ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Скалярные и векторные величины Определение

ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Скалярные и векторные величины Определение: Скаляр – математическая величина, которая полностью определяется числовым значением, выражающим её отношение к соответствующей единице измерения. Примеры: масса, температура, площадь. Вектор – математическая величина, задаваемая числовым значением и направлением в пространстве. Примеры: сила, скорость, ускорение.

Геометрические векторы Определение: Геометрический вектор – направленный отрезок АВ с началом в точке А и концом в точке В. Геометрический вектор характеризуется модулем, или длиной: и направлением: где угол кратчайшего поворота до совмещения.

Свойства геометрических векторов Свойства: 1) нулевой вектор 2) противоположный вектор или 3) единичный вектор 4) равные векторы

Свойства геометрических векторов Определение 1: Векторы называются коллинеарными, если они принадлежат одной прямой или параллельным прямым. Определение 2: Компланарные векторы – это векторы, принадлежащие одной или нескольким параллельным плоскостям.

Линейные операции над векторами Сложение: называется вектор Суммой двух векторов проведённый из начала вектора если конец вектора к концу вектора и начало вектора совмещены.

Линейные операции над векторами Сложение (следствия): 1) правило «параллелограмма»

Линейные операции над векторами Сложение нескольких векторов: 2) сумма конечного числа векторов называется вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего вектора при условии, что векторы расположены последовательно, то есть начало каждого следующего вектора совмещено с концом предыдущего.

Линейные операции над векторами Свойства операции сложения: 1) Коммутативность (перестановочность) 2) Ассоциативность (сочетательность) 3) существование нулевого вектора 4) существование противоположного вектора

Линейные операции над векторами Умножение на действительное число: Произведением вектора называется вектор на действительное число модуль которого равен а направление определяется так:

Линейные операции над векторами Свойства операции умножения на действительное число: 1) ассоциативность 2) умножение на единицу 3) Дистрибутивность (распределительность) 4) дистрибутивность

Ортонормированный базис Определение: Ортонормированный базис – максимальная совокупность перпендикулярных другу единичных векторов, через которые выражается любой другой вектор в виде линейной комбинации. Ортонормированный базис на прямой – единичный вектор на этой прямой. Ортонормированный базис на плоскости – два перпендикулярных другу единичных вектора этой плоскости. Ортонормированный базис в трёхмерном пространстве – три перпендикулярных другу единичных вектора этого пространства.

Представление вектора в ортонормированном базисе Теорема: Представление любого вектора через ортонормированный базис единственно. Разложение вектора по (орт. ) базису на плоскости: координаты вектора в базисе

Линейные операции над векторами Рассмотрим два вектора, представленные в (орт. ) базисе Сложение: Найдём сумму векторов Применим свойства линейных операций над векторами: Следовательно, чтобы сложить два вектора, нужно сложить их соответствующие координаты.

Линейные операции над векторами Рассмотрим вектор, представленный в базисе Умножение на действительное число: Умножим этот вектор на число Применим свойства линейных операций над векторами: Следовательно, чтобы умножить вектор на число, нужно умножить его координаты на это число.

Коллинеарные векторы Теорема: У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. Доказательство: Имеем на плоскости