ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Вектор направленный отрезок с началом

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Вектор: направленный отрезок, с началом в точке A, а концом – в точке B. B A Длина (модуль) вектора : длина отрезка AB Нулевой вектор: начало и конец его совпадают; он не имеет направления, его длина равна нулю Единичный вектор : длина равна единице в выбранном масштабе

Cвободные: векторы, которые можно переносить параллельно самим себе и откладывать от произвольной точки Коллинеарные: векторы параллельные одной и той же прямой Сонаправленые (противоположно направленые): векторы, направления которых совпадают (противоположны) Компланарные: векторы параллельные одной и той же плоскости

Орт вектора : вектор единичной длины, сонаправленный с вектором Угол между векторами: наименьший угол между лучами, на которых они лежат Ортогональные: векторы, направления которых взаимно перпендикулярны

Линейные операции c векторами 1. Сложение векторов Свойства операции сложения векторов: 1. 2. 3. 4. ( коммутативность) (ассоциативность) (поглощение нуля)

2. Вычитание векторов 3. При умножении вектора на число его длина умножается на это число, а направление либо сохраняется, либо меняется на противоположное.

Свойства операции умножения вектора на число: 1. ( коммутативность) 2. (дистрибутивность) 3. (умножение на единицу) 4. (умножение на ноль)

Ось: прямая, на которой выбрано направление, зафиксирована точка (начало) и указан масштаб измерения длин

Проекция вектора на ненулевой вектор : проекция на любую ось, одинаково направленную с Свойства проекций

Линейная зависимость и независимость векторов Линейная комбинация системы векторов : - числа (коэффициенты) Линейно зависимая система векторов: равенство верно, когда хотя бы один коэффициент не равен нулю Линейно независимая система векторов: равенство возможно только при

Теорема (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов) Система векторов линейно зависима, тогда и только тогда, когда хотя бы один из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных Следствия: 1. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны 3. Четыре и более вектора всегда линейно зависимы

Например:

Базис векторов на плоскости и в пространстве Базис на плоскости: упорядоченная пара неколлинеарных векторов , отложенных от одной точки Базис в пространстве: упорядоченная тройка некомпланарных векторов , отложенных от одной точки

Теорема. Если на плоскости выбран некоторый базис , то каждый вектор этой плоскости может быть однозначно представлен в виде: -разложение вектора по базису векторов -координаты вектора в данном базисе Ортонормированный базис: все образующие его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину

Декартова прямоугольная система координат Z О Y X -декартовы прямоугольные координаты вектора относительно данной системы координат

Операции над векторами в координатной форме Координатный признак коллинеарности векторов:

Пример. Пусть координаты вектора , Пример. При каком значении векторы и . Найти коллинеарны.

Скалярное произведение векторов Скалярное произведение ненулевых векторов и : Свойства: -признак ортогональности

-переместительное -сочетательное -распределительное

Пример. Вычислить, если

Пример. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и

Пример. Даны координаты вершин треугольника А(1, 2, 3), В(3, 3, 0), С(4, 6, 3). Определить проекцию стороны АВ на основание B треугольника АС. A C

Пример. Определить значения х, при которых длина вектора равна 5

Пример. При каком значении m векторы перпендикулярны другу?

Пример. Найти вектор длиной ортогональный векторам и и образующий тупой угол с осью OZ.

Векторное произведение векторов Векторное произведение вектора неколлинеарный ему вектор : 3) «правая» тройка. на

Свойства -признак коллинеарности S -сочетательное -распределительное

Пример. Упростить:

Пример. Даны координаты вершин треугольника А(2, -1, 3), В(1, 1, 1), С(5, -2, 5). Найти его площадь. B A C

Пример. На неизвестном векторе и векторе построен прямоугольник. Найти вектор и площадь прямоугольника

Смешанное произведение векторов Смешанное произведение упорядоченной тройки векторов : число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов.

Свойства -признак компланарности

Пример. Доказать, что векторы не могут быть компланарными ни при каком

Пример. Даны три вектора Найти объем треугольной построенной на этих векторах пирамиды,

Пример. Параллелепипед построен на векторах Найти длину высоты, опущенной из конца вектора на плоскость векторов и h

Пример. Определить ориентацию тройки векторов (правая или левая): Тройка левая

СПАСИБО за ВНИМАНИЕ! ДО СВИДАНИЯ!