Векторная алгебра Основные понятия
Учебники 1. А. В. Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии. 2. Г. Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. 3. М. Л. Каган, М. В. Самохин. Математика в инженерном вузе. Алгебра и геометрия. 4. Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Том I.
Основные понятия Математическая величина Скалярная величина Векторная величина (характеризуется численным значением) (Характеризуется численным значением и направлением)
• Определение 1. • Вектором называется отрезок, имеющий определенную длину и направление. В А • Определение 2. • Модулем вектора (длиной вектора) называется длина отрезка : Обозначения:
Основные понятия • - вектор, у которого начало и конец совпадают. • Определение 3. • Коллинеарными называются векторы, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Определение 4. Углом между векторами называется наименьший угол, на который надо повернуть один из векторов, чтобы их направления совпали. Обозначение:
Сонаправлеными называются коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление. Обозначение: Противоположно направлеными называются коллинеарные векторы, имеющие противоположные направления. Обозначение:
понятия • Определение 5. • • • Два вектора называются равными, если они коллинеарные, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. • • Следствие. При параллельном переносе получаются равные векторы.
Основные понятия • Определение 6. • • • Два вектора называются противоположными, если они коллинеарные, имеют одинаковую длину и противоположное направление. • Определение 7. • • • Компланарными называются векторы, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. • Замечание. Два вектора в одной плоскости всегда компланарны.
Операции с векторами • Сумма векторов. • 1. (правило треугольника). • • Пусть начало второго вектора совпадает с концом первого. Тогда вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов.
Операции с векторами • Сумма векторов. • 2. (правило параллелограмма). • • Пусть начала первого и второго векторов совпадают. Построим на этих векторах параллелограмм. Тогда вектор, совпадающий с диагональю, проходящей через общее начало, называется суммой этих векторов.
Операции с векторами • Разность векторов. • Определение 1. • Разностью векторов • такой вектор • называется , что сумма Определение 2. • Пусть начала первого и второго векторов • совпадают. • Тогда разностью векторов называется • вектор, соединяющий их концы • и направленный из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.
Операции с векторами • Произведение вектора на число. • Определение. • Произведением вектора • вектор • коллинеарный вектору • равный по модулю • направленный при • и в противоположную сторону, если на число называется , , , в ту же сторону, что и. ,
Орт вектора - это единичный вектор, сонаправленный с вектором. • Орт вектора обозначается • Согласно этому определению: . или
Операции с векторами • Пример. • • Задан вектор Построение : , . Построить векторы
Теорема. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов Для того, чтобы два вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы один из них мог быть представлен в виде произведения некоторого числа на другой вектор, т. е. (или ).
В этой теореме мы должны доказать два признака: один из них является необходимым для данного утверждения, а другой – достаточным. Что это значит? Пусть имеется некоторое утверждение и какой-либо признак для проверки справедливости этого утверждения. Если из справедливости данного утверждения следует выполнение признака, то такой признак называется необходимым для данного утверждения.
Если же наоборот – из выполнения признака следует справедливость утверждения, то такой признак называется достаточным для данного утверждения. Признак может быть только необходимым, или только достаточным, или одновременно и достаточным и необходимым.
Доказательство теоремы о необходимом и достаточном условии коллинеарности двух векторов разобьем на две части. 1. Докажем необходимость. Если один из векторов, например, то (при ) и теорема доказана. Пусть векторы коллинеарны, Докажем, что существует действительное число такое, что.
Рассмотрим орты векторов а) Если векторы сонаправлены, то или Обозначив , получим : , т. е. . . Заметим, что
б) Если векторы то Обозначив направлены противоположно, т. е. или , получим . . Заметим. что в этом случае Таким образом, если векторы коллинеарны, то
Основные свойства операций над векторами • • • 1. 2. 3. 4. 5. 6. • Самостоятельно доказать свойства 1, 3 -6.
Доказательство свойства № 2 • Рассмотрим три вектора :
Базисом на плоскости называются любые два неколлинеарных вектора в этой плоскости.
Разложение векторов по базису на плоскости. • Теорема 1. • Пусть векторы • Тогда найдутся такие постоянные • что • Такое разложение единственное. • Доказательство. и - неколлинеарные, - компланарные. и ,
• • Единственность. Предположим : (хотя бы одно из неравенств и выполнено) • Пусть (противоречие)
Разложение векторов в пространстве • Теорема 2. • Пусть векторы • Тогда найдутся такие постоянные • что любой вектор • в виде • (разложить по векторам • Такое разложение единственное. - некомпланарные. , можно записать Д. з. Самостоятельно построить чертеж и получить разложение ).
Разложение векторов в прямоугольной системе координат • Рассмотрим прямоугольную систему координат. z Векторы -единичные (орты), направленные по осям x, y, z (соответственно) Определение 2. 0 y x Тройка векторов называется ортонормированным базисом в пространстве. • Теорема 3. • В пространстве любой вектор ортонормированному базису • Такое разложение единственное. можно разложить по :
Координаты вектора • Определение 3. • Коэффициенты x, y, z разложения • называются прямоугольными координатами • вектора : • Частный случай. • Если вектор • то разложение будет иметь вид • Коэффициенты х, у называются прямоугольными координатами • вектора на плоскости : расположен на координатной плоскости хоу,
Проекции вектора • Рассмотрим вектор и ось 0 • Определение. • Проекцией вектора на ось • разность проекций конца и начала называется вектора на эту ось;
• Свойства проекций (Доказать самостоятельно). • 1. • 2. • 3. • 4. Связь координат вектора и проекций на оси. • Пусть вектор на плоскости имеет разложение: у 0 х
Следовательно, Координаты вектора – это его проекции на оси координат.
Координаты вектора в пространстве • Следствие. • • • Если вектор то задан двумя точками, - начало, - конец,
Действия с векторами, заданными в координатной форме • Сумма и разность векторов, • произведение вектора на число. • • Пусть Тогда • 1. • 2. Модуль вектора Орт вектора
• • Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов, заданных в координатной форме. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда соответствующие координаты этих векторов пропорциональны. Пусть • Доказательство. Тогда
Скачать презентацию Векторная алгебра Основные понятия Учебники 1 А
ВЕКТОРЫ,Lection_1(2016).ppt