Векторное пространство ВЕКТОРЫ (множество векторов) { a, b, c, d, … } 1. Операция сложения векторов (коммутативная): a+b = b+a = c 2. Вспомогательная операция умножения вектора на число: a = a = d Правило: результат обеих операций — вектор, принадлежащий тому же множеству, что и исходные векторы
Условия ассоциативности (a + b) = a + b ( + ) a = a + а Линейные комбинации a + b + c +… = d СИНТЕЗ a + b + c +… d АНАЛИЗ d a + b + c +…
2 Н + 1 О Синтез: Н 2 О Анализ: Н 2 О 2 Н + 1 О Y 1 i + 2 j = R R j R = 1 i + 2 j j i X
Линейная оболочка 1 a + 1 b + 1 c = d 1 2 a + 2 b + 2 c = d 2 3 a + 3 b + 3 c = d 3 Линейная оболочка векторов a, b, c • • • • • • • • • • • • • • • • • • Всякая линейная оболочка представляет собой структуру — «векторное пространство» { a, b, c } — «базис» ВП Число векторов в базисе — «размерность» ВП
Двумерные подпространства a b c Трехмерное ВП
В любом ЛП существует не один базис, а бесконечно много эквивалентных между собой базисов (несмотря на то, что в такие наборы входят различные векторы, их линейные оболочки в точности совпадают и составляют одно и то же ЛП). Число векторов в любом базисном наборе одинаково Все ЛП одинаковой размерности изоморфны другу, т. е. для каждой размерности существует только одно ЛП (если абстрагироваться от физического смысла векторов)
Координатное представление векторов ВП — базис { е 1, е 2, …, еn } X = x 1 e 1 + x 2 e 2 + … + xn e n Y = y 1 e 1 + y 2 e 2 + … + yn e n Z = z 1 e 1 + z 2 e 2 + … + zn en • • • • • • • • • • X = ( x 1, x 2, … , x n ) Y = ( y 1, y 2, … , y n ) Z = ( z 1, z 2, … , zn ) Координатные представления векторов X, Y, Z относительно базиса { е 1, е 2, …, еn }
1. Всякому вектору Х соответствует набор чиселкоординат ( х1, х2, …, хn ) 2. Всякий упорядоченный набор чисел ( х1, х2, …, хn ) можно рассматривать как вектор Х X = ( x 1, x 2, … , x n ) Вектор-строка (ковариантный вектор) Х Х транспонирование X = x 1 x 2 … xn Вектор-столбец (контравариантный вектор)
Выполнение вычислений с векторами
Домашнее задание Задача 2. 1. Даны три вектора: R 1 = ( 5 , – 3 , – 5 , 0 ) R 2 = ( 3 , 2 , 0 , – 4 , – 1 ) R 3 = ( – 1 , 2, 3, 4 , – 5 ) Вычислить координаты вектора S, являющегося линейной комбинацией заданных векторов: S = R 1 + R 2 + R 3
Скалярное умножение векторов вектор-строка = (x, y) = x y = x | y Скалярное произведение (число) вектор-столбец «свертка»
Скалярный квадрат Х Х = (xi xi) = (xi)2 = |X| 2 | X | — модуль (норма) вектора Х Нормировка векторов X = ( x 1, x 2, … , xn ) |X| ≠ 1 Обычный (ненормированный) вектор ~ X = x 1 x 2 |X| Нормированный вектор • • • xn |X| ~ |X| = 1
Луч — совокупность векторов, различающихся только длиной (модулем, нормой). {k X} где k — любое число, а X — нормированный вектор Домашнее задание Задача 2. 2. Нормировать вектор S, полученный при решении задачи 2. 1. 1) вычислить модуль вектора S, ~ 2) вычислить координаты нормированного вектора S.
Взаимная ориентация векторов — «угол» между векторами X и Y X X Y Y = 0 = 90 o = 180 o X Y = 1 X Y = 0 X Y = – 1
X X Y Y = (0 – 90 ) X Y = (1 – 0) = (90 – 180 ) X Y = (0 – -1) X X • Y Y X • Y Скалярное произведение — величина проекции одного из двух нормированных векторов на другой
Домашнее задание Задача 2. 3. Вычислить (в градусах) величины углов между вектором S (см. задачу 2. 2. ) и исходными векторами (см. задачу 2. 1. ): (S, R 1) = ? (S, R 2) = ? (S, R 3) = ?
Дополнение 1. Комплексные векторы Z = ( z 1, z 2, … , zn ) Комплексные числа Z | = ( z 1, z 2, … , zn ) бра-вектор Z| = |Z + Z (z 1)* (z 2)* … (zn)* |Z = Z| Эрмитово-сопряженные векторы = |Z кет-вектор +
Дополнение 2. Функциональные представления векторов X = ( x 1, x 2, … , xn ), где n = 1 000 000 xi X = sin(k i ) = sin( ) Волновые функции i Скалярное умножение ψ|φ = ψ( ) φ*( ) d
Скачать презентацию Векторное пространство ВЕКТОРЫ множество векторов a b
02. Векторы.pptx