Векторная алгебра
Направленный отрезок прямой имеющей начальную и конечную точки называется вектором Определяющая вектор прямая Чтобы задать вектор, необходимо указать: • прямую; • направление на прямой; • начальную и конечную точки вектора на этой прямой. Длина определяющего вектор отрезка прямой называется длиной вектора, или модулем Вектор, начальная и конечная точки которого совпадают, называется нулевым вектором 2/6/2018 Очевидно, нулевой вектор есть точка, и он не имеет направления. Длина нулевого вектора равна нулю. Р. Мунипов 2
Два вектора называются равными если их определяющие прямые параллельны, они имеют одинаковое направление и равные модули Очевидно, два вектора равны если один из них параллельным переносом можно совместить с другим так, что их начальная и конечная точки совпадут. Принцип свободного вектора. Вектор не меняется при его параллельном переносе с сохранением исходного направления и длины. Вектор называется противоположным вектору , если они параллельны, имеют равные модули, но различные направления. 2/6/2018 Р. Мунипов 3
Ортом данного вектора называется вектор сонаправленный с исходным вектором, и модуль которого равен единице. Углом между двумя векторами называется меньшая часть плоскости, ограниченная двумя полупрямыми, исходящими из одной точки и одинаково направленными с данными векторами. 2/6/2018 Р. Мунипов 4
Суммой двух векторов и называется вектор, соединяющий начальную точку первого слагаемого вектора с конечной точкой второго слагаемого вектора , причем начальная точка второго слагаемого вектора совпадает с конечной точкой первого слагаемого. Для суммы векторов справедливо Правило треугольника. свойство коммутативности Для суммы векторов справедливо: Правило параллелограмма суммы векторов: результирующий вектор суммы векторов направлен по диагонали параллелограмма построенного на суммируемых векторах 2/6/2018 Р. Мунипов 5
Правило многоугольника суммы нескольких векторов. Результирующим вектором суммы нескольких векторов будет вектор соединяющий начало первого слагаемого с концом последнего, при условии, что начало каждого последующего слагаемого совпадает с концом предыдущего. 2/6/2018 Р. Мунипов 6
Модуль суммы векторов не превосходит суммы их модулей. Неравенство треугольника Если суммируемые вектора параллельны и одинаково направлены, то модуль суммы равен сумме их модулей. 2/6/2018 Если суммируемые вектора параллельны и противоположно направлены, то модуль суммы равен разности их модулей. Р. Мунипов 7
Сумма квадратов суммы двух векторов и их разности равняется удвоенной сумме квадратов модулей этих векторов. Тождество параллелограмма: удвоенная сумма квадратов модулей двух векторов равняется сумме квадратов модулей суммы и разности этих векторов, или в параллелограмме удвоенная сумма квадратов длин его сторон равняется сумме квадратов длин диагоналей этого параллелограмма. 2/6/2018 Р. Мунипов 8
Для суммы векторов справедливо свойство ассоциативности. 2/6/2018 Р. Мунипов 9
Произведением вектора на скаляр (число) есть вектор одинаково направленный с перемножаемым вектором, если скаляр положительный, и противоположно направленный с ним, если скаляр отрицателен, модуль произведения равен произведению модуля умножаемого вектора на абсолютное значение скаляра. При умножении вектора на число по модулю большее единице, вектор удлиняется, при умножении на число по модулю меньшее единице вектор укорачивается. 2/6/2018 Р. Мунипов 10
Для произведения вектора на скаляр справедливо свойство ассоциативности. Для произведения вектора на скаляр справедливо свойство дистрибутивности. 2/6/2018 Р. Мунипов 11
Выражение вектора через его модуль и орт. Вектор можно представить произведением его модуля и орта. 2/6/2018 Р. Мунипов 12
Линейная комбинация векторов коэффициентов называются нетривиальной, если хотя бы один из отличен от нуля. Линейная комбинация называется тривиальной, если она равна нулевому вектору. Система векторов называется линейно зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. В противном случае, т. е. если только тривиальная линейная комбинация данных векторов равна нулевому вектору, векторы называются линейно независимыми. Очевидно, нулевой вектор линейно зависим с любым вектором, действительно Значит, всякая совокупность векторов содержащая нулевой вектор линейно зависимая. 2/6/2018 Р. Мунипов 13
Если среди векторов существует линейно зависимая подсистема векторов, то вся исходная система векторов будет линейно зависимой, Значит, если система векторов линейно независимая, то и всякая её подсистема векторов также будет линейно независимой. Если система векторов линейно зависимая, то по крайней мере один из векторов этой системы будет равен нетривиальной линейной комбинации других векторов этой системы, Если среди векторов системы, хотя бы один из них является нетривиальной линейной комбинацией других векторов, то вся система будет линейно зависимой. Если система векторов линейно зависимая, а её подсистема векторов линейно независимая, то вектор будет равен линейной комбинации векторов 2/6/2018 Р. Мунипов 14
Векторы называются линейно зависимыми, если справедливо где скалярные коэффициенты не все равны нулю. Между векторами имеет место линейная зависимость Векторы называются линейно независимыми, если равенство выполнятся тогда и только тогда, когда все скалярные коэффициенты равны нулю. 2/6/2018 Р. Мунипов 15
Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. 2/6/2018 Р. Мунипов 16
Два вектора коллинеарные тогда и только тогда, когда они линейно зависимы. линейная зависимость векторов векторы коллинеарные Если между двумя неколлинеарными векторами имеет место линейная зависимость равная нулевому вектору, то это возможно лишь тогда, когда оба скалярных коэффициента равны нулю 2/6/2018 Р. Мунипов 17
Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Нулевой вектор является компланарным любой системе компланарных векторов. Два вектора всегда компланарны. Совокупность компланарных векторов всегда можно привести в одну плоскость с общим началом. 2/6/2018 Р. Мунипов 18
Три вектора компланарные тогда и только тогда, когда они линейно зависимы. линейная зависимость векторов Если между тремя некомпланарными векторами имеет место линейная векторы образуют треугольник зависимость значит компланарные то это возможно лишь тогда, когда все скалярных коэффициента равны нулю 2/6/2018 Р. Мунипов 19
Пусть векторы четвертого вектора некомпланарные. Найдем представление (разложение) по этим векторам Разложение вектора по трем некомпланарным векторам Всякий вектор единственным образом разлагается по трем некомпланарным векторам. Числа в разложении вектора по трем некомпланарным векторам называют координатами вектора относительно этих векторов Любые четыре вектора в трехмерном пространстве линейно зависимы. 2/6/2018 Р. Мунипов 20
Фиксированная тройка некомпланарных векторов с общим началом в фиксированной точке называется аффинной системой координат, а точка называется началом координат Всякому вектору соответствуют тройка чисел и наоборот всякой тройке чисел можно поставить в соответствие вектор имеющий координатами эти числа. Между вектором в трехмерном пространстве и тройкой чисел имеет место взаимно однозначное соответствие. Вектор называют радиусом вектором точки Всякой точке трех мерного пространства можно поставить в соответствие единственную тройку чисел (её координаты) и наоборот всякой тройке чисел можно поставить в соответствие одну точку в пространстве (взаимно однозначное соответствие). 2/6/2018 Р. Мунипов 21
Направленная прямая называется осью Направление оси направление. определяется вектором имеющим с осью одинаковое Прямоугольной (ортогональной) проекцией, или просто проекцией, точки на ось называется основание перпендикуляра опущенного на ось из этой точки. Векторной проекцией вектора на ось называется вектор и концом которого являются соответственно проекция начала проекция конца исходного вектора на ось 2/6/2018 Р. Мунипов , началом и 22
Проекцией или скалярной проекцией вектора на ось называется число (скаляр) абсолютная величина которого равна модулю векторной проекции этого вектора на эту ось. При этом проекция положительна, если направление векторной проекции совпадает с направлением оси, и отрицательна в противном случае. 2/6/2018 Очевидно, проекция нулевого вектора (точки) на ось Р. Мунипов равна нулю. 23
Первая теорема о проекциях. Проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью. Проекции равных векторов равны Проекции противоположных векторов противоположны по знаку 2/6/2018 Р. Мунипов 24
Вторая теорема о проекциях. Проекция суммы векторов равна сумме проекций. Третья теорема о проекциях. Проекция произведения вектора на число равна произведению этого числа на проекцию этого вектора. Проекция линейной комбинации векторов равна той же линейной комбинации проекций этих векторов. 2/6/2018 Р. Мунипов 25
Проекцией точки на ось вдоль прямой называется точка пересечения прямой , проведенная через точку параллельно прямой . Проекцией точки на ось вдоль плоскости называется точка пересечения плоскости , проведенная через точку параллельно плоскости. Проекцией точки на плоскость вдоль прямой называется точка пересечения прямой и плоскости, проведенная через точку параллельно прямой. Очевидно, если рассматриваемые прямые и плоскости перпендикулярны оси, то получим ортогональные проекции. 2/6/2018 Р. Мунипов 26
Пусть в плоскости два единичных вектора неколлинеарные между собой, тогда любой вектор в этой плоскости есть линейная комбинация этих единичных векторов с коэффициентами равными алгебраическим значениям проекций этого вектора на оси, определяемые единичными векторами (проекция на каждую ось рассматривается вдоль другой оси). 2/6/2018 Р. Мунипов 27
Пусть в пространстве три единичных вектора некомпланарные между собой, тогда любой вектор этого пространства есть линейная комбинация этих единичных векторов с коэффициентами равными алгебраическим значениям проекций этого вектора на оси, определяемые единичными векторами (проекция на каждую ось рассматривается вдоль плоскости определяемой двумя другими осями). 2/6/2018 Р. Мунипов 28
Любая пара неколлинеарных единичных векторов на плоскости и любые три неколлинеарных единичных векторов в пространстве, заданных в определенном порядке, называются базисом множества (или многообразия) всех векторов, лежащих в этой плоскости или пространстве соответственно. Сами эти единичные векторы называют базисными, а линейное представление вектора по этим базисным векторам называется разложением вектора по базису. Коэффициенты в разложении определяются однозначно как алгебраические значения проекции вектора на оси, определяемые базисными векторами, и называются координатами вектора относительно этого и только этого базиса. Линейное разложение вектора по базисам в плоскости и пространстве 2/6/2018 Координаты вектора по базисам в плоскости и пространстве Р. Мунипов Очевидно, два вектора равны если равны их соответствующие координаты относительно некоторых базисных векторов. 29
Прямоугольной (декартовой) системой координат называется тройка взаимно перпендикулярных осей пересекающихся в одной точке, именуемой началом координат. есть координатные оси. есть координатные орты. Ось , ось аппликат Ось 2/6/2018 , ось ординат , ось абсцисс Р. Мунипов 30
Система координат называется правой, если из конца орта поворот от орта к орту , виден происходящим против часовой стрелки. Правая система координат. Левая система координат. Против часовой стрелки 2/6/2018 По часовой стрелки Р. Мунипов 31
Коэффициенты разложения вектора по координатным ортам прямоугольной системы координат являются его проекции на соответствующие координатные оси. Линейные операции над векторами в координатной форме имеют вид: 2/6/2018 Р. Мунипов 32
Радиус-вектором точки называется вектор с началом в начале координат и концом в точке. Всякой точке пространства соответствует определённый радиус-вектор, и, обратно, любой радиус-вектор определяет в пространстве единственную точку (взаимно однозначное соответствие). Точки пространства представляется их радиус-векторами. 2/6/2018 Р. Мунипов 33
Определение вектора по его начальной и конечной точкам 2/6/2018 Р. Мунипов 34
Выражение для координат точки делящей отрезок прямой, заданный своими концевыми точками, пополам Точка делит отрезок отношении в Выражение для точки делящей отрезок прямой, заданный своими концевыми точками, в данном отношении (в векторной и координатной формах) 2/6/2018 Р. Мунипов 35
Скалярным произведением двух векторов называется произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними. Нулевой вектор (точка) перпендикулярен любому вектору Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Скалярный квадрат 2/6/2018 Р. Мунипов 36
Выражение для расстояния между двумя точками 2/6/2018 Р. Мунипов 37
Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного вектора на проекцию другого на первый. Выражение проекции вектора на другой через их скалярное произведение и косинуса угла между векторами через их взаимные проекции 2/6/2018 Р. Мунипов 38
Для скалярного произведения справедливо свойство комутативности. Для скалярного произведения справедливо свойство дистрибутивности. Неравенство Коши-Буняковского 2/6/2018 Р. Мунипов 39
Выражение скалярных произведений координатных ортов ортонормированного базиса 2/6/2018 Р. Мунипов 40
Выражение скалярного произведения векторов в координатной форме Выражение модуля вектора через его координаты Выражение скалярного квадрата вектора в координатной форме 2/6/2018 Р. Мунипов 41
Направляющие косинуса вектора, определяют его ориентацию относительно координатных осей Сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице. Выражение орта вектора в координатной форме 2/6/2018 Р. Мунипов 42
Условие перпендикулярности векторов в координатной форме: сумма произведений одноименных компонент векторов равна нулю Выражение проекции вектора на вектор в координатной форме 2/6/2018 Р. Мунипов 43
Выражение для косинуса угла между двумя векторами в координатной форме 2/6/2018 Р. Мунипов 44
2/6/2018 Выражение скалярного произведения векторов через четверть разности квадратов длин. Р. Мунипов и разности этих векторов суммы 45
Векторы ортогональные не В частности, для ортонормированного базиса, Метрические коэффициенты Матрица Грама Для элементов матрицы Грама справедливо: 1) ; 2) симметричность: 3) 2/6/2018 Р. Мунипов 46
В частности, в двухмерном пространстве и трехмерном 2/6/2018 Условие базисности системы двух векторов есть отсутствия действительных корней квадратного уравнения Р. Мунипов 47
Чтобы числа определяли скалярное произведение векторов, необходимо и достаточно, чтобы матрица имела положительные главные миноры, Для того, чтобы система векторов была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы Грама равнялся нулю, 2/6/2018 Р. Мунипов 48
Неопределенность действия обратного скалярному произведению. Дан вектор и число. Какой должен быть вектор чтобы ? Любой вектор, начало которого совмещено с началом вектора , а конец расположен на плоскости перпендикулярной вектору , будут иметь одинаковые проекции на этот вектор Если известны скалярное произведение двух векторов и один из этих векторов, то существует множество векторов, которые при скалярном умножении на известный вектор будут давать это значение скалярного произведения. Значит, нельзя однозначно определить действие обратное 2/6/2018 Р. Мунипов скалярному произведению. 49
Векторным произведением двух векторов называется вектор, который: 1) имеет модуль равный произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между этими векторами; 2) перпендикулярен перемножаемым векторам; 3) поворот из конца результирующего вектора веден, происходящим от первого перемножаемого вектора ко второму, против хода часовой стрелки. против часовой стрелки 2/6/2018 Р. Мунипов 50
Очевидно, векторное произведение вектора на самого себя равно нулевому вектору. Векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору если хотя бы один из перемножаемых векторов есть нулевой вектор или перемножаемые вектора коллинеарные (параллельны). Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Значит, векторное произведение двух векторов будет равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда 2/6/2018 Р. Мунипов перемножаемые вектора коллинеарные. 51
противоположные Для векторного произведения свойство коммутативности несправедливо. 2/6/2018 Р. Мунипов 52
Геометрический смысл векторного произведения есть площадь параллелограмма построенного на перемножаемых векторах. Выражение для площади треугольника, стороны которого есть два вектора, через векторное произведение этих векторов. 2/6/2018 Р. Мунипов 53
Для векторного произведения двух векторов справедливо свойство антикомутативности. Для векторного произведения справедливо свойство дистрибутивности. 2/6/2018 Р. Мунипов 54
Выражение векторных произведений координатных ортов 2/6/2018 Р. Мунипов 55
Выражение векторного произведения двух векторов в координатной форме 2/6/2018 Р. Мунипов 56
Очевидно, векторное произведение, согласно определения, указывает вектор перпендикулярный двум заданным векторам. Выражение для вектора перпендикулярного двум заданным векторам в координатной форме 2/6/2018 Р. Мунипов 57
Выражение для площади треугольника, заданного координатами своих вершин в пространстве 2/6/2018 Выражение для площади треугольника, заданного координатами своих вершин в плоскости Р. Мунипов 58
Неопределенность действия обратного векторному произведению. Даны векторы и должен быть вектор . Какой чтобы Если известны векторное произведение двух векторов и один из этих векторов, то существует множество векторов, которые при векторном умножении на известный вектор будут давать это значение векторного произведения. Значит, нельзя однозначно определить действие обратное векторному произведению. Любой вектор, начало которого совмещено с началом вектора , а конец расположен на прямой параллельной вектору , будут иметь одинаковые проекции на перпендикуляр, опущенный из конца этого вектора на прямую. 2/6/2018 Р. Мунипов 59
Невозможность определить вектор зная его векторное произведение с заданным вектором можно получить и через координаты этих векторов. Определитель системы равен нулю, значит система не имеет единственного решения 2/6/2018 Р. Мунипов 60
Основное тождество векторной алгебры произведений векторов: сумма квадратов скалярного и векторного произведений двух векторов равна произведению квадратов этих векторов 2/6/2018 Р. Мунипов 61
Произведения трех векторов. Скалярно скалярное произведение Векторно-векторное произведение Векторно-скалярное (смешанное) произведение Скалярно скалярное произведение трех векторов Очевидно: т. к. 2/6/2018 Р. Мунипов 62
Результирующий векторно-векторного произведения лежит в плоскости векторов и. 2/6/2018 Р. Мунипов 63
Выражение векторно-векторного произведения через скалярное произведение Очевидно, тогда 2/6/2018 Р. Мунипов 64
Правая тройка векторов 2/6/2018 Р. Мунипов 65
Векторно-скалярное (смешанное) произведение равно, по Левая тройка векторов модулю, объёму параллепипеда, построенного на перемножаемых векторах. Очевидно, векторно-скалярное произведение равно нулю (объём параллепипеда равен нулю) тогда и только, когда все три перемножаемых вектора находятся в одной плоскости, т. е. компланарные. Значит, условие компланарности трех векторов есть 2/6/2018 Р. равенство. Мунипов их смешанного произведения. 66 нулю
Для векторно-скалярного произведения трёх векторов справедливо свойство ассоциативности. Для векторно-скалярного произведения трёх векторов справедливо свойство круговой перестановки. Другая форма записи Для векторно-скалярного произведения трёх векторов справедливо свойство дистрибутивности. 2/6/2018 Р. Мунипов 67
Условие компланарности трех векторов есть равенство нулю их смешанного произведения, или в координатной форме равенство нулю определителя, элементами которого являются компоненты соответствующих векторов по строкам или столбцам. Выражение смешанного произведения трех векторов в координатной форме 2/6/2018 Р. Мунипов 68
Простейшие векторные уравнения. Определение вектора по векторному и скалярному уравнениям. Даны три вектора и , и число Какой должен быть вектор чтобы 2/6/2018 . Р. Мунипов При этом вектор должны быть перпендикулярными вектору и не перпендикулярен вектору 69
Простейшие векторные уравнения. Определение вектора по векторному уравнению. Даны два вектора взаимно перпендикулярных вектора Какой должен быть вектор и. чтобы обозначим Решение векторного уравнения содержит произвольное число. Частное решение, обозначим 2/6/2018 , расположено в плоскости перпендикулярной плоскости векторов и Р. Мунипов 70
Простейшие векторные уравнения. Определение вектора по скалярному уравнению. Даны вектор и число. Какой должен быть вектор чтобы обозначим Решение скалярного уравнения содержит произвольный вектор. обозначим 2/6/2018 Р. Мунипов 71
Простейшие векторные уравнения. Определение вектора по трем скалярным произведениям. Даны три некомпланарных вектора три числа. Какой должен быть вектор чтобы 2/6/2018 и Р. Мунипов 72
Простейшие векторные уравнения. Решение векторного уравнения. Даны два вектора и , и число Какой должен быть вектор чтобы 2/6/2018 . Р. Мунипов 73
Простейшие векторные уравнения. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Даны три некомпланарных вектора и и вектор. Каковы должен быть числа чтобы , В силу некомпланарности векторов определитель отличен от нуля. Значит система уравнений имеет единственное решение. 2/6/2018 Р. Мунипов 74
полюс; полярная ось; полярный радиус; полярный угол. полярные координаты Преобразование полярных координат в декартовые 2/6/2018 Преобразование декартовых координат в полярные Р. Мунипов 75
полюс; полярная ось; линия узлов; полярный радиус; широта; долгота. сферические координаты Преобразование сферических координат в декартовые 2/6/2018 Преобразование декартовых координат в сферические Р. Мунипов 76
2/6/2018 Преобразование координатных ортов декартовых координат при повороте Р. Мунипов координатных осей 77
Преобразование декартовых координат точки при повороте координатных осей (прямое) Преобразование декартовых координат точки при повороте координатных осей (обратное) 2/6/2018 Р. Мунипов 78
Матрица преобразования координат при повороте координатных осей (прямое преобразование) в плоскости матрица преобразования координат при повороте координатных осей (обратное преобразование) в плоскости причем, 2/6/2018 Р. Мунипов 79
Угол нутации углы Эйлера Угол прецессии Угол собственного вращения 2/6/2018 Линия узлов Р. Мунипов 80
Матрица преобразования координат при повороте координатных осей (прямое преобразование) в пространстве, через углы Эйлера 2/6/2018 Р. Мунипов 81
Преобразование координатных ортов декартовых координат при параллельном переносе координатных осей (в плоскости) Преобразование координатных ортов декартовых координат при параллельном переносе координатных осей (в пространстве) 2/6/2018 Р. Мунипов 82
Преобразование координатных ортов декартовых координат при параллельном переносе и повороте координатных осей (в плоскости) Преобразование координатных ортов декартовых координат при параллельном переносе и повороте координатных осей (в пространстве) 2/6/2018 Р. Мунипов 83
Скачать презентацию Векторная алгебра Направленный отрезок прямой имеющей начальную
Вектор.ppt