Векторы называются компланарными если при компланарными откладывании их

Векторы называются компланарными, если при компланарными откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Другими словами, векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, компланарными лежащие в одной плоскости. c a Любые два вектора компланарны.

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. k c a

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед. B 1 Являются ли векторы ВВ 1, D ОD и ОЕ компланарными? C Е В О А

Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед. Являются ли векторы ОА, B 1 ОВ и ОС компланарными? D C Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор ОС не лежит в плоскости ОАВ. Е В О А

Являются ли векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B компланарными? D 1 A 1 C 1 Векторы А 1 D 1, A 1 C 1 лежат в плоскости А 1 D 1 C 1. B 1 Вектор D 1 В не лежит в этой плоскости. D C A B Векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B не компланарны.

Являются ли векторы AD и D 1 B компланарными? Любые два вектора компланарны. D 1 A 1 C 1 B 1 D C A B

№ 355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Компланарны ли векторы? АА 1, СС 1, ВВ 1 Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. В 1 С 1 А 1 D 1 В А С D

№ 355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Компланарны ли векторы? АВ, АD, АА 1 Векторы АВ, АD и АА 1 не компланарны, так как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС. В 1 С 1 А 1 D 1 В А С D

№ 355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Компланарны ли векторы? В 1 В, АС, DD 1 Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. В 1 С 1 А 1 D 1 В А С D

№ 355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Компланарны ли векторы? АD, CC 1, А 1 B 1 Векторы АВ, АD и АА 1 не компланарны, так как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС. В 1 С 1 А 1 D 1 Векторы АD, CC 1, А 1 B 1 не компланарны В А С D

Любые два вектора компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. Признак компланарности Если вектор aиb c можно разложить по векторам c = xa + yb где x и y – некоторые числа, то векторы a , b и c , т. е. представить в виде компланарны.

С c = xa + yb В 1 Докажем, что векторы компланарны. А 1 В О a c b А Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ. ОА 1 = х ОА ОВ 1 = у ОВ Векторы ОА 1 и ОВ 1 также лежат плоскости ОАВ. А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ, равный вектору. c

Справедливо и обратное утверждение. Признак компланарности Если векторы , и компланарны, а векторы Если вектор можно разложить по векторам ca b c a и b , коллинеарны, в виде c можно a и b нет. е. представитьто вектор c = xa + yb разложить по векторам a и где x и y – некоторые числа, тоb векторы a , b и c c = xa + yb , причем компланарны. коэффициенты разложения определяются единственным образом.

П О В Т О Р И М Сложение векторов. Правило треугольника. АВ + ВС = АС a+b b a

Сложение векторов. Правило параллелограмма. П О В Т О Р И М АВ + АD = АС a+b В b b a+b А a a D C

Сложение векторов. Правило многоугольника. П О В Т О Р И М АВ + ВС + СD + DO = АO n m a m c c a m+n a+c+ n

Правило параллелепипеда. OA + OB + OC = OD из OED из OAE OD = OE + ED = (OA + AE) + ED = OA + OB + OC = D =a+b+c В 1 С c Е A В О a b

№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: АВ + АD + АА 1 = AC 1 D 1 A 1 C 1 B 1 D A С В

№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: DА + DC + DD 1 = DB 1 D 1 A 1 C 1 B 1 D A С В

№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 B 1 + C 1 B 1 + BB 1 D 1 A 1 C 1 B 1 D A С В DC + DA + DD 1 = DB 1

№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 A + A 1 D 1 + AB D 1 A 1 C 1 B 1 D A С В A 1 A + A 1 D 1 + A 1 B 1 = A 1 C

№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: B 1 A 1 + BB 1 + BC D 1 A 1 C 1 B 1 D A С В BA + BB 1 + BC = BD 1

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Если вектор представлен в виде p = xa + yb + zc z - некоторые числа, то говорят, что вектор p разложен по векторам a , b и c. Числа x , y и z где x, y и называются коэффициентами разложения. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векорам. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

По правилу многоугольника ОР = ОР 2 + Р 2 Р 1 + Р 1 Р Докажем, что любой вектор можно представить в виде ОР 2 = x OA ОР = x OA + y OB + z OC Р 2 Р 1= у OВ p = xa + yb + zc p p = xa + yb + zc Р 1 Р = z OC a P b c C p B P 1 P 2 O a A

Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим, что это не так и существует другое разложение вектора – p = xaa+ yb 1 b + z 1 c x 1 + y + zc Это равенство выполняется только тогда, когда o = (x – x 1)a + (y – y 1)b + (z – z 1)c Если предположить, например, что , то из этого o o o равенства можно найти Тогда векторы компланарны. Это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение не верно, и Следовательно, коэффициенты разложения определяются единственным образом.

№ 359 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Разложите вектор BD 1 по векторам BA, ВС и ВВ 1. По правилу параллелепипеда ВD 1 = BA + BC + BB 1 D 1 A 1 C 1 B 1 D A С В

№ 359 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Разложите вектор B 1 D 1 по векторам А 1 A, А 1 В и А 1 D 1. По правилу треугольника из D 1 A 1 А 1 В 1 D 1: C 1 В 1 D 1 = B 1 A 1+ А 1 D 1 = из B 1 А 1 В 1 B = (В 1 B + BA 1)+ А 1 D 1 = = (A 1 A – A 1 B)+ А 1 D 1 = D A С В = A 1 A – A 1 B+ А 1 D 1