Векторное пространство 1 ВЕКТОРЫ множество векторов a

Векторное пространство 1. ВЕКТОРЫ (множество векторов) { a, b, c, d, … } 2. Операция «сложения» (коммутативная): a+b = b+a = c 3. Вспомогательная операция «умножения на число» : a = a = d Правило: результат обеих операций — вектор, принадлежащий тому же множеству, что и исходные векторы

Условия ассоциативности (a + b) = a + b ( + ) a = a + а Линейные комбинации a + b + c +… = d СИНТЕЗ a + b + c +… d АНАЛИЗ d a + b + c +…

2 Н + 1 О Синтез: Н 2 О Анализ: Н 2 О 2 Н + 1 О Y 1 i + 2 j = R R j R = 1 i + 2 j j i X

Линейная оболочка 1 a + 1 b + 1 c = d 1 2 a + 2 b + 2 c = d 2 3 a + 3 b + 3 c = d 3 Линейная оболочка векторов a, b, c • • • • • • • • • • • • • • • • • • Всякая линейная оболочка представляет собой структуру — «векторное пространство» { a, b, c } — «базис» ВП Число векторов в базисе — «размерность» ВП

Двумерные подпространства a b c Трехмерное ВП

В любом ВП существует не один базис, а бесконечно много эквивалентных между собой базисов (несмотря на то, что в такие наборы входят различные векторы, их линейные оболочки в точности совпадают и составляют одно и то же ВП). Число векторов в любом базисном наборе одинаково Все ВП одинаковой размерности изоморфны другу, т. е. для каждой размерности существует только одно ВП (если абстрагироваться от физического смысла векторов)

pz n(NH 3) n(N 2) py px n(H 2) Трехмерное ВП импульсов Трехмерное ВП смесей «H 2 – NH 3» Два экземпляра одного и того же абстрактного трехмерного ВП

Координатное представление векторов ВП → базис { е 1, е 2, …, еn } X = x 1 e 1 + x 2 e 2 + … + xn e n Y = y 1 e 1 + y 2 e 2 + … + yn e n Z = z 1 e 1 + z 2 e 2 + … + zn en • • • • • • • • • • X = ( x 1, x 2, … , x n ) Y = ( y 1, y 2, … , y n ) Z = ( z 1, z 2, … , zn ) Координатные представления векторов X, Y, Z относительно базиса { е 1, е 2, …, еn }

1. Всякому вектору Х соответствует набор чиселкоординат ( х1, х2, …, хn ) 2. Всякий упорядоченный набор чисел ( х1, х2, …, хn ) можно рассматривать как вектор Х X = ( x 1, x 2, … , x n ) Вектор-строка (ковариантный вектор) Х Х транспонирование X = x 1 x 2 … xn Вектор-столбец (контравариантный вектор)

Выполнение вычислений с векторами

Домашнее задание Задача 2. 1. Даны три вектора: R 1 = ( 5 , – 3 , – 5 , 0 ) R 2 = ( 3 , 2 , 0 , – 4 , – 1 ) R 3 = ( – 1 , 2, 3, 4 , – 5 ) Вычислить координаты вектора S, являющегося линейной комбинацией заданных векторов: S = R 1 + R 2 + R 3

Скалярное умножение векторов вектор-строка = (x, y) = x y = x | y Скалярное произведение (число) вектор-столбец «свертка»

Скалярный квадрат Х Х = (xi xi) = (xi)2 = |X| 2 | X | — модуль (норма) вектора Х Нормировка векторов X = ( x 1, x 2, … , xn ) |X| ≠ 1 Обычный (ненормированный) вектор ~ X = x 1 x 2 |X| Нормированный вектор • • • xn |X| ~ |X| = 1

Луч — совокупность векторов, различающихся только длиной (модулем, нормой). {k X} где k — любое число, а X — нормированный вектор Домашнее задание Задача 2. 2. Нормировать вектор S, полученный при решении задачи 2. 1. 1) вычислить модуль вектора S, ~ 2) вычислить координаты нормированного вектора S.

Взаимная ориентация векторов — «угол» между векторами X и Y X X Y Y = 0 = 90 o = 180 o X Y = 1 X Y = 0 X Y = – 1

X X Y Y = (0 – 90 ) X Y = (1 – 0) = (90 – 180 ) X Y = (0 – -1) X X • Y Y X • Y Скалярное произведение — величина проекции одного из двух нормированных векторов на другой

Домашнее задание Задача 2. 3. Вычислить (в градусах) величины углов между вектором S (см. задачу 2. 2. ) и исходными векторами (см. задачу 2. 1. ): (S, R 1) = ? (S, R 2) = ? (S, R 3) = ?

Дополнение 1. Комплексные векторы Z = ( z 1, z 2, … , zn ) Комплексные числа Z | = ( z 1, z 2, … , zn ) бра-вектор Z| = |Z + Z (z 1)* (z 2)* … (zn)* |Z = Z| Эрмитово-сопряженные векторы = |Z кет-вектор +

Дополнение 2. Функциональные представления векторов X = ( x 1, x 2, … , xn ), где n = 1 000 000 xi X = sin(k i ) = sin( ) Волновые функции i Скалярное умножение ψ|φ = ψ( ) φ*( ) d