Векторный и тензорный анализ Алгебра тензоров над произвольным

Векторный и тензорный анализ Алгебра тензоров над произвольным линейным пространством Специальность 1-100 01 01 Ядерная и радиационная безопасность 2010-2011 уч. г. Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им. А.Д. Сахарова» Факультет мониторинга окружающей среды

Конечномерные линейные пространства

Линейное пространство над полем  Буквы для обозначения линейного пространства – латинские, прописные, рукописные, курсивом: A, B,…V, W Элементы линейного пространства называются векторами Будем обозначать их буквами со стрелками: Поле  – числовое: Q, , либо  Будем обозначать их греческими буквами: ,…

Аксиомы линейного пространства Линейное пространствоV над полем чисел  – множество элементов , для которых установлены операции сложения и умножения на числа из  , такие, что выполняются следующие аксиомы:

Линейные комбинации Линейной комбинацией векторов называется вектор . Числа называются коэффициентами линейной комбинации Линейная комбинация называется тривиальной, если все числа

Линейная (не)зависимость Векторы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору Если такой нетривиальной линейной комбинации не существует, то векторы называются линейно независимыми

Размерность пространства. Базис Если добавление любого вектора к семейству линейно независимых векторов приводит к семейству линейно зависимых векторов, то число n называется размерностью пространства. Обозначение: n = dim V. Семейство называется базисом в пространстве V. В этом случае пишут V n. Пространство называется конечномерным, если n – конечное натуральное число. В тензорном анализе – конечномерные пространства

Разложение вектора по базису Так как при ненулевом  и хотя бы одном ненулевом из i , , то Таким образом возникает разложение вектора по базису Координаты вектора Запишем разложение вектора на составляющие

Правило Эйнштейна. Метод коренных букв и индексов Договоримся, что по повторяющимся индексам сверху и снизу подразумевается суммирование в пределах заданного диапазона изменения индекса – правило Эйнштейна Если надо выделить отдельную составляющую вектора с номером i, будем писать Такой способ записи называется методом коренных букв и индексов. Здесь a – коренная буква, а i – индекс. Его месторасположение (в данном случае вверху) также существенно

Единственность разложения в данном базисе Допустим существует два различных разложения и для вектора в одном и том же базисе . Тогда их разность В силу линейной независимости векторов базиса отсюда вытекает т.е. .

Преобразование базисов Вместо линейно независимого семейства можно выбрать любое другое линейно независимое семейство Рассмотрим разложения В этой записи точка под или над индексом указывает место его расположения по отношению к соседнему индексу

Связывающие величины. Метод коренных букв и индексов (прод.) Величины – координаты нового базиса в старом Величины – координаты старого базиса в новом Они называются связывающими величинами Их роль – устанавливают связь между координатами вектора в разных базисах: Попарно повторяющиеся (один сверху, один снизу) индексы называются немыми, неповторяющиеся индексы – явными Правило: явные индексы в правой части равенства стоят на том же уровне, что и в левой его части

Как читать равенство ? Необходимо придать конкретные значения индексам. Запись эквивалентна системе линейных уравнений … с коэффициентами . – численно равно

Связь между связывающими величинами где символы Кронекера

Взаимно-однозначное соответствие V n и Kn Разложение векторов по заданному базису есть построение взаимно однозначного соответствия: V n  Kn, где Kn = KK  …  K Элементами Kn являются упорядоченные совокупности координат векторов в заданном базисе

Линейное пространство Kn Введение операций сложения этих совокупностей: и умножения на числа из K вводят Kn на структуру линейного пространства. Тогда можно говорить об изоморфизме V n и Kn а Но этот изоморфизм – особый!

Координатный изоморфизм Этот изоморфизм устанавливается только для каждого конкретного базиса или Он называется координатным изоморфизмом и – вообще говоря, разные упорядоченные наборы чисел из Kn. Иногда координатный изоморфизм называют арифметизацией линейного пространства V n.

Координатный изоморфизм – не тождество! Но нельзя отождествлятьV n и Kn, так как в зависимости от выбора базиса одному и тому же вектору ставятся в соответствие, вообще говоря, различные упорядоченные наборы чисел из Kn. Например, при преобразовании базиса отношение конкретных координат вектора не переходит в аналогичное отношение в базисе . Задание: найти выражение для через координаты вектора в старом базисе

Запись функций от векторов При составлении функций , зависящих от векторов, необходимо подбирать выражения, не зависящие от базиса. Например, нельзя считать, что если в некотором базисе функция , то в любом другом базисе она остается функцией только первой координаты вектора:

Смысл индексных обозначений в общей записи функциональной зависимости В то же время наряду с обозначением функции от вектора будет использоваться и запись Здесь запись правой части означает не зависимость от конкретного , а от всей совокупности координат вектора в любом базисе, если не оговорено иное. В частности, символом будем обозначать вектор в целом, если не оговорено иное.

Матричное представление векторов в Kn Векторы в Kn можно представить в виде вектор-столбца Этот вектор-столбец содержит значения координат вектора в базисе . Будем обозначать вектор-столбец, составленный из координат того же вектора в базисе символом

Матричные образы базисных векторов Любой вектор-столбец можно представить в виде откуда вытекает, что матричными образами базисных векторов служат вектор-столбцы

Но: Матричные образы базисных векторов в этом же базисе будут точно такие же! А в базисе , как следует из системы им соответствуют вектор-столбцы Задача: Выписать вектор-столбцы, соответствующие матричному представлению базиса в базисе

Матричное представление связывающих коэффициентов Связывающие коэффициенты можно перечислить в виде матрицы составленной по правилу: первый индекс независимо от уровня нумерует строки, а второй – столбцы

Матричное представление связывающих коэффициентов По тому же принципу: первый индекс нумерует строки, второй столбцы, запишем перечень связывающих коэффициентов в виде матрицы

Матричное представление В этих обозначениях систему уравнений, связывающих координаты вектора в базисе с его же координатами в базисе можно записать в матричном виде что эквивалентно записи правую часть которой можно читать как произведение строки с номером i на столбец, составленный из координат .

Особенность матричного представления В то же время, обратное преобразование (*) не эквивалентно записи , так как правую часть ее надо читать, как произведение столбца с номером i на строку, составленную из координат вектора . Но если (*) протранспонировать, то соотношение можно прочитать в духе формулы

Особенность матричного представления Отсюда видно, что матрица связывающих коэффициентов связана с матрицей Р соотношением (**) Записывая соотношение в индексной форме, для сохранения матричного правила умножения «строка на столбец» элементы матрицы Р–1 придется обозначить символами . Но в то же время запись условия (**) в индексной форме имеет вид , так как операция транспонирования приводит к перестановке индексов у элементов матрицы . Но тогда придется не отличать коренные буквы Р–1 и Р, что приведет к неоднозначности применения метода коренных букв и индексов

Особенность матричного представления В условленных ранее обозначениях компонент матриц Р и соотношение между их компонентами эквивалентно следующей простой матричной форме записи РР–1 = Р–1Р = E где E – единичная матрица

Выводы Матричное представление менее информативно, чем индексное представление. Но его удобнее использовать при расчетах в конкретном базисе Необходимо отличать векторы из пространстваV n и векторы из пространства Kn : одному и тому же вектору отвечает бесконечное множество векторов , составленных из координат вектора во всех возможных базисах пространстваV n.

Линейное пространство, сопряженное к данному

Функционалы Отображение V n  K, ставящее в соответствие любому вектору изV n некоторое число  из K, называется функционалом над линейным пространством V n. Функционал первоначально будем обозначать символом

Линейные функционалы Функционал называется линейным, если для любых векторов и любого числа  из K выполняются следующие условия: , Множество всех функционалов над линейным пространством V n образует линейное пространство над полем чисел K (доказать!).

Линейное пространство, сопряженное к V n Это пространство называется линейным пространством, сопряженным к V n и обозначается V n. Его элементами являются все возможные функционалы, заданные над линейным пространством V n. Можно показать, что dim V n = n (см. ниже).

Ковекторы Линейные функционалы как элементы линейного пространства будем обозначать коренной буквой со стрелкой снизу: Они называются ковекторами пространства V n. Часто векторы из V n называются контравариантными векторами, а векторы из V n – ковариантными векторами.

Вычисление значений линейных функционалов Выражение является числом из K для каждого отдельного вектора и каждого отдельного ковектора . Разложим вектор по базису вV n: В соответствии со свойствами линейного функционала число можно представить в виде

Базисы в сопряженном пространстве Так как V n содержит все возможные линейные функционалы, то для каждого базиса вV n в V n существует n линейно независимых функционалов , для которых Они составляют базис в V n. Если функционал представить в виде разложения То можно получить отсюда, что числа ai находятся по правилу

Вычисление линейных функционалов в заданном базисе. Свертка Тогда значение функционала на данном векторе будет вычисляться следующим образом Базисы и называются взаимно сопряженными. Выражение называется сверткой (от немецкого – Faltung) вектора и ковектора . Числа ai имеют смысл координат ковектора в базисе

Линейная форма Однородная линейная комбинация координат вектора в произвольном базисе называется линейной формой на векторах , или 1-формой Она представляет собой свертку вектора с ковектором .

Координатный изоморфизм для ковекторов Поскольку ai – числа из K, то разложение ковектора по базису представляет собой координатный изоморфизм V n  Kn, При этом Kn выступает как линейное пространство. Поскольку базисы и принадле-жат разным пространствам и не тождественны друг другу, то из факта существования двух координат-ных изоморфизмов V n  Kn иV n  Kn не следует существование изоморфизма между сопряженными друг другу пространствами V n и V n

Эффективность обозначений с разностоящими индексами В частности, это значит, что обозначения ai и ai относятся к различным векторам, принадлежащим разным пространствам, не смотря на одинаковую коренную букву . Таким образом, индексные обозначения ai и ai, понимаемые как обозначения вектора и ковектора вообще, независимо от выбора базиса, однозначно определяют вектор и ковектор как таковые и эквивалентны прямым обозначениям и соответственно.

Преобразования базисов в пространствах V n и V n Пусть базисы и связаны в V n разложениями Тогда для соответствующих сопряженных базисов и в V n из определений и вытекает, что т.е. координаты векторов в базисе имеют смысл координат ковекторов в базисе .

Преобразование координат ковекторов. Инвариантность свертки Для координат ковекторов из разложений следует, что Из определения свертки вытекает ее инвариантность относительно преобразований базиса Величины, не меняющиеся при преобразованиях координат, называются скалярами

Контравариантные и ковариантные векторы Векторы, координаты которых при преобразовании базиса преобразуются по закону называются контравариантными векторами, а векторы, координаты которых преобразуются по закону называются ковариантными векторами.

Матричная интерпретация преобразований координат ковекторов Координаты ковектора можно собрать в вектор-столбец аналогично вектор-столбцу, который может быть поставлен в соответствие контравариантному вектору. Тогда в соответствии с индексной формой записи и правилами перемножения матриц в отличие от связи между вектор-столбцами кон-травариантного вектора в разных базисах:

Матричная интерпретация свертки Свертку контравариантного вектора с ковариантным вектором можно представить в матричной записи как произведение строки на столбец :

Вектор – не столбец, а ковектор – не строка! Поэтому нельзя считать, что в заданном базисе линейное пространство контравариантных векторов изоморфно линейному пространству вектор-столбцов, составленных из координат этих векторов, а линейное пространство ковариантных векторов изоморфно линейному пространству вектор-строк, составленных из координат ковекторов в базисе, сопряженном базису, в котором получено разложение ковариантных векторов. Оба матричных образа в равной мере применимы для частного представления тех и других

РавноправиеV n иV n Можно было бы рассматривать векторы изV n как функционалы на ковекторах изV n, пользуясь определением Поэтому можно было бы писать выражение для свертки ковариантного и контравариантного векторов в более простом виде

Линейные операторы

Определение линейного оператора Линейным оператором называется отображение пространства U m в пространствоV n над одним и тем же полем чисел K, обозначаемое , при котором каждому вектору ставится в соответствие некоторый вектор и при этом выполняются следующие условия: для для Пространство U m называется областью определения линейного оператора , а множество всех векто- ров – областью образов линейного оператора .

Сложение линейных операторов Рассмотрим два оператора и Суммой операторов и называется оператор, обозначаемый , такой, что для любого Оператор называется нулевым оператором, если область его образов – нулевой вектор:

Произведение линейных операторов ПустьU m, V n,W p – линейные пространства размерности m, n и p соответственно над одним и тем же полем чисел K. Пусть заданы линейные операторы и Произведением операторов и называется оператор, обозначаемый , ставящий в соответствие векторам из U m векторы изW p. Порядок следования операторов в произведении существен

Координатное представление операторов Пусть – линейный оператор: Рассмотрим базис в пространстве U m и базис в пространствеV n Рассмотрим векторы и Разложим эти векторы по указанным базисам: Тогда из линейности оператора вытекает

Координатное представление операторов Векторы , поэтому их можно разложить по базису где – коэффициенты разложения векторов по базису . Они однозначно определяют линейный оператор в базисах , и называются координатами оператора в указанных базисах.

Преобразование координат оператора при преобразованиях базисов Пусть и – некоторые новые базисы в U m и V n соответственно. Выпишем следующие разложения базисов в U m и V n : Тогда координаты оператора в новых базисах будут связаны с его координатами в старых базисах соотношениями (^) Задача: найти все возможные способы вывода (^)

Координатное представление произведения операторов Рассмотрим линейные пространстваU m,V n, W p размерности m, n и p соответственно над одним и тем же полем чисел K. Выберем в U m,V n,W p базисы соответственно. Тогда произведение операторов и будет однозначно задаваться его координатами

Матричное представление операторов Координатный изоморфизм ставит во взаимно-однозначное соответствие любому линейному оператору его координаты в заданных базисах и . Если договориться, что первый индекс, нумерующий базисные векторы в пространстве образов оператора, будет нумеровать строки, а второй индекс, нумерующий базисные векторы в области определения оператора – столбцы, то оператор можно представить в виде матрицы размера nxm

Матричное представление операторов В развернутой форме На матричном языке произведение операторов рассматривается как произведение соответствующих матриц

Линейные автоморфизмы

Автоморфизм Оператор называется автоморфизмом, если U m =V n, m=n. Произведение автоморфизмов и является автоморфизмом. Автоморфизм называется единичным, если Обратным автоморфизмом называется оператор , такой, что Оператор, имеющий на V n обратный оператор, называется невырожденным.

Группа GL(n) Множество всех невырожденных линейных автоморфизмов на V n образует мультиплика-тивную группу GL(n), называемую общей линейной группой автоморфизмов наV n .

Определение группы Группой G называется множество элементов, f, g, h, …, для которых задан некоторый закон композиции (если f  G, g  G , то композиция gf  G и элемент gf определен однозначно), удовлетворяющий следующим условиям: 1 (hg)f = h(gf) для любых h, g, f  G; 2 существует единичный элемент e, для которого ef = fe = f для любого f  G; 3 для любого f существует обратный элемент f–1, определяемый условиями: f–1f = ff–1= e. Группа называется коммутативной, или абелевой, если для любой пары f и g  G fg = gf.

Коммутатор операторов Для любых двух автоморфизмов и автоморфизм называется коммутатором операторов и Операторы, коммутатор которых равен нулю, называются коммутирующими (перестановочными) операторами Задача. Показать, что 1.и 2. (Тождество Якоби) Группа, умножение элементов в которой обладает свойствами 1,2, называется группой Ли

Идемпотентные автоморфизмы Автоморфизм называется идемпотентным автоморфизмом на V n, если Все идемпотентные автоморфизмы не вырождены. Причем

Нильпотентные автоморфизмы Автоморфизм называется нильпотентным, если найдется такое натуральное p, для которого Если при этом , то число p называется индексом нильпотентности оператора .

Проективные операторы Проективным оператором называется автоморфизм, для которого Проективный оператор ставит в соответствие любому вектору вектор , который не меняется под действием оператора . Любому проективному оператору можно поставить в соответствие проективный оператор Свойство операторов и : Области образов операторов и не пересекаются.

Связь между проективными и идемпотентными операторами Если оператор является идемпотентным: , то оператор является проективным оператором, так как Оператор также будет проективным, если идемпотентен, при некотором а. Найти а

Координатное и матричное представление автоморфизмов Координаты линейного автоморфизма могут быть записаны относительно одного базиса и собраны в квадратную матрицу размера nxn

Координатное представление некоторых автоморфизмов Координатами единичного оператора в любом базисе являются символы Кронекера а в матричном представлении он представляется единичной матрицей: Координаты нулевого оператора в любом базисе равны нулю и составляют нулевую матрицу. Это два простейших примера т.н. индифферентных операторов

Координатное задание обратного оператора Для невырожденного оператора соотношение можно переписать в виде Производя разложение векторов и в некотором базисе , получим а индексная запись соотношения будет выглядеть так:

Линейные автоморфизмы в сопряженном пространстве Как будет выглядеть действие линейного автомор-физма в пространстве V n, сопряженном кV n, если задан наV n? А как зададим! Но есть всего 2 возможности 1. Для любых вектора и ковектора значение на образе вектора равно

Линейные автоморфизмы в сопряженном пространстве Поэтому можно представить, что автоморфизм , действующий на векторы пространстваV n слева направо, действует на ковекторы сопряженного пространстваV n справа налево, а именно: При таком представлении действия оператора на сопряженном пространствеV n в выражении скобки можно опустить

Матричная интерпретация в заданном базисе И это выражение в любом наперед заданном базисе можно трактовать непосредственно в матричной форме:

Правые автоморфизмы на V n 2. Правым линейным автоморфизмом наV n называ-ется линейный оператор , ставящий в соответствие любому вектору вектор , так что 1. для 2. для Операторы, действующие «традиционным способом» слева направо, будем называть левыми операторами. Что же в этом определении отличного от определения левого линейного оператора?

Координатное представление правых автоморфизмов В некотором базисе правый автоморфизм можно представить в виде где координаты – однозначно определяют действие оператора на векторы справа. Перенос его действия на ковекторы изV n приводит к левому действию оператора на сопряженном пространствеV n

В матричном виде Если обозначить символом матрицу коэффициен-тов , определяющих правое действие оператора на векторы пространстваV n и левое действие – на ковекторы из V n , то

Свертка образов автоморфизма, левого наV n и правого наV n Если теперь рассмотреть свертку образа вектора в с соответствующим образом ковектора в , то окажется, что свертка, вообще говоря, не инвариантна относительно автоморфизмов пространства: Инвариантность свертки будет иметь место лишь в случае идемпотентных автоморфизмов, для которых

Свертка левых образов одного и того же автоморфизма Если же рассмотреть свертку левого образа вектора с левым образом ковектора у , то получим выражение Свертка таких образов будет инвариантна относите-льно линейного автоморфизма: , если (*^) а на языке соответствующих матриц

Свертка правых образов одного и того же автоморфизма Аналогично для правых образов Условие инвариантности дает (*^) что эквивалентно тому же матричному условию

Преобразование координат левых автоморфизмов при преобразовании базиса Координаты левого линейного автоморфизма могут быть записаны относительно одного базиса и собраны в квадратную матрицу размера nxn При преобразовании базиса они преобразуются по линейному однородному закону

Преобразование координат левых автоморфизмов при преобразовании базиса Можно, конечно, «забыть» преобразовать один из индексов, относя их к разным базисам и вводя коор-динаты оператора в смешанном виде В этих случаях суть дела не меняется: оператор по-прежнему задает некоторое линейное отображение пространстваV n в себя, только числа, характери-зующие его, отнесены к различным базисам по каждому из индексов. Вопрос: Являются ли связывающие коэффициенты Pij координатами некоторого левого линейного оператора?

Преобразование координат левых автоморфизмов при преобразовании базиса Ответ: Да. Связывающие коэффициенты Pij являются смешанными координатами единичного оператора, ибо по определению Точно так же связывающие коэффициенты Pj i являются смешанными координатами единичного оператора

Преобразование координат правых автоморфизмов при преобразовании базиса Аналогично при преобразовании базиса вV n преоб-разование координат правого автоморфизма на V n происходит по линейному однородному закону В употреблении также могут оказаться смешанные координаты правого оператора Отсюда также можно установить, что связывающие коэффициенты являются смешанными координа-тами единичного оператора в данных базисах

Связывающие коэффициенты – не линейные автоморфизмы! Являются координатами базисных векторов в базисе пространства V n, либо координатами ба-зисных векторов в базисе в простран-ствеV n Являются координатами образов в базисе в пространстваV n , либо координатами образов в базисе в в пространстве V n Связывающие коэффициенты Pi j Координаты автоморфизмов Li j

Левые линейные отображения V n наV n Рассмотрим теперь линейный оператор , ставящий в соответствие каждому вектору некоторый ковектор : Разложив вектор в некотором базисе , а вектор – в соответствующем сопряженном базисе м , в силу линейности оператора будем иметь Обозначим

Левые линейные отображенияV n наV n и V n наV n Тогда (*^) Коэффициенты Lij однозначно задают действие линейного оператора в некоторых сопряженных друг к другу базисах и . Соответственно, для некоторого линейного опера-тора : уравнения в некоторых базисах и запишутся в виде (^*)

Правые линейные отображенияV n наV n и V n наV n Точно так же можно определить действие этих же операторов справа: При этом векторные уравнения и записываются в координатном виде следующим образом Задача: Записать эти соотношения а также соотноше-ния (*^) и (^*) в матричном виде.

Законы преобразования Lij и Lij При переходе к новому базису вV n и соответствующему сопряженному базису вV n координаты операторов и преобразуются по линейному однородному закону (вывести!) Получить аналогичные правила преобразования для координат оператора

Итого: Прямая запись Координатная запись Матричная запись Свертка. Для Левые операторы Правые операторы

Итого: Прямая запись Координатная запись Матричная запись Свертка. Для Левые операторы Правые операторы

Итого: Прямая запись Координатная запись Матричная запись Свертка. Для Левые операторы Правые операторы

Итого: Прямая запись Координатная запись Матричная запись Свертка. Для Левые операторы Правые операторы

Упражнение – варианты сверток 1. 2. 3. 4. Запишите остальные допустимые свертки образов. Охарактеризуйте операторы, оставляющие свертки инвариантными. Свертка правого и левого образов Свертка одноименных образов

Определения и алгебраические операции Общее понятие о тензорах

1. Билинейный функционал на V n Билинейным функционалом на векторах и изV n называется линейное по обоим аргументам отображение , такое, что для любого числа    и для любых векторов выполняются следующие условия: 1 2 3 4 Билинейные функционалы на V n образуют линейное пространство T2(n) над полем K.

1. Билинейный функционал наV n Пусть – некоторый базис в V n Обозначим значения билинейного функционала и на базисных векторах символом Числа Bij называются коэффициентами функционала B в базисе . Они определены однозначно для каждого функционала. Тогда, пользуясь свойствами линейности функционала и по обоим аргументам, на основе разложений и и получим – билинейная форма

1. Билинейный функционал наV n Переход к другому базису не должен влиять на значение величины . Поэтому совокупность координат преобразуется в совокупность координат и по линейному однородному закону (*) Совокупность координат билинейной формы образует тензор типа (0,2) или ковариантный тензор валентности 2. Число индексов называется валентностью тензора.

1. Билинейные функционалы на V n Аналогично можно построить пространство T2(n) билинейных функционалов наV n как множество всех билинейных отображений вида Такой билинейный функционал в некотором базисе и однозначно описывается совокупностью координат Для любых ковекторов значение такого били-нейного функционала представляет собой билинейную форму

1. Билинейные функционалы на V n Преобразование базиса вV n должно оставлять неизменным значение функционала Поэтому коэффициенты билинейной формы Bij должны преобразовываться по закону (**) Величины, совокупность координат которых преобразуется по линейному однородному закону вида (**), называются тензорами типа (2,0) или контравариантными тензорами валентности 2.

1. Смешанные билинейные формы Упражнение: Сформулируйте определение смешанных билинейных форм Тензоры типа (1,1), или смешанные тензоры второй валентности Задача: покажите, что всевозможные свертки образа линейного оператора с сопряженным ему вектором являются билинейными формами

1. Векторы и скаляры как тензоры Контравариантные векторы называются тензорами типа (1,0) Ковариантные векторы называются тензорами типа (0,1) В этом же духе скаляры – тензоры типа (0,0)

2. Тензорное произведение векторов Тензорным произведением векторов и называ-ется выражение, обозначаемое как для которого определены все свойства билинейности 1 – 4 и, кроме того, установлены следующие прави-ла действия на ковекторы (свертки с ковекторами):

2. Диадное произведение Разложив векторы и в базисе , представим тензорное произведение в виде (^) Оно имеет смысл линейной комбинации базисных векторов с коэффициентами xiyj. Выражение (^) называют также диадным произведением векторов. Представляющая его матрица коэффициентов (xiyj) называется матрицей-диадой. В общем случае

2. Прямое представление контравариантного тензора валентности 2 В этих обозначениях контравариантный тензор Bij можно представить в виде где можно рассматривать как базис в пространстве T2(n). Упражнение: Показать, что из свойств тензорного произведения векторов вытекает следующий результат

2. Диадное произведение ковекторов Для ковекторов и также можно ввести понятие тензорного произведения которое в некотором базисе представится в виде разложения и называется диадным произведением ковекторов. В общем случае

2. Прямое представление ковариантного тензора валентности 2 Точно так же ковариантный тензор Bij можно представить в виде где можно рассматривать как базис в пространстве T2(n). Упражнение: Показать, что

2. Прямое представление смешанных тензоров валентности 2 Существует два типа линейных пространств смешанных тензоров, которые будем обозначать символом T11(n) для тензоров вида с базисом и символом T11(n) для тензоров вида с базисом . В отличие от T2(n) и T2(n), в T11 (n) и T11 (n) существует еди-ничный тензор, который можно обозначить одинаковой буквой, не внося путаницы:

2. Как лучше обозначить тензоры второй валентности? Векторы Тензоры второй валентности Индексная форма записи Прямая форма записи

2. Как лучше обозначить тензоры второй валентности? В индексной записи все однозначно, а в прямой записи возникает проблема идентификации типа тензора. Поэтому необходимо либо явно выписывать тензор в разложении по некоторому тензорному произведению базисных векторов, либо использовать индексные обозначения, подразумевая под ними, когда это необходимо, прямые образы тензоров. В прямой записи тензора в разложении по тензорному произведению базисных векторов еще не содержится закона преобразования его координат. Необходимо постулировать дополнительно неизменность таким образом обозначенной величины при преобразовании базиса.

3. Транспонирование тензоров второй валентности Для тензорного произведения векторов может быть введена операция транспонирования, определяемая как линейный оператор, ставящий в соответствие некоторой диаде диаду с противоположным порядком следования векторов:

3. Транспонирование тензоров второй валентности Транспонирование является линейным автоморфиз-мом на T2(n) и T2(n) и линейным взаимно однознач-ным отображением T11(n) на T11(n) и наоборот. Задача. Применяя операцию транспонирования к произвольным тензорам второй валентности, пользуясь линейностью этой операции, получить правила действия транспонирования на координаты этих тензоров: BТij = Bji, BТij = Bji, BТij = Bji.

3. Симметричные и антисимметричные тензоры второй валентности Тензор второй валентности типа (2,0), либо типа (0,2) на-зывается симметричным, если для всех его координат вы-полняется соотношение Bji =Bij , Bji = Bij Тензор второй валентности типа (2,0), либо типа (0,2) на-зывается антисимметричным, если для всех его коорди-нат выполняется соотношение Bji =–Bij , Bji = –Bij.

3. Симметризация тензоров второй валентности Симметризацией или симметрированием тензора второй валентности называется оператор, ставящий в соответствие исходному тензору тензор, где

3. Альтернирование тензоров второй валентности Альтернацией или альтернированием тензора второй валентности называется операция, ставящая в соответствие исходному тензору тензор, где

3. Симметричная и антисимметричная части тензора Задача. Показать, что для любого тензора второй валентности типа (2,0) или (0,2) или, на языке координат тензора B(ij) – симметричная часть тензора Bij, B[ij] – антисимметричная часть тензора Bij. Замечание. Понятие симметрирования и альтернации для смешанных тензоров второй валентности смысла не имеют, так как тензоры и и относятся к разным пространствам T11(n) и T11(n) соответственно.

3. Еще задачи 3.1. Показать, что, если тензор Sij симметричен, то Sij = S(ij). 3.2. Показать, что, если тензор Aij антисимметричен, то Aij = A[ij]. 3.3. Показать, что диагональные координаты любого антисимметричного тензора равны нулю: Aii = 0 3.4. Показать, что из n2 координат симметричного тен-зора только n(n+1)/2 оказываются линейно незави-симыми координатами, а антисимметричный тензор определяется n(n–1)/2 независимыми координатами

3. Внешнее произведение Антисимметричный ковариантный тензор Aij = –Aji можно представить в виде где называется внешним произведением базисных векторов.

3. Внешняя форма второго порядка Антисимметричный ковариантный тензор второй валентности называется внешней формой второй степени или внешней 2-формой. Не запрещено называть контравариантные антисимметричные тензоры также внешними 2-формами. Это будут билинейные антисимметрич-ные функционалы на V n. Их представляют в виде

3. Бивекторы Внешнее произведение векторов и изV n, называется бивектором или простым антисимметричным тензором. Векторы и называются делителями бивектора. Это определение может быть распространено и на ковариантные векторы и изV n: Упражнение. Найти число всех возможных линейно независимых бивекторов наV n (наV n)

3. Колинеарность векторов Векторы и называются колинеарными, если существует такое число , что Критерий колинеарности Векторы и колинеарны тогда и только тогда, когда их внешнее произведение равно нулю Примечание: здесь 0 – нулевой антисимметричный тензор валентности 2.

4. Свертка произвольного тензора второй валентности и вектора Для произвольного тензора можно говорить о левой и правой свертке с соответствующим (ко)вектором Задание. Дайте интерпретацию выписанным выражениям с точки зрения теории операторов

4. Ранг ковариантного тензора второй валентности Обозначим для краткости одной буквой B ковариантный тензор Рассмотрим этот тензор как оператор, переводящий векторы изV n в ковекторы изV n либо по правилу левого умножения (левой свертки), либо по правилу правого умножения (свертки) Множество всех возможных правых и левых образов оператора B образует подпространствоR (Bij) в сопряженном пространстве V n. Эти ковекторы называются ковекторами, ассоциирован-ными с тензором B. R (Bij) называется ранговым пространством тензора Bij. Размерность этого подпространства r = dimR (Bij) называется рангом тензора Bij.

4. Ранг произвольного тензора второй валентности Данное выше определение ранга ковариантного тензора второй валентности mutatis mutandis переносится на контравариантные и смешанные тензоры второй валентности. Упражнение. Сформулировать определения ранга 1) контравариантного тензора второй валентности 2) смешанного тензора 3) смешанного тензора Установите сходство и различия в определениях. Нужно ли говорить о разных понятиях ранга для смешанного тензора по каждому из индексов?

4. Теорема о ранге тензора второй валентности Ковариантный тензор B второй валентности ранга r может быть представлен в виде разложения по тензорным произведениям пар r линейно независимых базисных векторов изR (Bij) причем в этом разложении суммирование идет по каждому из индексов от 1 до r. Ранг тензора характеризует его инвариантные свойства, не зависящие от выбора базиса. Ранг тензора валентности 2 равен рангу представляющей его матрицы

4. Разложение антисимметричного тензора второй валентности на листы Антисимметричный тензор второй валентности называется простым, или однолистным, если он пропорционален некоторому бивектору. Разложение произвольного антисимметричного тензора второй валентности по бивекторам, составленным из базисных векторов опорного векторного пространства, можно представить как разложение на листы где , а r – ранг тензора. Минимальное чи-сло листов p, на которые может быть разложен антисимметричный тензор, определяется его свойствами и размерностью пространства. Упражнение. Показать, что при n = 2,3 все антисимметричные тензоры валентности 2 – однолистные

4. Значение билинейного функционала, как свертка по двум векторам Билинейная форма может рассматриваться как свертка: Аналогично Упражнение. Записать значения смешанных функционалов как свертку с векторами и ковекторами.

4. Свертки диад С помощью понятия свертки можно ввести понятие произведения диад, аналогичное произведению матриц, а именно При таком перемножении свертка диад (ко/контра)вариантных и (контра/ко)вариантных векторов превращается в смешанные диады. Упражнение: Построить остальные возможные виды диад и их свертки

4. Свертки тензоров второй валентности друг с другом Определение произведения со сверткой, сформули-рованное выше для диад, в силу линейности тензор-ного произведения переносится на произвольные тензоры: Упражнение. Выписать остальные возможные варианты сверток для всех типов тензоров второй валентности

4. След смешанного тензора второй валентности Рассмотрим смешанную диаду из T11 (n). Назовем следом диады линейный функционал, ставящий в соответствие диаде свертку составляющих ее векторов Очевидно, что Из линейности следа вытекает, что

4. След смешанного тензора второй валентности Аналогично определяется понятие следа тензора из T11 (n): Применяя операцию взятия следа к диадному произведению векторов, в частности, будем иметь Но в общем случае Показать, что

4. Полная свертка произведения тензоров второй валентности Если вычислить след от произведений то можно получить скаляры, являющиеся свертками тензоров второй валентности по двум индексам, или полными свертками

4. Полная свертка симметричного и антисимметричного тензоров второй валентности Задача. Показать, что полная свертка любого симметричного, Sij = Sji, и произвольного антисимметричного , Aij = – Aji, тензоров второй валентности тождественно равна нулю: SijAij = 0. Другое определение антисимметричного тензора: ковариантный тензор второй валентности называется антисимметричным, если для любого вектора выполняется условие

5. А если тензорно перемножить три вектора? Из любых трех векторов вV n можно построить трилинейное отображение (триаду), ставящее в соответствие любой упорядоченной тройке ковекторов изV n число (полная свертка) В некотором базисе

5. Различные линейные пространства тензоров третьей валентности Всего существует 8 различных произведений Следовательно, всего существует 8 типов линейных пространств тензоров валентности 3 над линейным пространствомV n и сопряженным к нему линейным пространствомV n: T3(n) – линейное пространство контравариантных тензоров 3-й валентности (тензоры типа (3,0)); T3(n) – линейное пространство ковариантных тензоров 3-й валентности (тензоры типа (0,3)); T12(n), T111(n), T21(n), T12(n), T111 (n), T21(n) – линейные пространства различных смешанных тензоров третьей валентности (тензоры типа (1,2) или (2,1)).

5. Координатное представление тензоров третьей валентности Тензоры 3 валентности различных типов могут быть представлены в виде разложений по базисам в соответствующих пространствах, а эти базисы могут быть представлены в виде тензорных произведений базисных векторов изV n иV n:

5. Законы преобразования координат тензоров третьей валентности При связанных друг с другом преобразованиях базиса в V n иV n Задача: выписать законы преобразования координат остальных тензоров третьей валентности

5. Транспонирование тензоров третьей валентности Операцию транспонирования, введенную выше для тензоров второй валентности, можно ввести и для тензоров третьей валентности следующим образом:

5. Циклическая и антициклическая перестановки Циклические перестановки 3 векторов в тройном тензорном произведении Антициклические перестановки получаются путем перестановки одной из пар векторов в каждой из циклических перестановок.

5. Полное симметрирование и антисимметрование триады Определим операцию полного симметрирования триады по трем векторам следующим образом: Аналогично определим операцию полного антисиммет-рирования триады по трем векторам: (1,2,3) – перестановка номеров векторов в произведении по порядку их следования,  = 1, – четность перестановки 

5. Полное симметрирование тензора третьей валентности Рассмотрим произвольный ковариантный тензор третьей валентности Полной симметричной частью этого тензора по трем векторам тензорного произведения называется тензор где

5. Полная антисимметризация тензора третьей валентности Рассмотрим произвольный ковариантный тензор третьей валентности Полной антисимметричной частью этого тензора по трем векторам тензорного произведения называет-ся тензор где

5. Выражение через симметричную и антисимметричную части Отметим, что Поэтому тензор третьей валентности в общем случае не раскладывается на полные симметричную и антисимметричную части. Задача. Найти все способы выражения величины Bijk через ее полные и частичные (по двум индексам) симметричную и антисимметричную части

5. Свертки тензоров третьей валентности с векторами Что мы можем записать Однако свертка со средним вектором в этих обозначе-ниях уже не поддается аналогичной записи без при-менения операции транспонирования, например,

5. Индексная форма – проще всего! Те же результаты гораздо проще записываются в индексной форме Bijkak, Bijkai, Bijkaj без употребления явной записи базиса с линейном пространстве, которому эти объекты принадлежат. При этом не требуется прибегать к операции транспонирования – все выглядит естественно.

5. Ранговое подпространство тензора третьей валентности Свертки с всевозможными диадами ковекторов Bijkajbk, Bijkaibk, Bijkaibj (*:^) образуют линейное подпространство вV n , называ-емое ранговым пространством R (Bijk) тензора Bijk. Размерность рангового подпространства r = dimR (Bijk) называется рангом тензора Bijk. Аналогичные определения mutatis mutandis могут быть сформулированы для других типов тензоров третьей валентности (сформулируйте!)

5. Свертки тензоров третьей валентности с тензорами второй валентности Прямая запись произведений тензоров третьей и второй валентностей со сверткой по близ(или не близ)лежащим индексам также громоздка, например, В то время как в индексной форме записи BijkDkm, DliBijk, и т.п.

6. Общее определение тензора Тензором типа (p,q) над линейным пространством V n называется элемент некоторого линейного пространства, образованного путем тензорного произведения p линейных пространствV n и q линейных пространствV n, одним из способов, например, такой, что при любом преобразовании базиса в V n иV n его координаты преобразуются по линейному однородному закону

6. Валентность тензора Например Порядок следования пространствV n иV n существен. Число p называется контравариантной валентностью тензора, а число q – ковариантной валентностью тензора; сумма p + q называется полной валентностью, или просто валентностью тензора.

6. Полилинейные формы Любой ковариантный тензор валентности q определяет полилинейную форму на векторах изV n: Аналогичное понятие полилинейной формы на ковекторах изV n можно ввести с помощью контравариантных тензоров. Упражнение. Сформулировать определение полилинейной формы на ковекторах

7. Допустимые операции над тензорами Операции, описываемые аксиомами линейного пространства: сложение тензоров, принадлежащих одному тензорному пространству, умножение тензора на число и свойства коммутативности и ассоциативности этих операций, а также их дистрибутивности по отношению друг к другу Инверсия (перестановка, в случае двух индексов – транспонирование) – образование новых тензоров из исходных путем перестановки индексов, например, Cijk = Bkji

7. Тензорное умножение и свертка Тензорным произведением тензоров типа (p1,q1) и (p2,q2) называется тензор типа (p1+p2,q1+ q2), например, Aijkl =CilBkj Порядок следования индексов в произведении может быть выбран произвольно с учетом операции инверсии. Сверткой тензора по контравариантному и ковариантному индексам называется сумма вида Ai…j…j…kl Каждая свертка уменьшает валентность тензора на 2.

7. Ранг тензора Всевозможные свертки тензора с векторами изV n и ковекторами изV n по всем индексам, кроме одного , приводят к понятию контравариантного, и ковариантного, ранговых подпространств тензора по контра-вариантному индексу is, либо по ковариантному индексу js соответственно. Размерности этих подпространств и определяют контра-вариантный по индексу is, , и ковариантный по индексу js, , ранги тензора соответственно.

7. Упражнения Записать тензорное произведение тензоров в прямой форме Предложить способ прямого (не индексного) обозначения свертки тензоров в произведении Привести примеры тензоров, имеющих различные контравариантный и ковариантный ранги.

7. Симметризация и альтернирование Симметризацией тензора по индексам i1,…,ip называется операция, ставящая в соответствие исходному тензору тензор Соответственно, альтернированием называется операция следующего вида где (i1,…,ip) – перестановка индексов i1,…,ip, t = 0, если перестановка четная, и t = 1,если перестановка нечетная

7. Упражнения Записать общее определение операций симметрирования и альтернирования в прямой форме Выписать в явном виде симметричную (антисимметричную) часть тензора третьей валентности через симметричные и/или антисимметричные части этого же тензора а)по первой паре индексов, б) по последней паре индексов, в) по первому и третьему индексам Указание: индексы, не участвующие в операции, выделяются вертикальными черточками:

7. Симметричные тензоры Тензор называется симметричным по индексам i1,…,ip, если перестановка любой пары индексов из данной совокупности не меняет значение тензора. Задача. Доказать, что тензор симметричен по индексам i1,…,ip тогда и только тогда, когда он совпадает со своей симметричной частью по этой совокупности индексов:

8. Антисимметричные тензоры Тензор называется антисимметричным (кососимметричным) по индексам j1,…,jq, если перестановка любой пары индексов из данной совокупности меняет знак тензора. Задача. Доказать, что если тензор антисимметричен по индексам j1,…,jq, то он совпадает со своей антисимметричной частью по этой совокупности индексов:

8. Число линейно независимых координат антисимметричного тензора валентности p Число линейно независимых координат анти-симметричного тензора валентности p в n–мерном пространстве равно числу сочетаний из n элементов по p: Выделенные тем или иным способом независимые координаты называются главными координатами тензора

8. Примеры 1. Тензор валентности 2 в n–мерном пространстве имеет n(n – 1)/2 линейно независимых координат 2.Тензор валентности n – 1 в n–мерном пространстве характеризуется совокупностью n независимых координат 3. Антисимметричные тензоры валентности n + 1 и выше в n–мерном пространстве тождественно равны нулю

8. Внешние формы произвольной степени p Ковариантные антисимметричные тензоры в прямой записи где При этом

8. Поливекторы и их делители Поливекторы определяются как простые антисимметричные тензоры, т.е. антисимметричные тензоры вида где – некоторые векторы изV n. Векторы называются делителями поливектора (p-вектора).

8. Разложение поливектора в базисе В некотором базисе координаты поливектора могут быть записаны следующим образом

8. Листы антисимметричного тензора Любой антисимметричный тензор может быть представлен в виде разложения по поливекторам, которые в этом случае называются его листами. Наименьшее число листов, на которые разлагается антисимметричный тензор, является инвариантной характеристикой антисимметричного тензора.

8. Критерии простоты (однолистности) Антисимметричный тензор будет простым тогда и только тогда, когда выполняется условие (J.A.Schouten) либо условие (R.Weitzenbök) либо условие (R.Weitzenbök, J.W.Givens) выполняется при любом нечетном 1< s < p, если выполняется условие

8. Некоторые задачи Покажите, что любой антисимметричный тензор валентности p и ранга p является p-вектором. Покажите, что антисимметричный тензор валентности n в n–мерном пространстве определяется единственным числом. Докажите, что этот тензор является простым, или однолистным, и поэтому может быть назван n-вектором.

8. Некоторые задачи Используя критерии простоты поливектора, покажите, что любой антисимметричный тензор валентности n – 1 в n-мерном пространстве является простым антисимметричным тензором, или (n – 1)-вектором. Т.е. существует n – 1 линейно независимых векторов , с помощью которых любой антисимметричный тензор валентности n – 1 может быть записан в виде

9. Контравариантные антисимметричные тензоры валентности n надV n Антисимметричные тензоры валентно-сти n в n-мерном пространстве определяются одним числом и являются n-векторами. В качестве такого числа в любом наперед заданном базисе можно выбрать координату При переходе к любому другому базису координаты n-вектора определяются значением и коэффициентами :

9. Контравариантные антисимметричные тензоры валентности n надV n Из всех ненулевых координат главной может быть взята лишь одна. Ее значение обозначим как где

9. Ковариантные антисимметричные тензоры валентности n надV n Аналогично для ковариантного антисимметричного тензора валентности n Поэтому главная координата антисимметричного тензора валентности n в новом базисе будет связана с единственной независимой координатой антисим-метричного тензора в старом базисе соотношением

9. Фундаментальные n-векторы Можно построить все возможные n-векторы над пространст-вомV n, путем умножения на любые числа из K некоторого n-вектора , имеющего в некотором наперед заданном базисе и главную координату Соответственно из всех ковариантных n-векторов (n-ковекторов) можно выбрать такой, что в сопряженном базисе и его главной координатой будет Тогда все остальные n-ковекторы могут быть получены умноже-нием на любые числа из K. Введенные таким образом n-векторы называются фундамен-тальными n-векторами относительно выделенного базиса.

9. Основное свойство фундаментальных n-векторов Можно проверить непосредственно, что независимо от выбора базиса, относительно которого определены фундаментальные n-векторы Величина называется альтернатором. При n = 1он совпадает с символом Кронекера.

9. Важное следствие В частности, Задание. Проверить данные соотношения для n = 3;4 и всех p  n.

9. Антисимметричные тензоры, дуальные друг к другу относительно выделенного базиса Каждому контравариантному антисимметричному тензору ва-лентности n – p с помощью фундаментального n-вектора поставить в соответствие некоторый антисимметричный тензор валентности p по правилу ($) а каждому ковариантному тензору валентности p – некоторый антисимметричный тензор валентности n – p с помощью фунда-ментального n-вектора (€) Тензоры, связанные друг с другом соотношениями ($) и (€), называются дуальными друг к другу относительно выделенного базиса

9. Дуальные друг к другу антисимметричные векторы и (n – 1)-векторы При p = 1, n – 1 из формул ($) и (€) можно получить связь между (n – 1)-(ко)вектором и (ко)вектором относительно выделенного базиса: Одно неудобно: привязка к конкретному базису в определении и , и, соответственно в определении дуальных величин.

10. -плотности Контравариантный и ковариантный n-векторы, опре-деляются одним числом, но они не изоморфны каким-то скалярам, поскольку это число зависит от выбора базиса. Скалярной -плотностью веса t называется величина м , отмечаемая индексом в снизу слева от коренной буквы, указывающим на базис, в котором первона-чально задается ее значение, и индексом сверху слева, обозначающим вес величины, такая, что при преобра-зовании базиса она преобразуется по закону

10. -плотности и n-векторы С точки зрения закона преобразования скаляр-ных - плотностей законы преобразования контравариантного и и ковариантного n-векторов показывают, что контравариантный n-вектор эквивалентен некоторой скалярной -плотности веса –1, а ковариантный n-вектор – скалярной -плотности веса +1.

10. Примеры -плотностей веса 2 Рассмотрим определители матриц, представляющих тензоры второй валентности, контравариантный, Bij, и ковариантный Dij в некотором базисе : В новом базисе Вычисляя определители тех же тензоров в новом базисе Найдем: т.е. определитель контравариантного тензора валентности 2 является скалярной -плотностью веса –2, , а определитель ковариант-ного тензора валентности 2 – скалярной -плотностью веса +2, .

10. Тензорные -плотности Тензорной -плотностью веса t называется величина, коорди-наты которой преобразуются закону Все тензорные плотности можно построить путем умножения тензоров на скалярные -плотности соответствующего веса. Тензорные -плотности нечетного веса могут быть получены путем умножения всех возможных тензоров на -плотности веса 1 в соответствующей степени, а тензорные плотности нечетного веса – путем умножения всех возможных тензоров на определитель какого-то из тензоров второй валентности в соответствующей степени. Сами тензоры можно рассматривать как тензорные -плотно-сти веса 0.

10. В частности: Контравариантный антисимметричный тензор валентности p имеет такой же закон преобразования при переходе от одного базиса к другому, как и некоторая ковариантная антисимметричная -плотность валентности n – p и веса –1, а ковариантный антисимметричный тензор валентности p при переходе от одного базиса к другому имеет такой же закон преобразования, как и некоторая контравариантная антисимметричная -плотность валентности n – p и веса +1

10. Скалярные плотности Рассмотрим определители мат-риц, представляющих контравариантный, Bij, и ковариант-ный, Dij, тензоры в некотором базисе . Выражения представляют собой величины, которые при преобразова-нии базиса преобразуются по закону Величины такого рода называются обычными скалярными плотностями, или просто скалярными плотностями.

10. Тензорные плотности Определение тензорной плотности веса t получается пу-тем замены в определении тензорной -плотности оп-ределителя  на его модуль : Чтобы отличать обозначения тензорных плотностей от тензорных -плотностей, левый нижний индекс у ко-ренной буквы, обозначающий фиксацию значений ко-ординат данной величины относительно определенного базиса или типа базисов, будем заключать под знак мо-дуля. Тензорные плотности четного веса не отличаются от тен-зорных -плотностей.

10. Псевдотензоры Произведение обычной скалярной плотности веса – 1 на скалярную -плотность веса +1, отнесенных к одному и тому же базису , дает величину, преобразующуюся по закону Величина с таким законом преобразования называется W-скаляром, или псевдоскаляром. Произведение тензора на псевдоскаляр дает псевдотензор.

10. Ориентация базиса Говорят, что базисы и имеют разную ориентацию, если Базисы называются со-риентированными, если  > 0. Отношение со-ориентированности разбивает все множество базисов на классы эквивалентности, которые называют базисами, имеющими правую и левую ориентации соответственно. Определение ориентации как правой или левой зависит от договоренности (см. ниже). Псевдотензоры и тензорные -плотности нечетного веса в отличие от тензоров и тензорных плотностей меняют знак при переходе между базисами, имеющими разную ориентацию.

10. Антисимметричные контравариантные плотности валентности n и веса +1 над V n Произведение произвольного контравариантного n-вектора и , изоморфного скалярной -плотности веса –1, на скалярную плотность веса +1, где и – определитель некоторого ковариантного тензора валент-ности 2 в базисе и , дает контравариантную антисимметричную плотность веса +1 валентности n, имею-щую в базисе и единственную независи-мую координату Следовательно, произвольная антисимметричная контравариантная плотность веса +1 валентности n изоморфна некоторому псевдоскаляру.

10. Антисимметричные ковариантные плотности валентности n и веса –1 над V n Произведение произвольного ковариантного n-вектора и , изоморфного скалярной -плотности веса +1, на скалярную плотность веса –1, где – определитель некоторого контравариантного тензора ва-лентности 2 в базисе и , дает антисиммет-ричную ковариантную плотность веса –1 валентности n, имеющую в любом другом базисе и единственную независимую координату Следовательно, произвольная антисимметричная ковариантная плотность веса –1 валентности n изоморфна некоторому псевдоскаляру.

10. Индифферентность антисимметричных плотностей валентности n и веса 1 надV n иV n В базисах одинаковой ориентации контравариантная антисимметричная тензорная плотность валентности n веса +1, так же, как и ковариантная тензорная плотность валентности n веса –1 определяются единственной координатой, значение которой не меняется при преобразовании базиса. Такие величины называются индифферентными относительно подгруппы преобразований базиса, не меняющих ориентацию. При переходе к базису другой ориентации знак координаты тензора меняется. Такие величины будем называть псевдоиндифферентными.

10. Претендент на критерий ориентации Среди всех возможных контравариантных антисимметрич-ных тензорных плотностей валентности n веса +1 существует такая, значение главной координаты которой во всех правых базисах равно +1, а во всех левых базисах – 1. Обозначим эту величину символом . Тогда все остальные контравариантные антисимметричные тензорные плотности валентности n веса +1 могут быть по-лучены путем умножения величины на любые числа из K. Можно ли считать знак координаты такой фундамен-тальной псевдоиндифферентной величины критери-ем, по которому определяется ориентация базиса?

10. Что правое, а что – левое? Нет! Левые базисы могут быть определены точно так же, так как среди всех возможных контравариантных антисимметричных тензорных плотностей валентно-сти n существует такая, единственная независимая координата которой равна +1 в левом базисе. Различие между правым и левым точно такое же, как и различие между положительным и отрицательным электрическими зарядами: оно относительное, но не абсолютное.

10. И все же фундаментальнее! Тем не менее, вместо истинного фундаментального n-вектора , определение которого привязано к некоторому базису , удобнее рассматривать фундаментальную антисимметричную тензорную плотность валентности n и веса +1. Эта величина не привязана к конкретному значению в некотором наперед заданном базисе, а имеет одина-ковые значения во всех базисах одинаковой ориента-ции, по модулю равные 1.

10. Фундаментальная ковариантная антисимметричная тензорная плотность Аналогичные рассуждения позволяют ввести вместо фундаментального ковариантного n-вектора понятие ковариантной антисимметричной тензорной плотно-сти валентности n и веса –1, главная координата которой, , имеет значение 1 в зависимости от выбора ориентации. По сравнению с фундаментальным n-вектором преимущество выбора такой величины в качестве фундаментальной позволяет не связывать ее значе-ния с конкретным базисом , а связывать лишь знак координаты с ориентацией.

10. Выбор знака у E1…n и e1…n Для тензоров над линейными пространствами не существует связи между значениями главных координат E1…n и e1…n. Поэтому всегда можно положить, что в правом базисе E1…n = 1, e1…n = 1 Тогда на эти величины распространяются те же самые выводы, что были ранее сделаны для фундаменталь-ных n-векторов

10. Дуальные антисимметричные величины С помощью фундаментальных антисимметричных тензорных плотностей можно установить соответствие (отождествление) антисимметричных тензоров валентности p и соответствующих плотностей валентности n – p без отнесения к конкретному базису: Обращение этих соотношений зависит от выбора знаков у и .

11. Действие линейных автоморфизмов на произвольные тензоры Представим действие на произвольный тензор левого автоморфизма по следующему правилу Тогда из записи разложений следует, что

11. Действие линейных автоморфизмов на произвольные тензоры Теперь рассмотрим действие на произвольный тензор правого автоморфизма по правилу Тогда, основываясь на записи разложений можно получить следующий закон преобразования:

11. Действие линейных автоморфизмов на n-векторы слева В частности, левый автоморфизм контравариантного n-вектора дает n-вектор Единственная независимая координата этого тензора Аналогично для ковариантного n-вектора с единственной независимой координатой

11. Действие линейных автоморфизмов на n-векторы справа Для действия правых автоморфизмов на n-векторы имеем: Откуда для единственных независимых координат получаем правила преобразования Как будем определять поведение скалярных -плот-ностей под действием автоморфизмов?

11. Скалярные -плотности относительно автоморфизмов Сначала надо договориться, что будем рассматривать лишь автоморфизмы, которые сохраняют неизменной (инвариантной) свертку: Тогда, обозначив можно задать поведение скалярной -плотности веса t отно-сительно левого и правого действия автоморфизма сле-дующим образом: И нет необходимости привязываться к конкретному базису!

11. Скалярные плотности и псевдоскаляры относительно автоморфизмов Аналогично определяются скалярные плотности и псевдоскаляры относительно автоморфизмов: левого правого

11. Образование тензорных плотностей и псевдотензоров Путем простого умножения скалярных -плотностей и просто плотностей на произвольные тензоры можно построить соответствующие типы тензорных плотностей с учетом направления действия линейного оператора – слева или справа. Аналогично строятся псевдотензорные величины. Определение таким образом -плотностей, просто плотностей и псевдотензоров не зависит от выбора базиса. Поэтому следует определение соответствующих величин относительно преобразования базисов и относительно автоморфизмов пространства.

11. Другие возможности задания действия линейных автоморфизмов на величины Если опираться только на индексную форму записи, то можно придумать и другие формы действия автомор-физмов – частичные: по одним индексам они левые, а по другим – правые. Такое определение действия линейных автоморфизмов на тензоры сложно реализовать в безындексной форме записи, так как надо указать, на какой именно базисный вектор оператор действует слева, а на какой справа, а на какой вообще не действует. А это требует введения соответствующих индексов Важно понять: в каких случаях могут возникать такого рода задачи?

12. Действие операторов и на тензоры Линейные операторы и отображают векторы в ковекторы и наоборот. В зависимости от направления действия (справа или слева) их можно описать с помощью двухвалентных тензоров с координатами

12. Действие операторов и на тензоры Определим действие операторов и на тензоры справа и слева аналогично действию автоморфизмов: для действия слева и для действия справа Тензоры и имеют тип (q,p), в то время как тензор T имеет тип (p,q).

12. Действие операторов и на тензоры Учтем, что Тогда выражения, связывающие координаты тензоров T и `T, будут иметь вид (£) (¥)

12. Действие операторов и на единичный тензор В частном случае, когда тензор T является единичным, т.е. в произвольном базисе имеет координаты, равные символам Кронекера, то из (£) и (¥) вытекает, что левым и правым образами единичного тензора будут ($$) ($$) В случае произвольных операторов величины и могут быть абсолютно любыми.

12. Первые фундаментальные операторы Из всех возможных операторов и выделим такие операторы и и , для которых т.е. относительно которых единичный тензор индифферентен. Тогда координаты этих операторов при действии слева и спра-ва представляются ковариантными и контравариантными тен-зорами , связанными между собой соотношениями (€€) Данные операторы называются левым и правым фундамен-тальными операторами, а тензоры, реализующие их в ко-нечномерных пространствах – левым и правым фундамен-тальными тензорами соответственно.

12. Основное свойство первых фундаментальных тензоров С помощью фундаментальных операторов и , по опре-делению, устанавливается левое и правое взаимно-одно-значные соответствия контра- и ковариантных величин, которые будем называть левоэквивалентностью и правоэквивалентностью величин по тензорам g и G. Из (£) и (¥) видно, что тензор типа (q,p) левоэквивален-тен тензору T типа (p,q) по тензорам g и G, если в любом базисе и, соответственно, тензор типа (q,p) правоэвивалентен тензору T типа (p,q) по тензорам g и G, если в любом базисе

12. Лево- и правоэквивалентные преобразования В силу (€€) лево- и правоэквивалентные преобразования сохраняют свертку векторов: и вообще сохраняют любую свертку

12. Лево- и правоэкививалентные n-векторы Рассмотрим произвольный контравариантный n-век-тор . Его левый образ относительно оператора имеет координаты а правый образ – координаты Отсюда для главных координат тензоров имеем: где

12. Лево- и правоэкививалентные n-векторы Аналогично левый образ произвольного ковариантно-го n-вектора относительно оператора имеет координаты а правый образ – координаты Тогда для главных координат тензоров имеем: где принято во внимание, что, согласно (€€)

Есть ли смысл вводить новые понятия плотностей и псевдовеличин? Есть ли смысл говорить о плотностях и псевдотензорах относительно лево- и правоэквивалентных преобразований? Видимо, нет, так как при этом меняется вариантность тензора: контравариантные индексы становятся ковариантными, и наоборот.

13. Полное отождествление ко- и контравариантных величин Из всех возможных лево-и правоэквивалентных преобразова-ний можно выделить такие, при которых левое и правое дей-ствия не отличаются по конечному результату: В этом случае не имеет смысла различать коренные буквы у операторов и , рассматривая их как один и тот же оператор, действующий слева и справа ТАКИМ ОБРАЗОМ, что: При этом условия вытекают друг из друга. Оператор и реализующий его тензор называются первым фундаментальным оператором и первым фундаменталь-ным тензором соответственно.

Особенности и новые возможности Комплексные линейные пространства

Комплексно сопряженные векторы Если линейное пространствоV n определено над полем комплексных чисел , то любой вектор в этом пространстве может быть представлен в виде где и – вещественные векторы, составляющие действительную и мнимую части вектора . Вектор, комплексно сопряженный к , колинеарен вектору тогда, и только тогда, когда вещественные векторы и колинеарны: и , либо один из этих векторов – нулевой.

Особенности комплексных линейных пространств Базисные векторы произвольного базиса комплексного линейного пространства , тоже, вообще говоря, комплексны и могут иметь в общем случае неколинеарные веществен-ную и мнимую части. В то же время, в любом комплексном линейном простран-стве базис может быть выбран чисто вещественным. В силу аксиомы размерности число векторов вещественного базиса должно быть равно числу векторов комплексного базиса и должно быть равно размерности пространства n.

Особенности комплексных линейных пространств Отсюда вытекает, что, если вещественные векторы и и линейно независимы, то они представляют собой различные вещественные базисы в комплекс-ном линейном пространстве. Но тогда среди n2 векто-ров вида будет только n линейно незави-симых векторов над полем комплексных чисел. Как их построить?

Особенности комплексных линейных пространств Первый способ. Производя разложения векторов и по некоторому наперед заданному вещественному базису , найдем, что любой комплексный базис может быть представлен в виде

Особенности комплексных линейных пространств По определению, можем записать

Особенности комплексных линейных пространств Но (***) где и – некоторые величины, подлежащие нахождению. Из (***) вытекает, что

Особенности комплексных линейных пространств При решении каждой из систем можно воспользовать-ся свойствами обратимости вещественных связываю-щих коэффициентов, что, например, из первой систе-мы для и приводит к соотношениям, из которых можно найти и в каждом конкретном случае.

Особенности комплексных линейных пространств – комплексно сопряженные базисы Применение операции комплексного сопряжения к этому базису эквивалентно преобразованию базиса Поэтому комплексно сопряженные базисные векторы образуют, вообще говоря, новый базис в комплексном линейном пространстве.

Особенности комплексных линейных пространств – второй способ задания базиса Второй способ. Рассмотрим некоторый вещественный базис Составим из его векторов всевозможные комплекс-ные линейные комбинации вида Всего можно построить n(n – 1)/2 таких линейных ком-бинаций. Из них достаточно выделить только n/2 линейно независимых. Соответствующие Комплексно сопряженные линейные комбинации дадут еще n/2 векторов до полного базиса.

Особенности комплексных линейных пространств – второй способ задания базиса Чтобы последовательно нумеровать координаты в этом базисе индексы, относящиеся к комплексно сопряженной части базиса обозначаются точной сверху: Разложение вектора в таком базисе можно пред-ставить в виде Если вектор веществен, то в таком комплексном базисе

Две возможности построения сопряженного пространства над полем комплексных чисел Первая возможность –V n: множество линейных функционалов наV n – реализована выше. Вторая возможность: рассмотреть множество всех антилинейных функционалов, т.е. функционалов , обладающих следующими свойствами: 1 2 Обозначим такое линейное пространствоV *n. Базис b , взаимный к , в нем можно реализовать, опре-делив свертку, как антилинейный функционал

Две возможности построения сопряженного пространства над полем комплексных чисел Чем будет отличаться пространствоV *n от простран-стваV n? Ничем! В том смысле, что они изоморфны. Просто базисы вV *n другим способом, нежели вV n сопряжены с соответствующими базисами вV n.

Две возможности построения сопряженного пространства над полем комплексных чисел Аналогично, любому базису вV n можно поста-вить во взаимно-однозначное соответствие его анти-линейный образ вV n: Если , то Пусть базис сопряжен к базису в смысле первого определения: . Тогда при условии

Две возможности определения Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов Скалярным произведением векторов называется функционал, обладающий следующими свойствами: а также удовлетворяющий одной из следующих групп свойств: Билинейная форма Антибилинейная форма

Скалярное произведение векторов Данное определение может быть реализовано с помощью любого ковариантного тензора второй валентности следующим образом: билинейная форма: антибилинейная форма: При этом тензор Bij не обязательно симметричен! Его координаты формально можно определить как скалярное произведение векторов базиса:

Скалярное произведение ковекторов Аналогично можно определить скалярное произведение ковекторов : и либо либо Билинейная форма Антибилинейная форма

Скалярное произведение ковекторов И это определение может быть реализовано с помощью произвольного контравариантного тензора второй валентности: билинейная форма: антибилинейная форма: на который также не накладываются условия симметричности или какие-либо другие условия. Координаты Cij можно также формально определить как скалярное произведение векторов базиса

Отождествление векторов вV n и V n . Первое определение свертки Чтобы совместить определения скалярного произве-дения векторов и ковекторов с первым определением свертки, необходимо принять во внимание определе-ние взаимности базисов и : Тогда из всех возможностей реализации скалярного произведения интерес представляют лишь те, которые позволяют отождествить векторы и ковекторы, т.е. при условии, что где gij – первый фундаментальный тензор.

Отождествление векторов вV n и V n . Первое определение свертки Поэтому определение скалярного произведения век-торов и соответствующего скалярного произведения ковекторов будет отождествлено с их сверткой тогда и только тогда, когда скалярное произведение векторов и ковекторов задано с помощью первого фундамен-тального тензора (*:*) При этом любому вектору ставится во взаимно од-нозначное соответствие левый ковектор с ко-ординатами , либо правый ковектор с координатами , которые при условиях (*:*) совпадают с координатами

Особенности в комплексных пространствах Если сопряженные базисы вV n построены на множест-ве антилинейных форм, то имеется дополнительная возможность построения скалярных произведений. Именно, если – базис вV n, антилинейно сопряжен-ный к базису вV n: , то свертка вектора и ковектора , определенная как антилинейная форма может быть записана как скалярное произведение второго типа

Метрический тензор в комплексных пространствах где вместо (*:*) имеем: Если на скалярное произведение векторов в комплексном пространстве наложить условие эрмитовости то на метрический тензор необходимо наложить условия В случае вещественных пространств они переходят в условия симметричности и, соответственно, отождествления правого и левого действия первого фундаментального оператора :

Вторая фундаментальная величина Фундаментальная антисимметричная тензорная плотность веса + 1 и валентности n, , и фундаментальная антисимметричная тензорная плотность веса – 1 и валентности n, , при опускании (подъеме) индексов переходят в свои ковариантный и контравариантный аналоги соответственно:

Псевдотензор Леви-Чивитта Поэтому можно ввести единый для всех случаев псевдотензор где при условии, что в правых базисах E1…n = 1, e1…n = = 1, одинаковый знак «+» в обеих формулах выбирает-ся в случае, когда сигнатура первого фундаментально-го тензора содержит четное число знаков «–», а в случае нечетного числа знаков «–» в его сигнатуре – выбираются разные знаки