Валентинов В А Эконометрика Модуль 6 Система

Валентинов В. А. Эконометрика. Модуль 6. Система линейных одновременных уравнений. Тема 21. Общие понятия о системах уравнений, используемых в эконометрике Тема 22. Классификация систем уравнений Тема 23. Идентификация систем эконометрических уравнений Тема 24. Методы оценки параметров систем одновременных уравнений: косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) и двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Валентинов В. А. Эконометрика. Тема 21. Общие понятия о системах уравнений, используемых в эконометрике 21. 1. Определение эндогенных переменных 21. 2. Определение экзогенных переменных 21. 3. Свойства эндогенных переменных 21. 4. Свойства экзогенных переменных

Валентинов В. А. Эконометрика. 21. 1. Определение эндогенных переменных Система одновременных уравнений (СОУ) учитывает взаимовлияние основных переменных изучаемых объектов. Все переменные экономической системы по признаку направленности воздействия на переменные можно разделить на две группы: внутренние или эндогенные переменные и внешние или экзогенные переменные. Эндогенные (внутренние) переменные зависят от переменных системы и могут влиять на остальные переменные. Эндогенные переменные принято обозначать буквой У.

Валентинов В. А. Эконометрика. 21. 2. Определение экзогенных переменных Экзогенные (внешние) переменные не зависят от деятельности системы, но могут влиять на эндогенные переменные. Экзогенные переменные принято обозначать буквой Х. Экзогенными переменными можно условно считать инвестиции в экономику, гуманитарную помощь. Истинными экзогенными переменными можно считать лаговые эндогенные переменные, природные, космические факторы. Пример. Приведем блок- схему связей переменных магазина. У 1. Розничный товарооборот. У 2. Численность продавцов. Х 1. Площадь магазина. Х 2. Интенсивность потока покупателей. Рис. 21. 1 - Структурная схема взаимосвязи переменных

Валентинов В. А. Эконометрика. Анализ рис. 21. 1 показывает, что имеются две группы переменных, которые отличаются направленностью воздействия на переменные. К группе эндогенных переменных относятся: У 1 и У 2, которые влияют и зависят от других переменных. К группе экзогенных переменных относятся: Х 1 и Х 2, которые только влияют на переменные, но не зависят от других переменных.

Валентинов В. А. Эконометрика. 21. 3. Свойства эндогенных переменных. Свойство 1. Эндогенные переменные имеют обратные связи, которые порождают проблему устойчивости экономической системы. Предположим, что в исходный момент времени эндогенные переменные находятся в средне динамическом равновесном состоянии (ярким примером служат устоявшиеся значения спроса, цены и предложения, изучаемые в микроэкономике). При изменении эндогенной переменной возможны следующие сценарии ее изменения: - она плавно, монотонно или циклически вернется к своему исходному значению, такое поведение эндогенной переменной характерно для устойчивой экономической системы; -она плавно, монотонно или циклически примет минимальное или максимальное возможное значение, такое поведение эндогенной переменной характерно для неустойчивой экономической системы. Свойство 2. Если экономическая система находится в устойчивом состоянии, то изменение эндогенной переменной не способно изменить средние динамические равновесные значения эндогенных переменных.

Валентинов В. А. Эконометрика. 21. 4. Свойства экзогенных переменных. Свойство 1. Предположим, что экономическая система находится в устойчивом состоянии и эндогенные переменные имеют средние динамические равновесные значения. Изменение одной или нескольких экзогенных переменных приводит через несколько циклов к изменению средних динамических значений эндогенных переменных. Свойство 2. Прогнозные значения эндогенных переменных можно получить только с помощью экзогенных переменных.

Валентинов В. А. Эконометрика. Тема 22. Классификация систем уравнений 22. 1. Формы систем одновременных уравнений 22. 2. Структурная система одновременных уравнений 22. 3. Приведенная система одновременных уравнений 22. 4. Рекурсивная и независимая системы одновременных уравнений

Валентинов В. А. Эконометрика. 22. 1. Формы систем одновременных уравнений Известны четыре формы систем одновременных уравнений: 1 структурная, 2 приведенная 3 рекурсивная. 4 независимая

Валентинов В. А. Эконометрика. 22. 2. Структурная система одновременных уравнений. Структурная форма одновременных уравнений содержит в качестве объясняющих переменных как эндогенные, так и экзогенные переменные, которые отражают реальную структуру взаимосвязи переменных. Приведем пример структурной системы одновременных уравнений У 1 = а 0 + а 1*У 2 + а 2*Х 1 + е 1, У 2 = в 0 + в 1*У 1 + в 2*Х 2 + е 2.

Валентинов В. А. Эконометрика. 22. 3. Приведенная система одновременных уравнений. Приведенная форма одновременных уравнений содержит в качестве объясняющих переменных только экзогенные переменные. Приведенная форма используется для получения прогнозных значений эндогенных переменных и для получения расчетных значений эндогенных переменных, используемых для получения несмещенных оценок параметров структурной формы одновременных уравнений. Если в первом уравнении вместо У 2 подставить второе уравнение, а во втором уравнении вместо У 1 подставить первое уравнение, то после несложных преобразований можно получить приведенную систему одновременных уравнений. У 1 = с0 + с1*Х 1 + с2*Х 2 + е 3, У 2 = d 0 + d 1*X 1 + d 2*X 2 + е 4. Однозначный переход от структурной системы к приведенной системы одновременных уравнений можно было произвести при условии строгой идентифицируемости структурной системы одновременных уравнений.

Валентинов В. А. Эконометрика. 22. 4. Рекурсивная и независимая система одновременных уравнений Рекурсивная система одновременных уравнений имеет следующие закономерности: -каждое последующее уравнение содержит в качестве объясняющих факторов все предыдущие эндогенные переменные, - каждая последующая эндогенная переменная не является объясняющей в предыдущих уравнениях. - отсутствует обратная связь, поэтому не возникает проблем устойчивости системы и можно получить прогнозные значения эндогенных переменных при наличии в уравнении эндогенной переменной.

Валентинов В. А. Эконометрика. Приводим пример рекурсивной системы одновременных уравнений Первое уравнение рекурсивной системы одновременных уравнений содержит только экзогенные переменные. Второе уравнение содержит в качестве объясняющих факторов У 1 и экзогенные переменные. Третье уравнение содержит У 1 и У 2, а также экзогенные переменные. В рекурсивных уравнениях не имеет значение, как включаются экзогенные переменные, важно, чтобы между эндогенными переменными не возникли обратные связи. В независимой системе одновременных уравнений в правой части уравнений отсутствуют эндогенные переменные.

Валентинов В. А. Эконометрика. Тема 23. Идентификация систем эконометрических уравнений 23. 1. Идентифицируемость систем одновременных уравнений 23. 2. Неидентифицируемая система одновременных уравнений 23. 3. Идентифицируемая система одновременных уравнений 23. 4. Сверхидентифицируемая система одновременных уравнений

Валентинов В. А. Эконометрика. 23. 1. Идентифицируемость систем одновременных уравнений Структурная система одновременных уравнений обладает следующим свойством - количество уравнений равно количеству эндогенных переменных. Структурная система одновременных уравнений может быть: - неидентифицируемой, - сверхидентифицируемой. Имеется несколько методов проверки идентифицируемости структурных систем одновременных уравнений, приводи наиболее простой метод ее проверки. Проверка на идентифицируемость нужна для проверки возможности перехода от структурной системы к приведенной и обратно, которую можно выполнить если структурная система одновременных уравнений является идентифицируемой. Условие идентифицируемости необходимо при выполнении косвенного метода наименьших квадратов.

Валентинов В. А. Эконометрика. 23. 2. Неидентифицируемая система одновременных уравнений Система одновременных уравнений неидентифицируема, если для какого-нибудь уравнения системы выполняется неравенство: n < (ni + mi), где n - общее число всех экзогенных переменных системы, ni - число экзогенных переменных i- ого уравнения, mi - число объясняющих эндогенных переменных i-ого уравнения.

Валентинов В. А. Эконометрика. 23. 3. Идентифицируемая система одновременных уравнений Модель идентифицируема, если для каждого уравнения системы выполняется равенство: n= (ni + mi). где n - общее число всех экзогенных переменных системы, ni - число экзогенных переменных i- ого уравнения, mi - число объясняющих эндогенных переменных i-ого уравнения. Из равенства n= (ni + mi) следует, что количество всех эндогенных переменных должно равняться количеству экзогенных переменных. В каждом уравнении количество объясняющих переменных должно равняться количеству эндогенных переменных. Комбинации объясняющих переменных в каждом уравнении не должны повторяться. Как правило, экзогенных переменных не хватает для того, чтобы система стала идентифицируемой, поэтому часто в качестве экзогенной переменной выбирают лаговую эндогенную переменную.

Валентинов В. А. Эконометрика. 23. 4. Сверхидентифицируемая система одновременных уравнений Модель сверхидентифицируемая, если хотя бы для одного уравнения системы выполняется неравенство: n > (ni + mi).

Валентинов В. А. Эконометрика. Тема 24. Методы оценки параметров систем одновременных уравнений: косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) и двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК) 24. 1. Косвенный метод наименьших квадратов 24. 2. Пример реализации косвенного МНК 24. 3. Двухшаговый метод наименьших квадратов 24. 4. Пример реализации двухшагового МНК

Валентинов В. А. Эконометрика. 24. 1. Косвенный метод наименьших квадратов Если известна база данных всех переменных, то расчет коэффициентов структурной и приведенной системы одновременных уравнений не вызывает затруднений. Если известны коэффициенты приведенной системы одновременных уравнений, но не известна база данных переменных, что очень часто встречается в научных исследованиях, то без базы данных можно получить коэффициенты структурной системы одновременных уравнений косвенным методом наименьших квадратов. Косвенный метод наименьших квадратов применяется только в том случае, если структурная форма системы одновременных уравнений является идентифицированной. Алгоритм косвенного метода наименьших квадратов реализуется в три этапа: 1) на основе структурной формы системы одновременных уравнений составляется её приведённая форма, все параметры которой выражены через структурные коэффициенты; 2) приведённые коэффициенты каждого уравнения оцениваются обычным методом наименьших квадратов с помощью функции ЛИНЕЙН; 3) на основе оценок приведённых коэффициентов системы одновременных уравнений определяются оценки структурных коэффициентов через приведённые уравнения.

Валентинов В. А. Эконометрика. 24. 2. Пример реализации косвенного МНК Решение примера. Шаг 1. Приведем структурную систему одновременных уравнений У 1 = а 0 + а 1*У 2 + а 2*Х 1 + е 1, У 2 = в 0 + в 1*У 1 + в 2*Х 2 + е 2. Если в первом уравнении вместо У 2 подставить второе уравнение, а во втором уравнении вместо У 1 подставить первое уравнение, то после несложных преобразований можно получить приведенную систему одновременных уравнений. У 1 = с0 + с1*Х 1 + с2*Х 2 + е 3, У 2 = d 0 + d 1*X 1 + d 2*X 2 + е 4. Шаг 2. Расчет коэффициентов приведенной системы одновременных уравнений с помощью функции ЛИНЕЙН. Вывод. Нам известны коэффициенты с и d приведенной системы одновременных уравнений, теперь с их помощью надо получить коэффициенты структурной системы одновременных уравнений без использования базы данных. Шаг 3. Переходим от приведенной системы к структурной системе одновременных уравнений. Из второго уравнения приведенной системы выразим Х 2 и подставим в первое уравнение приведенной системы одновременных уравнений, после преобразований получим первое уравнение структурной системы одновременных уравнений. Из первого уравнения приведенной системы выразим Х 1 и подставим во второе уравнение приведенной системы одновременных уравнений, после преобразований получим второе уравнение структурной системы одновременных уравнений.

Валентинов В. А. Эконометрика. 24. 3. Двухшаговый метод наименьших квадратов Эндогенные переменные могут быть случайными величинами, поэтому, находясь в системе одновременных уравнений в качестве объясняемой переменной, они могут быть связаны с остатками. Взаимосвязь объясняемых переменных с остатками модели является нарушением предпосылок для метода наименьших квадратов, что делает оценки параметров модели смещенными и неэффективными.

Валентинов В. А. Эконометрика. 24. 4. Пример реализации двухшагового МНК Пример. Необходимо получить несмещенные значения коэффициентов структурного уравнения регрессии У 1 t= a 0 + а 1*У 2 t + а 2*Х 1 t + et Необходимо проверить предпосылку метода наименьших квадратов о независимости объясняемых переменных и остатков. Для этой цели вычислим коэффициенты структурного уравнения методом наименьших квадратов, вычислим остатки, вычислим суммы: У 2 t*et, X 1 t*et. Если эти суммы равны нулю, то полученные значения коэффициентов структурного уравнения будут несмещенными и дальнейшее улучшение коэффициентов можно не проводить. Если обе суммы или одна из них не раны нулю, то для соответствующей переменной можно получить несмещенную оценку двух шаговым методом наименьших квадратов.

Валентинов В. А. Эконометрика. Реализация двух шагового метода наименьших квадратов проводится в следующей последовательности: - Расчет коэффициентов модели У 1 t= a 0 + а 1*У 2 t + а 2*Х 1 t + et, если У 2 t зависит от et (если У 2 t*et 0), то продолжаем расчеты. В противном случае расчеты заканчиваются. На первом шаге устраняется зависимость У 2 t от еt с помощью уравнения приведенной системы одновременных уравнений У 2 pt = b 0 + b 1*Х 1 t + b 2*Х 2 t, Переменная У 2 pt не содержит случайной составляющей et. На втором шаге рассчитываются коэффициенты модели: У 1 t= a 0 + a 1*У 2 pt + a 2*Х 1 t + et методом наименьших квадратов. Так как У 2 рt не зависит от et, то коэффициенты а 0, а 1, а 2, определенные методом наименьших квадратов будут эффективными из класса линейных и несмещенных коэффициентов.

Валентинов В. А. Эконометрика. Спасибо за внимание Москва Март 2013