Векторный и тензорный анализ Аффинные пространства Специальность 1-100

Векторный и тензорный анализ Аффинные пространства Специальность 1-100 01 01 Ядерная и радиационная безопасность 2010-2011 уч. г. Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им. А.Д. Сахарова» Факультет мониторинга окружающей среды

Основное определение Пусть X – множество элементов A, B, C…, которые назовем точками, аV n – некоторое линейное пространство над полем K. Поставим в соответствие каждой упо-рядоченной паре точек (A,B), которую в дальнейшем будем обозначать (A –начало, B – конец), некоторый вектор и таким образом, что

Основное определение Для любой точки A  X и любого вектора b существует единственная точка B, для которой Для любых трех точек A, B, C  X имеет место равенство (правило треугольника) Пара (X,V n) называется n-мерным аффинным пространством над полем чисел K и обозначается A n.

Следствия обратному вектору ставится в соответствие пара (B,A), обозначаемая как вектор ; для любого числа  K существует такая точка С, для которой вектору соответствует вектор

Обратить внимание! В аффинном пространстве элементами являются как сами точки A, B, C…, так и векторы , , и т.п. Отображение неоднозначно. Именно, существует бесконечное множество упорядоченных пар точек (A,B), (A,B),…, которым поставлен в соответствие один и тот же вектор .

Образ вектора в аффинном пространстве В аффинном пространстве вектор можно изобразить с помощью стрелочки Одному и тому же вектору отвечает бесконечное множество упорядоченных пар точек, изображающих начало и конец вектора. Тем не менее, будем писать , имея в виду, что есть одна из реализаций вектора в аффинном пространстве

Линейное пространство как аффинное пространство Элементы линейного пространства можно рассматривать как точки, а их разности – как векторы: Полученное пространство таких векторов вместе с точками будет иметь всю необходимую структуру аффинного пространства. При необходимости отличить его отV n мы его будем обозначатьV naff.

Kn – тоже аффинное пространство Упорядоченные наборы чисел (a1, a2,… an) также образуют линейное пространство Kn. Если их считать точками, а векторами считать разности (b1, b2,… bn) – (a1, a2,… an) то получим пространство Knaff.

Понятие прямой Прямой, проходящей через точку M0 в направлении вектора , называется множество точек M, для которых Вектор называется направляющим вектором прямой. Прямые называются параллельными, если они имеют колинеарные направляющие векторы и проходят через разные точки. Радиус-вектором точки M относительно точки O называется вектор

Параметрическое уравнение прямой Положение любой точки M в простран-стве относительно наперед заданной точки O можно задать посредством радиус-вектора . Любой вектор можно предста-вить в виде Тогда из определения прямой можно получить ее параметрическое уравнение

Параметрическое уравнение плоскости Если векторы и не колинеарны, то уравне-ние где  и  – произвольные числа из K , опреде-ляет двухмерную плоскость, проходящую че-рез точку с радиус-вектором . Система из n – 1 неколинеарных векторов описывает (n – 1)-мерную плоскость проходящую через точку с радиус-вектором и , которая называется гиперплоскостью

Аффинные координаты точек в A n Рассмотрим некоторый базис в V n . Для каждого базисного вектора можно определить прямую, проходящую через одну и т же точку O, как множество точек Mk, для которых Из точки O для каждого базиса исходит n таких прямых. Тогда радиус-вектор некоторой точки в аффинном пространстве можно представить в виде:

Уравнение прямой в аффинных координатах Пользуясь разложением радиус-вектора в некотором базисе , параметрическое урав-нение прямой можно свести к системе уравне-ний из которой, исключив параметр , можно полу-чить систему уравнений, называемую системой канонических уравнений прямой

Уравнение гиперплоскости в аффинных координатах Пользуясь разложением радиус-вектора в некотором базисе , параметрическое уравнение гиперплоскости можно свести к системе уравнений исключив из которой параметры 1, 2,…, n–1, можно получить одно уравнение, описываю-щее гиперплоскость. Оно будет иметь вид

Сопряженное аффинное пространство Аффинным пространством A n , сопряженным к аффинному пространству A n, называется пара (X,V n), где X – множество гиперплоско-стей в A n, аV n – линейное пространство, со-пряженное кV n; при этом: для каждой точки A из A n и каждого ковектора м уравнение описывает некоторую гиперплоскость A, проходящую через точку A; существует единственная гиперплоскость B, для которой упорядоченная пара