Векторы 3 неделя Содержание Векторы и

Векторы 3 неделя

Содержание ● Векторы и их преобразования ● Скалярное произведение векторов и его свойства ● Векторное произведение и его свойства

Определение Вектор - направленный отрезок B A AB = a

Определение ● (x 1, x 2, …, xn) называется n размерный вектор. ● Действительные числа x 1, x 2, …, xn называются координатами. ● Если все координаты равно 0, то называется нулевой вектор. О = (0, 0, …, 0)

Орт ● Если значение только одной координаты равно 1, остальные равны 0, то такой вектор называется орт. ● Например, существует всего три орта для векторов размером три: i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1)

Зачем нужны орты? ● Любой вектор можно представить через орты соответствующего размера. ● Например, дано a = (x, y, z), i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) имеет место a = x i + y j + z k

z a x y Вектор через орты

Определение ● Векторы лежащие на одной или параллельных прямых называются коллинеарными o Обозначение: a || b ● Векторы лежащие на одной или параллельных плоскостях называются компланарными

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные, сонаправленные векторы c a b c a a Нулевой вектор считается коллинеарным, b сонаправленным с любым вектором. o a o c o b

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные, противоположно направленные векторы b a c a b c b

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. k c a

Линейные операции Даны: a = (x 1, y 1, z 1), b = (x 2, y 2, z 2) Сложение векторов: a + b = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2) Разница векторов: a - b = (x 1 - x 2, y 1 - y 2, z 1 - z 2) Умножение числа на вектор: a = (x, y, z) ka = (kx, ky, kz)

Линейные операции Закон перестановки: a+b=b+a Закон ассоциативности: (a + b) + с = а + (b + c) Закон дистрибутивности: k(a + b) = ka + kb (k + n) a = ka + na

Линейные операции Ассоциативность k(n a) = (kn)a Сложение с нулевым вектором a+O=a Сложение вектора с обратным вектором a + (-a) = O

Скалярное произведение Даны два вектора a = (x 1, y 1, z 1), b = (x 2, y 2, z 2) (a , b) = a b Скалярное произведение векторов: a b = x 1 x 2+ y 1 y 2 + z 1 z 2

Скалярное произведение Переместительное или коммутативное свойство : (a, b) = (b, a) Распределительное (дистрибутивное) свойство относительного сложения векторов : (a, b+с) = (а, b) + (а, c) Сочетательное (ассоциативное) свойство : (ka, b) = (a, kb) = k(а, b)

Скалярное произведение Если даны векторы a и b, то скалярным произведением является вектор с, который удовлетворяет следующим условиям: 1) c = a b cos ϕ, здесь ϕ угол между данными векторами 2) вектор с вектор перпендикулярен векторам а и b 3) a, b, c образуют положительную тройку векторов

Скалярное произведение векторов. 0 = 900 ab a b = a b cos 900 b a Если векторы a и b перпендикулярны, то =0 скалярное произведение векторов равно нулю. Обратно: если и = 0 , то векторы перпендикулярны. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. =0 ^ a a b Û a b b

Скалярное произведение векторов. b < 900 ab a >0 a b = a b cos a > 0 Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда , когда угол между векторами острый. a b >0 < 900 Û ab

Скалярное произведение векторов. > 900 ab a b = a b cos a < 0 b a Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой. 0 <0 a b Û a b > 90

Скалярное произведение векторов. Если b a a a b = 00 ab a b = a b cos 00 = a b b Если a b = 1800 ab a b = a b cos 1800 = – a b

Скалярное произведение векторов. = 00 aa a cos 00 = a a = a 2 a a Скалярное произведение a a называется a и обозначается a 2 скалярным квадратом вектора Таким образом, a 2 = a 2 откуда = Длина вектора равен квадратному корню из его скалярного квадрата.

Векторное произведение Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c. Обозначение векторного произведения: [a, b] или a х b

Векторное произведение векторов. Введем еще одну операцию над векторами. Эта операция существует только в трехмерном векторном пространстве, на плоскости она не определена. Векторным произведением двух ненулевых векторов называется вектор , удовлетворяющий трем требованиям: 1) 2) |a b| = a b sin( a b) 3) Тройка векторов является правой.

Векторное произведение

Свойства 1. Если векторы а) коллинеарны, б) один из векторов нулевой, тогда векторное произведение образует нулевой вектор 2. a х b = - b х a 3. (ka) х b = a х (kb) = k(a х b) 4. a х (b + c) = a х b + a х c

Векторное произведение векторов. Геометрический смысл векторного произведения. a b sin( a b) Для неколлинеарных векторов модуль их векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения: Свойство очевидно, так как синус – функция нечетная. 2) Свойство сочетательности относительно скалярного множителя: 3) Распределительное свойство относительно сложения векторов:

Векторное произведение векторов. Если вектора коллинеарные, то b = 00 ab a a b sin 00 Признак коллинеарности векторов: Для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы равно нулю. В частности, имеем для ортов:

Векторное произведение векторов. Векторное произведение двух векторов позволяет решить следующие задачи векторной алгебры. 1) Нахождение площади параллелограмма и треугольника

Векторное произведение i axb= j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

Векторное произведение векторов. Пример 1. Найти площадь треугольника с вершинами в точках Решение

Векторное произведение векторов. Пример 2. Найти площадь треугольника, построенного на векторах Решение

Векторное произведение векторов. 2) Нахождение векторов, перпендикулярных данной плоскости Пример 3. Найти единичный вектор, перпендикулярный к плоскости, в которой лежат точки Решение В силу определения векторного произведения векторов Поставленной задаче удовлетворяют два единичных вектора

Векторное произведение векторов. 3) Доказательство коллинеарности векторов Решение Условие коллинеарности: т. е. вектора неколлинеарны.