – диапазон ее числовых значений: от 0 до 1 или от 0 до 100%.

Случайное событие – событие, которое при реализации определенного комплекса условий может произойти или не произойти. Его вероятность будет находиться в пределах 0< p(A) < 1 или 0< p(A) < 100%.

Достоверное событие - событие, которое при реализации определенного комплекса условий произойдет непременно. Его вероятность будет равна 1 или 100%.

Невозможное событие - событие, которое при реализации определенного комплекса условий не произойдет никогда. Его вероятность будет равна 0.

В медицинских исследованиях достаточной считается вероятность появления события не менее 0,95 или 95%. При изучении заболеваний или ситуаций, имеющих важнейшие медико-социальные последствия или высокие показатели летальности и инвалидности, а также при фармакологических исследованиях вероятность появления события должна быть не менее 0,99 (99%).

Частота появления события (статистическая вероятность) – это отношение числа случаев, в которых реализовался определенный комплекс условий (m), к общему числу случаев (n): p(A)=m/n. Вероятность отсутствия события: q= 1- p. Например, если вероятность того, что больной останется жив спустя пять лет после операции равна 0.8 (80%), то вероятность того, что он за этот временной промежуток умрёт равна 0.2 (20%).

Шанс – это отношение вероятности того, что события произойдёт к вероятности того, что событие не произойдёт. В нашем примере шанс равен 4, так как 0.8/0.2=4 Таким образом, вероятность выздоровления в 4 раза больше вероятности смерти. Интерпретация: 1) Если Шанс =1, то вероятность наступления события равна вероятности того, что событие не произойдёт; 2) если Шанс >1, то вероятность наступления события больше вероятности того, что событие не произойдёт; 3) если Шанс <1, то вероятность наступления события меньше вероятности того, что событие не произойдёт.

Правило сложения вероятностей Если два события , А и В, взаимоисключающие, несовместимые, то вероятность события А или В равна сумме их вероятностей: Р(А или В) = р(А) + р(В)

Например: Вероятность того, что у взрослого человека все зубы сохранены – 0,67; Вероятность отсутствия некоторых зубов – 0,24; Вероятность того, что он – беззубый – 0,09. Какова вероятность того, что у взрослого человека есть хотя бы несколько зубов?

0,67 + 0,24 = 0,91

Правило умножения вероятностей: Если два события, А и В, независимы (т.е. возникновение одного события не влияет на возможность появления другого), то вероятность того, что оба события произойдут, равна произведению вероятности каждого: Р(А и В) = р(А) × р(В)

Например: Какова вероятность того, что у 2-х не имеющих отношения друг к другу больных, ожидающих приема к стоматологу, есть все зубы?

0,67 × 0,67 = 0,45

Пример: Какова вероятность того, что при однократном бросании игральной кости выпадет цифра 2 или 3? или 3 2

р(2) + р(3) = 1/6 + 1/6 = 1/3 (формула сложения для несовместных событий)

Пример: Какова вероятность того, что при двукратном бросании игральной кости оба раза выпадет цифра 6? 6 6

1-е бросание: р(6) = 1/6 2-е бросание: р(6) = 1/6 р(6) × р(6) = 1/ 6 × 1/6 = 1/36 (формула умножения для независимых событий)

Случайная величина – величина, которая при реализации определенного комплекса условий может принимать различные значения.

Закон больших чисел: при достаточно большом числе наблюдений случайные отклонения взаимно погашаются и проявляется основная тенденция (закономерность).

ВНИМАНИЕ ! От вида распределения зависит выбор статистического пути описания (обобщения) и анализа количественного признака

Вид распределения Под видом распределения случайной величины понимают соответствие, устанавливаемое между всеми возможными числовыми значениями случайной величины и вероятностями их появления в совокупности.

Вид распределения Вид (закон) распределения может быть представлен: - аналитической зависимостью в виде формулы; - в виде графического изображения; - в виде таблицы

Виды распределения - нормальное - биноминальное (Бернулли) - распределение Пуассона - t- распределение Стьюдента - распределение Пирсона (Хи-квадрат) - F-распределение (Фишера) - логнормальное

Нормальное распределение (гауссово, симметричное, колоколообразное) (normal, Gaussian distribution) – описывает совместное воздействие на изучаемое явление небольшого числа случайно сочетающихся факторов (по сравнению с общей суммой факторов), число которых неограничено велико. Встречается в природе наиболее часто, за что и получило название «нормального». Характеризует распределение непрерывных случайных величин.

Кривая нормального распределения Значение признака Число больных

Биномиальное (Бернулли) распределение (binomial, Bernoulli distribution) – описывает распределение частоты события, обладающего постоянной вероятностью появления при многократных испытаниях. При большом числе испытаний стремиться к нормальному.

Биномиальное распределение

Крайним вариантом биномиального распределения является альтернативное распределение, при котором вся совокупность распределяется на две части (две альтернативы). Биномиальное распределение характеризует распределение дискретных случайных величин.

Распределение Пуассона – описывает события, при которых с возрастанием значения случайной величины, вероятность появления ее в совокупности резко уменьшается. Распределение Пуассона характерно для редких событий и может рассматриваться также как крайний вариант биномиального. Характеризует распределение дискретных случайных величин.

Распределение хи-квадрат (Пирсона): Скошено вправо и принимает только положительные значения Характеризуется степенями свободы Его форма зависит от числа степеней свободы – становится более симметричной и приближается к нормальному с их ростом Особенно часто используется для анализа категориальных данных

Распределение Стьюдента - Распределение Стьюдента симметрично относительно вертикальной оси. - параметры, которые характеризуют t-распределение – это степени свободы (df) По мере того, как увеличиваются степени свободы распределение приближается к нормальному.

Распределение Фишера (F-распределение) Скошено вправо Определяется как отношение двух оценок дисперсий, вычисленных для нормально распределенных данных 2 параметра: степени свободы числителя и знаменателя отношения Используется для сравнения двух дисперсий и более чем двух средних (дисперсионный анализ ANOVA)

Логнормальное распределение Распределение вероятности случайной переменной, логарифм которого имеет нормальное распределение Сильно скошено вправо Можно использовать свойства нормального распределения для того, чтобы сделать выводы относительно этих переменных после логарифмического преобразования данных Если данные имеют логнормальное распределение, то используют среднее геометрическое

Вид распределения нормальное отличное от нормального Параметрическая статистика Непараметрическая статистика

Непараметрические методы: не требуют предварительного знания вида распределения; не требуют предварительного расчета параметров распределения (средних величин, стандартного отклонения и др.); позволяют сравнивать совокупности с номинальными и порядковыми признаками; просты в применении.

Отрицательные стороны непараметрических методов: обладают меньшей мощностью, чем параметрические; имеют существенные ограничения в применении по числу наблюдений

Проверка нормальности распределения По соотношению средней арифметической, моды и медианы: при нормальном распределении, которое обладает симметричностью: правило "двух третей" Юла:

Проверка нормальности распределения если распределение симметрично: Me = Mo если распределение обладает правосторонней асимметрией: Me > Mo если распределение имеет левостороннюю асимметрию: Me < Mo

Проверка нормальности распределения По коэффициенту асимметрии (skewness): если распределение симметрично: = 0 при правосторонней асимметрии: > 0 при левосторонней асимметрии: < 0

Проверка нормальности распределения Kurtosis (Коэффициент эксцесса): Коэффициент указывает, является ли распределение пологим (при большом значении коэффициента) или островершинным. Коэффициент вариации равен нулю, если наблюдения подчиняются нормальному распределению. Если коэффициент вариации значительно отличается от нуля, то гипотезу о том, что данные взяты из нормально распределенной генеральной совокупности, следует отвергнуть.

Вершина более крутая, чем для нормального распределения: эксцесс положительный, имеются длинные хвосты распределения; Вершина положе: эксцесс отрицательный, имеются короткие хвосты распределения.

Проверка нормальности распределения Если Ме занимает срединное положение между 25-м и 75-м процентилем, то распределение близко к нормальному.

Проверка нормальности распределения Тесты на нормальность: Шапиро-Вилка (Shapiro-Wilk) Колмогорова-Смирнова (Kolmogorov-Smirnov) Крамера-вон Майса (Kramer-von Mises) Андерсона-Дарлинга (Anderson-Darling)

Способы "нормализующего преобразования" (transformation to normality) данных : - гармоническое преобразование: 1 /х; - извлечение квадратного корня; - логарифмирование (дает наиболее точное приближение): log xi

Успешность преобразования данных оценивают по коэффициенту асимметрии: чем ближе он к 0, тем ближе экспериментальное распределение к нормальному.

Логарифм Логари́фм числа b по основанию a определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. Обозначение: logab, произносится: "логарифм b по основанию a". Нахождение х= logab равносильно решению уравнения ax =b . Например, log28=3, потому что 23=8 Вычисление логарифма называется логарифмированием.

Правило «трех сигм»

Следствия 1. Площадь под кривой нормального распределения на интервале от μ - σ до μ + σ составляет 68,27% всей площади. На этом интервале сосредоточено 68,27% всех значений случайной величины. 2. Площадь под кривой нормального распределения на интервале от μ - 2σ до μ + 2σ составляет 95,45% всей площади. На этом интервале сосредоточено 95,45% всех значений случайной величины. 3. Площадь под кривой нормального распределения на интервале от μ - 3σ до μ + 3σ составляет 99,73% всей площади. На этом интервале сосредоточено 99,73% всех значений случайной величины.

Следствия Площадь Интервал 90% площади μ ± 1,64 σ 95% площади μ ± 1,96 σ 99% площади μ ± 2,50 σ

Пример Батарейки работают в среднем 19 часов со стандартным отклонением 1,2 часа. Можно утверждать, что 95,45% батареек служат от 16,6 до 21,4 часа.

Центральная предельная теорема Для бесконечного числа независимых случайных выборок одинакового объема, извлеченных из генеральной совокупности, выборочное распределение любой линейной комбинации выборочных средних будет стремиться к нормальному при объеме выборки, стремящейся к бесконечности.

Спасибо за внимание!