Скачать презентацию ВЕКТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРЫ Векторы Основные определения n
Векторы.ppt
- Количество слайдов: 39
ВЕКТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРЫ
Векторы. Основные определения. n Величина, определяемая заданием своего численного значения и направления, называется векторной величиной.
Векторы. Основные определения. n n n Расстояние между началом и концом вектора называется длиной вектора или его модулем. Модуль вектора обозначается символами Вектор, начало которого совпадает с его концом, называется нулевым и обозначается. Нулевой вектор не имеет определенного направления и. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором.
Векторы. Основные определения. n n Векторы, расположенные на одной прямой или параллельных прямых, называются коллинеарными. Векторы, расположенные на одной плоскости или на параллельных плоскостях, называются компланарными.
Векторы. Основные определения. n Два вектора и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковую длину.
Векторы. Основные определения. n Вектор - называется противоположным вектором для вектора , если он ему коллинеарен, имеет одинаковую с ним длину, но направлен в противоположную сторону.
Линейные операции над векторами n Суммой векторов а и b называется третий вектор c = a + b, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец – с концом вектора b, при условии, что начало вектора b приложено к концу вектора a
Линейные операции над векторами Правило параллелограмма
Линейные операции над векторами n Разностью векторов a-b называется сумма вектора a с вектором, противоположным b.
Линейные операции над векторами n На практике пользуются правилом треугольника
Линейные операции над векторами n Пусть даны вектор a и число l. Произведением вектора a на число называется вектор l a, коллинеарный вектору a, имеющий длину |l||a| и то же направление, что и вектор a, если l>0, и противоположное направление, если l<0.
Линейные операции над векторами n Примеры произведения вектора на число.
Угол между векторами. Проекция вектора на ось n Углом между векторами a и b называется наименьший угол , на который нужно повернуть один из заданных векторов до его совпадения со вторым
Угол между векторами. Проекция вектора на ось n Проекцией вектора на ось l называется длина вектора по этой оси, если направлен в ту же сторону, что и ось l; и равен длине вектора , взятой со знаком минус, если и ось l имеют разные направления. Проекция вектора на ось обозначается в виде.
Угол между векторами. Проекция вектора на ось n Теорема. Проекция вектора на ось равна модулю вектора , умноженному на косинус угла между вектором и осью:
Линейная комбинация векторов. Базис. n Пусть заданы векторы. Выражение вида и числа называется линейной комбинацией векторов.
Линейная комбинация векторов. Базис. Рассмотрим особый случай, когда Если равенство возможно только при всех , равных нулю, то векторы называются линейно независимыми. Если же в этом равенстве хотя бы одно значение равно нулю, то векторы называются линейно зависимыми.
Линейная комбинация векторов. Базис. n n Если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Если хотя бы один вектор является линейной комбинацией других векторов, то вся группа векторов линейно зависима.
Линейная комбинация векторов. Базис. Любая группа, составленная из максимального числа линейно независимых векторов некоторого пространства , называется базисом этого пространства. Число векторов базиса называется размерностью пространства.
Линейная комбинация векторов. Базис. n Так, базисом на прямой (пространство ) является любой ненулевой вектор этой прямой. Размерность прямой равна единице. Базисом на плоскости (пространство ) являются любые два неколлинеарных вектора этой плоскости. Размерность плоскости равна двум. Базисом в объемном пространстве (пространство ) являются любые три некомпланарные вектора. Размерность этого пространства равна трем.
Линейная комбинация векторов. Базис. n n Пусть векторы образуют базис. Тогда любой вектор этого пространства является линейной комбинацией базисных векторов, то есть Такое представление вектора называется разложением этого вектора по базисным векторам. Числа называются координатами вектора по базису. Этот факт записывается в виде
Линейная комбинация векторов. Базис. n Совокупность точки О и взаимно ортогональных единичных векторов называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.
Линейная комбинация векторов. Базис. n вектор можно разложить по этому базису:
Линейная комбинация векторов. Базис. Обозначим через углы между вектором и соответствующими осями координат. Тогда из прямоугольных треугольников получим направляющие косинусы вектора
Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме Тогда Условие коллинеарности двух векторов
Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме Ортом вектора называется вектор единичной длины, сонаправленный с Координатами орта являются направляющие косинусы вектора n .
Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме. Расстояние между двумя точками
Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме. Задача деления отрезка в данном отношении
Скалярное произведение векторов n Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов n 1) 2) 3) 4) Свойства скалярного произведения векторов:
Скалярное произведение векторов Пусть векторы заданы своими координатами Тогда
Скалярное произведение векторов Следствие 1. условие перпендикулярности двух векторов; Следствие 2.
Векторное произведение векторов Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий условиям: 1) длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т. е. n 2) вектор c перпендикулярен обоим векторам a и b; 3) вектор c направлен в ту сторону, что если смотреть из его конца вдоль вектора, то кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден совершающимся против движения часовой стрелки.
Векторное произведение векторов n Свойства векторного произведения: 1) n 2) n 3) n 4) n 5) n , если или хотя бы один из векторов нулевой;
Векторное произведение векторов Пусть Тогда
Смешанное произведение векторов Пусть даны три вектора. Смешанным произведением этих векторов называется скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов :
Смешанное произведение векторов n Пусть n Тогда
Смешанное произведение векторов n геометрический смысл смешанного произведения модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах.
Смешанное произведение векторов Условие компланарности трех векторов. Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю, т. е. n