Скачать презентацию Векторы вход Содержание I Понятие вектора в Скачать презентацию Векторы вход Содержание I Понятие вектора в

векторы.ppt

  • Количество слайдов: 45

Векторы вход Векторы вход

Содержание I. Понятие вектора в пространстве II. Коллинеарные векторы III. Действия с векторами V. Содержание I. Понятие вектора в пространстве II. Коллинеарные векторы III. Действия с векторами V. Разложение вектора VI. Базисные задачи VII. Задача № 3 Выход

Понятие вектора в пространстве Вектор(направленный отрезок) – отрезок, для которого указано какой из его Понятие вектора в пространстве Вектор(направленный отрезок) – отрезок, для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом. В M А Длина вектора – длина отрезка AB.

Коллинеарные векторы Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или Коллинеарные векторы Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых. Среди коллинеарных различают: • Сонаправленные векторы • Противоположно направленные векторы

Сонаправленные векторы - векторы, лежащие по одну сторону от прямой, проходящей через их начала. Сонаправленные векторы - векторы, лежащие по одну сторону от прямой, проходящей через их начала. Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором. • Равные векторы

Равные векторы - сонаправленные векторы, длины которых равны. От любой точки можно отложить вектор, Равные векторы - сонаправленные векторы, длины которых равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их начала. • Противоположные векторы

Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны. Вектором, противоположным нулевому, считается нулевой Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны. Вектором, противоположным нулевому, считается нулевой вектор.

Признак коллинеарности Доказательство Признак коллинеарности Доказательство

Доказательство признака коллинеарности Доказательство признака коллинеарности

Действия с векторами • • Сложение Вычитание Умножение вектора на число Скалярное произведение Действия с векторами • • Сложение Вычитание Умножение вектора на число Скалярное произведение

Сложение векторов • • Правило треугольника Правило параллелограмма Правило многоугольника Свойства сложения Сложение векторов • • Правило треугольника Правило параллелограмма Правило многоугольника Свойства сложения

Правило треугольника B А C Правило треугольника B А C

Правило треугольника B А C Для любых трех точек А, В и С справедливо Правило треугольника B А C Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:

Правило параллелограмма B А C Правило параллелограмма B А C

Свойства сложения Свойства сложения

Правило многоугольника Сумма векторов равна вектору, проведенному из начала первого в конец последнего(при последовательном Правило многоугольника Сумма векторов равна вектору, проведенному из начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании). B C A Пример E D

Вычитание векторов • Вычитание • Сложение с противоположным Вычитание векторов • Вычитание • Сложение с противоположным

Вычитание Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором вектору . равна Вычитание Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором вектору . равна

Вычитание B A Правило трех точек C Вычитание B A Правило трех точек C

Правило трех точек Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной Правило трех точек Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки. B А K

Сложение с противоположным Разность векторов сумму вектора вектору и можно представить как и вектора, Сложение с противоположным Разность векторов сумму вектора вектору и можно представить как и вектора, противоположного . B А O

Умножение вектора на число Умножение вектора на число

Свойства • Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. • Произведение любого Свойства • Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. • Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Свойства Свойства

Скалярное произведение Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между Скалярное произведение Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Справедливые утверждения Вычисление скалярного произведения в координатах Свойства скалярного произведения

Справедливые утверждения • скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда Справедливые утверждения • скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны • скалярный квадрат вектора (т. е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины

Вычисление скалярного произведения в координатах Доказательство Вычисление скалярного произведения в координатах Доказательство

Доказательство формулы скалярного произведения B O O B A B O α A A Доказательство формулы скалярного произведения B O O B A B O α A A

Доказательство формулы скалярного произведения Доказательство формулы скалярного произведения

Свойства скалярного произведения 10. 20. 30. 40. (переместительный закон) (распределительный закон) (сочетательный закон) Свойства скалярного произведения 10. 20. 30. 40. (переместительный закон) (распределительный закон) (сочетательный закон)

Разложение вектора • По двум неколлинеарным векторам Разложение вектора • По двум неколлинеарным векторам

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Теорема. Любой вектор можно разложить по двум данным Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Теорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство

Доказательство теоремы P B O 1)Пусть коллинеарен Тогда , где y – некоторое число. Доказательство теоремы P B O 1)Пусть коллинеарен Тогда , где y – некоторое число. Следовательно, A A 1 т. е. разложен по векторам и. .

Доказательство теоремы 2) не коллинеарен ни вектору , ни вектору Отметим О – произвольную Доказательство теоремы 2) не коллинеарен ни вектору , ни вектору Отметим О – произвольную точку. .

Доказательство теоремы Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим: Тогда: - Доказательство теоремы Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим: Тогда: -

Базисные задачи Вектор, проведенный в середину отрезка Вектор, проведенный в точку отрезка Вектор, соединяющий Базисные задачи Вектор, проведенный в середину отрезка Вектор, проведенный в точку отрезка Вектор, соединяющий середины двух отрезков

Вектор, проведенный в середину отрезка, равен полусумме векторов, проведенных из той же точки в Вектор, проведенный в середину отрезка, равен полусумме векторов, проведенных из той же точки в его концы. С A B O Доказательство

Доказательство С A O B Доказательство С A O B

Вектор, проведенный в точку отрезка Точка С делит отрезок АВ в отношении т : Вектор, проведенный в точку отрезка Точка С делит отрезок АВ в отношении т : п. A m Сn B O Доказательство

Доказательство A m O Сn B Доказательство A m O Сn B

Вектор, соединяющий середины двух отрезков, равен полусумме векторов, соединяющих их концы. С N D Вектор, соединяющий середины двух отрезков, равен полусумме векторов, соединяющих их концы. С N D B M M A A Доказательство

Доказательство С N D B M A Доказательство С N D B M A

Задача 3. Сложение и вычитание Упростите выражения: а) б) в) г) д) е) Решение Задача 3. Сложение и вычитание Упростите выражения: а) б) в) г) д) е) Решение

Решение а) б) в) г) д) е) Решение а) б) в) г) д) е)