Вечные истины Математику многие любят за ее вечные

Вечные истины Математику многие любят за ее вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Случайные события Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной. Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными.

Случай имеет свои законы ! Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Именно такие закономерности изучаются в специальном разделе математики – Теории вероятностей.

Случайность и здравый смысл «Теория вероятностей есть в сущности не что иное, как здравый смысл, сведенной к исчислению» Лаплас

В настоящее время Теория вероятностей имеет статус точной науки наравне с арифметикой, алгеброй, геометрией и т. п. А начиналось все весьма своеобразно…

Азартные игры Богатый материал для наблюдения за случайностью на протяжении многих веков давали азартные игры.

У истоков науки В археологических раскопках специально обработанные для игры кости животных встречаются, начиная с V века до н. э. Самый древний игральный кубик найден в Северном Ираке и относится к IV тысячелетию до н. э.

Закономерности в случайных событиях Люди, многократно следившие за бросанием игральных костей, замечали некоторые закономерности, управляющие этой игрой. Результаты этих наблюдений формулировались как «Золотые правила» и были известны многим игрокам. Однако, первые вычисления появились только в X-XI веках.

Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате опыта. Строго определенные закономерности называются детерминистическими.

А - появление герба при бросании монеты; В - попадание в цель при выстреле; С - появление туза при вынимании карты из колоды.

Болезнь случайного человека в течение года является случайным событием. Статистика показывает, что в прошлом году каждый житель Луганска в среднем болел 8 дней. Массив большого числа случайных событий болезней конкретных людей - имеет четкую закономерность.

Закономерности большого числа случайных событий называются стохастическими. Детерминистические закономерности описывают каждый элемент некоторой совокупности, а стохастические закономерности описывают только всю совокупность в целом.

Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений, наблюдаемых при массовых повторениях испытаний

Основные понятия теории вероятностей События обозначаются обычно большими латинскими буквами A, B, D, F. . .

Классификация событий Достоверное - Невозможное - событие, которое при повторении опыта обязательно произойдет событие, которое при повторениях опыта никогда не происходит Случайное событие, которое при повторении опыта иногда происходит, иногда нет • обычно обозначается - A, B, C, D. . .

Взаимосвязь событий

Взаимосвязь событий Полная группа событий несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. Противоположные события - два несовместных события , образующих полную группу событий. Обозначение - А

Пример A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 События: B - выпадение четного числа очков C - выпадение более 7 очков D - выпадение не более 3 очков E - выпадение не более 6 очков F - выпадение не менее 4 очка A 6

Анализ событий опыта: C - невозможное событие - достоверное событие E A 1 - A 6 -элементарные события, образующие полную группу несовместных равновозможных событий B, C, D - можно выразить через более простые (элементарные) события Например: В - наступит либо А 2, либо А 4, либо А 6

Суммой двух событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении события А, или события В, или событий А и В вместе. A+B=A B

Произведением двух событий А и В называется событие С=АВ, состоящее в одновременном наступлении событий А и В. A • B=A B

Сумма событий А и В (объединение) Произведение событий Аи. В (пересечение)

Событие А - попадание при первом выстреле, событие В - попадание при втором выстреле. Событие А+В - хотя бы одно попадание. Событие АВ - попадание при обоих выстрелах.

Пусть событие А 1 - попадание в цель при первом выстреле; Ā1 - промах при первом выстреле; А 2 - попадание в цель при втором выстреле; Ā2 - промах при втором выстреле; А 3 - попадание в цель при третьем выстреле; Ā3 - промах при третьем выстреле; Рассмотрим событие В - в результате трех выстрелов состоялось одно попадание в цель.

Событие В выразится в виде комбинации событий А и Ā:

Вероятность события есть количественная мера возможности наступления этого события.

Рассмотрим случайное событие А, которое может произойти или не произойти в опыте. Повторим этот опыт n раз. Пусть в m опытах из серии n произошло событие А. Отношение числа опытов, в которых произошло данное событие, к общему числу опытов называется частотой события или статистической вероятностью.

p (A) = * m n

При небольшом числе опытов частота носит случайный характер и может существенно меняться от одной серии опытов к другой. При увеличении числа опытов она стабилизируется, приближаясь к некоторой средней величине, которая и является вероятностью данного события. Частота события при достаточно большом числе опытов дает приближенное значение вероятности этого события.

Случай называется благоприятным некоторому событию, если наступление этого случая влечет за собой наступление данного события.

При бросании игральной кости возможно 6 случаев, из которых три случая будут благоприятны событию А - появлению четного числа очков.

Вероятность события можно оценить по относительной доле благоприятных случаев. Если n - общее число случаев, а m число случаев, благоприятных событию А, то вероятность события А может быть найдена по формуле:

В качестве единицы измерения вероятности принимается вероятность достоверного события. Т. е. вероятность события, которое всегда происходит, полагается равной 1. Вероятные но недостоверные события будут иметь вероятность меньше 1. Вероятность невозможного события полагается равной 0. Таким образом, вероятность любого события находится в интервале от 0 до 1.

Классическая формула для вероятности справедлива только в том случае, если все исходы опыта можно разделить на группы равновозможных случаев.

Брошены два игральных кубика. Найти вероятность событий: Асумма выпавших очков – четная, В – произведение очков больше 20.

Всего будет 36 событий, которые являются случаями, поскольку они равновозможны и образуют полную группу, т. е. n=36. ((1; 2), (2; 1), (1; 1) и т. д. ) Событию А будет случаев, т. е. m=18. благоприятно 18

Событию В благоприятно 6 случаев: (6; 4), (4; 6), (5; 5), (5; 6), (6; 5), (6; 6) т. е. m=6.

Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Пусть все возможные исходы опыта сводятся к n случаям, из которых m случаев благоприятны событию А, а k - случаев благоприятны событию В. Тогда вероятности событий А и В будут равны соответственно:

Так как события А и В несовместны, то нет таких случаев, которые были бы благоприятны событиям А и В вместе.

Следовательно, событию благоприятно m+k случаев. А+В будет

Эту теорему можно обобщить на произвольное число несовместных событий А 1, А 2, …Аn:

Следствие 1. Если события А 1, А 2, …Аn образуют полную группу несовместных событий, то их суммарная вероятность равна 1.

Так как события А 1, А 2, …Аn образуют полную группу, то появление в опыте хотя бы одного из них будет достоверным событием. Поэтому Р(А 1+А 2+…+Аn)=1. Так как эти события несовместны, то к ним применима теорема о сложении вероятностей:

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Если события А и В совместны, то теорема о сложении вероятностей обобщается следующим образом: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) Отсюда можно выразить произведения событий А и В: вероятность Р(АВ)= Р(А)+Р(В)- Р(А+В)

В коллективе 40 % сотрудников принадлежат к партии любителей пива, и 20 % принадлежат к партии зеленых, причем 10 % являются одновременно членами обеих этих партий. Остальные сотрудники беспартийные. Найти вероятность того, что наугад выбранный работник будет партийным.

Пусть событие А заключается в том, что случайно выбранный сотрудник принадлежит к партии любителей пива, а событие В - что сотрудник принадлежит к партии зеленых. События А и В будут совместными. Поэтому по теореме о сложении вероятностей вероятность того, что наугад выбранный сотрудник будет партийным определится по формуле

Р(А)=0. 4, Р(В)=0. 2, Р(АВ)=0. 1 Следовательно,

Молодой человек рассматривает три возможности уклониться от службы в армии. Во-первых, он может поступить учиться в ВУЗ, во-вторых, он может быть освобожден от армии по состоянию здоровья, и в третьих, он может жениться и к моменту призыва обзавестись двумя детьми. Вероятности этих событий для него равны, соответственно, 0. 5, 0. 2 и 0. 01. Считая эти события несовместными, найти вероятность того, что молодой человек не попадет в ряды призывников

Пусть событие А заключается в том, что молодой человек поступит в ВУЗ, событие В - что он получит освобождение по состоянию здоровья и событие С - что он женится и обзаведется двумя детьми. Т. к. эти события несовместны, то применяем теорему о сложении вероятностей в виде: Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)

Так как Р(А)=0. 5 Р(В)=0. 2 Р(С)=0. 01 то Р(А+В+С)=0. 5+0. 2+0. 01=0. 7

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. В противоположном случае события А и В будут называться зависимыми.

В урне находятся 2 белых и один черный шар. Пусть событие А - вынуть из урны белый шар, и событие В - тоже вынуть белый шар. Пока не произойдет событие В, вероятность события А будет равна Р(А)=2/3. Если событие В уже случилось, то Р(А)=1/2. События А и В будут зависимыми.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место событие В, называется условной вероятностью события А: Р(А/В). В примере: Р(А)=2/3; Р(А/В)=1/2. Если события независимы, то Р(А)=Р(А/В).

Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место: P(AB)=P(A)P(B|A)

Пусть все возможные исходы опыта сводятся к n случаям. Предположим, что событию А благоприятны m случаев, а событию В - k случаев. Так как мы не предполагали, что события А и В несовместны, то существуют случаи, благоприятные событиям А и В вместе (l случаев).

Тогда Вычислим условную вероятность события В: Р(В/А). Известно, что если событие А произошло, то из ранее возможных n случаев, остаются только те m случаев, которые благоприятны событию А. Из них событию В будут благоприятны l случаев. Получили тождество.

Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Р(АВ)=Р(А)Р(В)

Тогда теорему об умножении вероятностей можно обобщить на случай n независимых событий:

Студент сдает в сессию три экзамена. Вероятность воспользоваться шпаргалкой на первом, втором и третьем экзамене равна соответственно, 0. 4, 0. 5, 0. 7. Найти вероятность того, что на всех экзаменах студенту удастся списать.

Пусть событие А 1 состоит в том, что студенту удалось списать на первом экзамене, А 2 - на втором экзамене, А 3 - на третьем экзамене. Эти события будут независимыми. Событие А, состоящее в том, что студент спишет на всех трех экзаменах, выразится как произведение событий А 1 , А 2 и А 3 : А=А 1 А 2 А 3

Тогда по теореме об умножении вероятностей Р(А)=Р(А 1)Р(А 2)Р(А 3) Где Р(А 1)=0. 4 Р(А 2)=0. 5 Р(А 3)=0. 7 Следовательно Р(А)=0. 4*0. 5*0. 7=0. 14