ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Выполнила студентка 1 курса Бисембина Диана
Понятие вектора В геометрическом смысле вектор — это направленный отрезок, обычно определяемый точками своего начала и конца. В физическом смысле под векторами обычно понимаются величины, имеющие направление в трёхмерном пространстве. Вектор обозначается графически отрезком прямой, на котором ставится стрелка, указывающая направление вектора (см. рисунок). Длина вектора – длина отрезка, отображающая вектор | |.
История возникновения векторной алгебры Считается, что у истоков будущего векторного исчисления стояли английский математик У. Гамильтон (1805 – 1865) и немецкий математик Г. Грассман (1809 – 1877). Эти ученые занимались разработкой теории исчисления кватернионов, которое впоследствии было преобразовано в векторное исчисление.
Отцом векторного исчисления считают Джусто Беллавитиса (1803 – 1880). Представление о состоянии векторного исчисления в 1900 г. дает «Курс физики» Г. А. Лоренца. В векторном исчислении использовались операции сложения вычитания и проектирования векторов на прямые или плоскости. Считается, что Марколонго Р. (Париж, 1910) написал первый курс механики в векторном изложении» .
Основные определения Вектор, модуль которого называется нулевым, обозначается . равен нулю, Векторы, расположенные на параллельных прямых или на одной прямой называются коллинеарными. Если два коллинеарных вектора имеют одинаковое направление, то они называются сонаправленными. Два вектора считаются равными, если они сонаправлены и равны по модулю.
Действия над векторами 1. Сложение векторов Сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника. Правило треугольника. Для сложения двух векторов по правилу треугольника оба вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора.
Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов по правилу параллелограмма оба вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.
2. Умножение вектора на число Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор, , длина которого равна, , причем векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при k < 0. Свойства операций сложения векторов и умножения вектора на число:
3. Вычитание векторов Чтобы из вектора вычесть вектор надо к вектору прибавить вектор, противоположный вектору. Полученный в результате этой операции вектор и будет являться разностью векторов и . Таким образом, = − = + (− )
4. Скалярное произведение Скалярным произведением векторов и называют число, равное , где — угол между векторами и . Обозначения: или . Если один из векторов является нулевым, то несмотря на то, что угол не определён, произведение равно нулю. Свойства скалярного произведения векторов: 1) 2) 3) 4)
5. Векторное произведение Векторным произведением на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям: vдлина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла φ между ними vвектор ортогонален каждому из векторов и vвектор направлен так, что тройка векторов , , является правой. [ ij ] = k, [ jk ] = i, [ ki ] = j i. i = j. j = k. k = 1
Геометрический смысл векторного произведения Модуль векторного произведение равен площади параллелограмма, построенного на векторах . Свойства векторного произведения: Векторное произведение векторов в ортонормированном базисе Если векторы a и b заданы в базисе i, j, k координатами a (a 1, a 2, a 3 ), b (b 1, b 2, b 3 ), то
6. Смешанное произведение векторов Если векторное произведение двух векторов скалярно умножается на третий вектор, то такое произведение называется смешанным произведением. Свойства смешанного произведения: 1)Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. . 2) При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т. е. . 3) Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов : =0. 4) Если один из векторов равен 0, то произведение равно 0. 5) Если какие-либо два вектора коллинеарны, то произведение равно 0.
Скачать презентацию ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Выполнила студентка 1 курса Бисембина Диана
векторы Бисембина.ppt