Вектор ұғымы. Векторларға қолданылатын амалдар. Базис бойынша векторларды жіктеу
Вектор дегеніміз не және вектор қалай белгіленеді? Қандай векторлар коллинеар векторлар деп аталады? Вектордың ұзындығы дегеніміз не? Қандай векторлар өзара тең болады. Нөлдік вектордың ұзындығы неге тең?
Бағытталған кесінді вектор деп аталады. Вектордың бағыты суретте нұсқамамен (стрелкамен) белгіленеді. Мұнда A нүктесі вектордың басы, В нүктесі вектордың ұшы деп аталады, немесе деп белгіленеді. және векторлары әртүрлі, себебі бұл векторлар әртүрлі бағыттарды анықтайды.
Егер вектордың бас нүктесі оның ұшымен дәл келіп беттесіп жатса, онда ол векторды нөлдік вектор деп атайды және деп белгілейді.
. Егер вектордың басы оның ұшымен беттессе, мұндай вектор нөлдік вектор деп аталады. Нөлдік вектор деп белгіленеді. Суреттегі А, В, С нүктелері басы мен ұшы беттескен нөлдік векторлар: . А . В . С
Берілген векторларды атаңдар:
Векторларды табыңдар:
Егер екі вектор бір түзудің немесе параллель түзулердің бойында жатса, онда мұндай векторлар коллинеар векторлар деп аталады, басқаша айтқанда, коллинеар вектордар дегеніміз – паралель векторлар. (коллинеар сөзі қазақша – «түзулес» деген мағынаны білдіреді) 1 -суретте векторлары, ал 2 -суретте векторлары коллинеар.
Егер АВ және CD сәулелері бірдей бағытталған болса, онда ол векторлар бағыттас векторлар деп аталады. Бағыттас векторлардың белгіленуі: немесе Егер екі вектор коллинеар, бірақ бағыттас болмаса, онда мұндай векторлар қарама-қарсы векторлар деп аталады.
Анықтама. векторының ұзындығы деп бағытталған АВ кесіндісінің ұзындығын, демек векторын кескіндейтін АВ кесндісінің ұзындығын айтамыз. Вектордың ұзындығын вектордың абсолют шамасы немесе модулі деп те айтады. векторының ұзындығы немесе деп жазылады. Нөлдік вектордың ұзындығы нөлге тең: Анықтама. бағыттас және олардың ұзындықтары тең болса, онда олар тең векторлар деп аталады.
Векторлардың теңдігі
1 -ТАПСЫРМА. АВСD параллелограмының қабырғалары әртүрлі неше векторды анықтайды? 2 -ТАПСЫРМА. Е және F нүктелері –теңбүйірлі АВСD трапециясының бүйір қабырғаларының орталары. векторлары тең бола ма? 3 -ТАПСЫРМА. Қабырғасы 2 -ге тең АВСD квадратындағы векторларының абсолют шамалары нешеге тең?
Тапсырма 4. Берілді: АВСD – параллелограмм Табу керек: а) ОС векторына коллинеар векторларды; б) АВ векторымен бағыттас векторларды; в) ВС векторына қарама-қарсы бағытталған векторларды; г) ВО векторымен тең векторларды; А , В С О D
«Үшбұрыш» ережесі B A C
“Параллелограмм” ережесі B C A D Параллелограмның қасиеті бойынша:
Векторлардың арасындағы бұрыш. А О В
Сұрақтарға жауап беріңіз: О 1. а және b векторларының арасындағы бұрыш неге тең? 2. b және с векторларының арасындағы бұрыш неге тең? 3. c және d векторларының арасындағы бұрыш неге тең? 4. с және f векторларының арасындағы бұрышсүйір ме, доғал ма? 5. а және d векторларының арасындағы бұрыш ты анықта. 6. а және f векторларының арасындағы бұрыш неге тең?
Векторлардың скаляр көбейтіндісі. Екі вектордың скаляр көбейтіндісі деп олардың модульдерін арасындағы бұрыштың косинусына көбейткенге тең санды айтады
Егер , онда Тең векторлардың скалярлық көбейтіндісі осы вектордың скалярлық квадраты деп аталады
«скаляр көбейтіндісі» терминіндегі бірінші сан көбейтінді нәтижесі скаляр, яғни нақты сан болатындығын білдіреді. Ал екінші сөз көбейтінудің қасиеттірі орындалатындығын көрсетеді.
Көбейтудің қасиеттері: - ауыстырымдылық заңы - терімділік заңы - үлестірімділік заңы
Қай векторлар перпендикуляр болады? О 1. 2. 3. 4. 5. а және c b және d с және d b және с f және d
Векторлардың арасындағы бұрышты оның градустық өлшемімен сәйкестендір c и f О o d и a 450 0 45 o a и f 180 o a и b 135 o
Дұрыс жауапты табыңдар; Скаляр көбейтіндісін табыңдар: а) б) в)
д) ВD, если АВ = 4, ВС = 5, АС = 6. ВАD = 600;
Задача 2. Дано: АВСD – квадрат. АВ = Найти: а) ВО; С В ? б) угол АВО, угол АОВ; ? в) O г) А D
және векторларының скаляр көбейтіндісі мына формуламен анықталады:
Векторлардың перпендикулярлық шарты. Векторлардың коллинеарлық шарты. Коллинеар векторлардың сәйкес координаталары өзара пропорционал болады.
Векторлардың арасындағы бұрыш
Вектордың абсолют шамасы немесе модулі деп векторды кескіндейтін кесіндінің ұзындығын атайды және деп белгілейді.
Бір түзу бойында немесе параллель түзулер бойында жатқан нөлдік емес екі вектор коллинеар векторлар деп аталады. Коллинер векторлардың сәйкес координаталары пропорционал болады. Белгілеуі:
Нөлдік емес мен векторларының арасындағы бұрыш деп ВАС бұрышын атайды. Кез келген мен екі вектордың арасындағы бұрыш деп бас нүктесі ортақ әрі олармен тең векторлардың арасындағы бұрышты айтады. Бірдей бағытталған векторлардың арасындағы бұрыш нөлге тең деп есептеледі, ал қарама-қарсы бағытталған векторлардың арасындағы бұрыш -қа тең. 1800 00
мен скаляр көбейтіндісі деп санын атайды. векторларының
Ұзындығы бірге тең векторды бірлік вектор немесе орт дейміз. z M 3 k j y M 2 x i M 1
I. Определение вектора. Основные понятия, связанные с векторами. Как и в плоскости, в пространстве вектор определяется как направленный отрезок: B a A Точка А – начало вектора, В – конец вектора. Записывают: или . Обычную точку в пространстве мы также можем считать вектором, у которого начало совпадает с конечной точкой. Такой вектор называется нулевым и обозначается: или . A Длина отрезка, изображающего вектор, называется модулем (или абсолютной величиной) вектора, т. е. B Естественно, что Векторы и являются противоположными. Очевидно, что: A
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых: c a m b n Обозначение коллинеарных векторов: Коллинеарные векторы, в свою очередь, бывают одинаково направленными (или соноправленными) и противоположно направленными. В нашем случае: ↑↑ – соноправленные векторы, ↑↓ – противоположно направленные векторы. Два вектора называются равными, если: 1) они соноправлены; и 2) их модули равны, т. е. ↑↑
От произвольной точки пространства можно отложить единственный вектор, равный данному: N M Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости: Углом между векторами называется угол между их направлениями: Величина угла между векторами может изменятся от 00 до 1800. Подумайте, когда: а) и б) ? ↑↑ ↑↓ Ответ: а) ; б) .
II. Действия с векторами. Векторы можно складывать – в результате получается вектор. При сложении двух векторов применяются правила треугольника или параллелограмма: 1) При применении правила треугольника один из векторов откладывают от конца другого, т. е. : 2) При применении правила параллелограмма оба вектора откладывают из общей начальной точки, т. е. , где F – вершина параллелограмма, противоположная общей начальной точке векторов.
При сложении трех и более векторов применяют правило многоугольника: Обратим внимание, что при сложении соноправленных векторов получается вектор, соноправленный с данными и его модуль равен сумме модулей слагаемых векторов: При сложении противоположно направленных векторов получается вектор, соноправленный с вектором, имеющим бóльшую длину и его модуль равен … (подумайте, чему? ):
Также можно найти разность двух векторов – в результате получается вектор. При вычитании двух векторов применяется видоизмененное правило треугольника – вначале оба вектора строятся с общей начальной точкой, затем соединяются концы этих векторов с выбором направления к «уменьшаемому» вектору: Или: т. к. , то можно вначале построить вектор, противоположный вектору , а затем оба вектора сложить по правилу треугольника. –
Теорема 1. Егер а және b нөлдік емес, коллинеар емес векторлар болса, онда кез келген с векторы үшін х және у сандары табылып, с=xa+yb теңдігі орындалады және бұл теңдік жалғыз ғана түрде болады.
Анықтама 1. Кез келген векторды коллинеар емес екі векторға жіктейтін векторлар базистік векторлар деп аталады. Теоремадағы а және b – базистік векторлар х және y сандары с векторының а, b базисіндегі координаталары
Тік бұрышты координаталар жүйесінде Ох осімен бағыттас і векторын және Оу осімен бағыттас j векторын алайық. Бұл векторлар координаталық векторлар немесе орттар деп аталады. Теорема бойынша, кез келген а векторы үшін х және у сандары табылып, a=xі+y j теңдігі орындалады. Мұнда х пен у сандары а векторының координаталары деп атайды: a=(x; y)
Разложение векторов по единичным ортам Координаты вектора
Координаты вектора ? ? a {-6; 9} n {-8; 0} c {0; -7} m{4; -3} r {-5; -8} s {-7; 0} e {0; 21} q {0; 0} Разложение вектора по координатным векторам ? a = – 6 i+9 j ? n = – 8 i+0 j ? c = 0 i – 7 j ? m =4 i – 3 j r = – 5 i – 8 j s = – 7 i+0 j e = 0 i +21 j q =0 i +0 j
Координаты вектора n {-2; 3} k {4; 2} m {3; -0, 5} d{0; -5} a {-4; 4} b {0; 7} c {-5; 0} x {7; -7} Разложение вектора по координатным векторам n = – 2 i+3 j k = 4 i+2 j m =3 i– 0, 5 j d =0 i – 5 j a = – 4 i +4 j b = 7 j c = -5 i x =7 i – 7 j
a{-2; 6}; b{5; -2}; c {4; -2}; e {2; 10}; Найти координаты векторов. a + b {3; 4} a–b -a c+e e–c Упражнение: создайте слайд для самостоятельной работы с последующей самопроверкой. -e 2 a 3 c -3 b 2 a – 3 b -2 e 3 c – 2 e
Қайталау сұрақтары: Вектор деген не? Векторды қалай белгілейді? Вектордың абсолют шамасы деген не? Нөлдік вектор деген не? Қандай векторлар тең деп аталады? Векторларды қосудың «үшбұрыш ережесін» тұжырымдап беріңдер. 6. Векторларды қосудың «параллелограмм ережесін» тұжырымдап беріңдер. 7. Қандай векторлар коллинеар векторлар деп аталады? Қоллинеар векторлардың қасиеті. 8. Векторлар арасындағы бұрыш қалай анықталады? 9. Векторлардың скаляр көбейтіндісі дегенге анықтама беріңдер. 10. Бірлік векторлар. Векторды үш оське жіктеу. 1. 2. 3. 4. 5.
Тест сұрақтары: 1. А(-1; -2; 4), В(-4; -2; 0), С(3; -2; 1) үшбұрышының төбелері болса, А төбесіндегі үшбұрыштың бұрышын табыңыз. А) B) 2. C) D) E) векторлары өзара перпендикуляр. болса, анықтаңыз. А) B) скаляр көбейтіндісін C) D) E) 3. Төбелері А(7; 3; 4), В(1; 0; 6), С(4; 5; -2) нүктелерінде жатқан үшбұрыш ауданын тап. А) 24 B) 23 C) 24, 5 D) 23, 5 E) 21
және 4. Егер болса, онда А) 15 5. Егер табыңыз. B) 13 және C) 16 D) 14 E) 12 векторлар арасындағы бұрыш әрі скаляр көбейтіндісі болса, онда осы векторлар арқылы салынған параллелограмның ауданы қаншаға тең болады? А) B) 2 C) D) 1 E) ,
№ 1 есеп. Шешуі: А(-1; -2; 4), В(-4; -2; 0), С(3; -2; 1). В С А Жауабы:
№ 2 есеп. Шешуі: болса, табамыз: Жауабы: скаляр көбейтіндісін
№ 3 есеп. Шешуі: Төбелері А(7; 3; 4), В(1; 0; 6), С(4; 5; -2) нүктелерінде жатқан үшбұрыштың ауданын табамыз: В А С Жауабы:
№ 4 есеп. Шешуі: Жауабы:
№ 5 есеп. Шешуі: Жауабы:
Тест сұрақтары: 1. А(-1; -2; 4), В(-4; -2; 0), С(3; -2; 1) үшбұрышының төбелері болса, А төбесіндегі үшбұрыштың бұрышын табыңыз. А) B) 2. C) D) E) векторлары өзара перпендикуляр. болса, анықтаңыз. А) B) скаляр көбейтіндісін C) D) E) 3. Төбелері А(7; 3; 4), В(1; 0; 6), С(4; 5; -2) нүктелерінде жатқан үшбұрыш ауданын тап. А) 24 B) 23 C) 24, 5 D) 23, 5 E) 21
және 4. Егер болса, онда А) 15 5. Егер табыңыз. B) 13 және C) 16 D) 14 E) 12 векторлар арасындағы бұрыш әрі скаляр көбейтіндісі болса, онда осы векторлар арқылы салынған параллелограмның ауданы қаншаға тең болады? А) B) 2 C) D) 1 E) ,
Ox Oy Oz z О нүктесінде қиылысатын өзара перпендикуляр x, y, z, үш түзу алайық. Пунктирмен осьтердің теріс бөліктері көрсетілген 1 1 0 1 y x Координаттық осьтер: Ox –абсцисса осі Oy – ординат осі Oz –аппликат осі
Координаттық жазықтықтар: xz xy yz
Скачать презентацию Вектор ұғымы Векторларға қолданылатын амалдар Базис бойынша векторларды
вектор.ppt