Валентинов В А Эконометрика Модуль 5 Характеристики

Валентинов В. А. Эконометрика. Модуль 5. Характеристики временных рядов Тема 17. Временные ряды данных: характеристики и общие понятия Тема 18. Структура временного ряда Тема 19. Аддитивная и мультипликативная модели временных рядов Тема 20. Модели стационарных и нестационарных временных рядов и их идентификация

Валентинов В. А. Эконометрика. Тема 17. Временные ряды данных: характеристики и общие понятия 17. 1. Определение временного ряда 17. 2. Основные свойства экономического временного ряда 17. 3. Статистические характеристики временного ряда 17. 4. Периодограмма

Валентинов В. А. Эконометрика. 17. 1. Определение временного ряда Экономический временной ряд – временная последовательность значений показателя экономического процесса. Временной ряд переменной обозначается как Уt, где Уt – отдельное наблюдение в фиксированный момент времени t, называемое уровнем ряда, Уt - является характеристикой экономического процесса Уt - является случайной величиной, t (1, …, n) – порядковый номер времени; (tк+1 – tк) – постоянный временной шаг, через который измеряется значение переменной. В эконометрике нет ограничений на величину временного шага, обычно им могут быть: сутки, месяц, квартал, год, десятилетия. n – число уровней (длина, размер, количество значений, но не принято говорить объем выборки) временного ряда.

Валентинов В. А. Эконометрика. 17. 2. Основные свойства экономического временного ряда Приводим основные свойства экономического временного ряда: 1). Текущее состояние экономической системы испытывают влияния прошлых, настоящих и будущих значений переменных этой системы. 2). Для всех явлений в природе между причиной и следствием существует временной лаг или временная задержка. 3). Все временные экономические процессы происходят циклически, которые могут содержать периодические волны: короткие и длинные. 4). «Свежие» значения временного ряда оказывают большее влияние на его прогнозное значение, чем «старые» значения. 5). При построении доверительных интервалов прогноза и уравнения регрессии следует считать боле точным не среднее значение временного ряда, а его последнее значение. 6) В численных значениях временного ряда не должно быть пропусков. Если имеется пропуск, то он восстанавливается средним значением, обычно из ближайших к нему чисел. 7) В некоторой литературе к свойствам временного ряда относят три составляющих временного ряда: тренд, циклическую составляющую и случайное возмущение, которые более подробно изучаются в теме 18.

Валентинов В. А. Эконометрика. 17. 3. Статистические характеристики временного ряда Временные ряды могут иметь следующие статистические характеристики: 1) среднее арифметическое значение; 2) дисперсия, 3) автокорреляция, 4) автокорреляционная функция, 5) периодограмма.

Валентинов В. А. Эконометрика. Среднее арифметическое значение временного ряда Уt вычисляется по следующей формуле: Дисперсия временного ряда вычисляется по формуле S 2= (Σ(Уt-Ус)2)/(n-1)

Валентинов В. А. Эконометрика. Автокорреляция k - ого порядка временного ряда Уt – коэффициент корреляции r(Уt, Уt+k), рассчитанный между исходным временным рядом Уt и этим же временным рядом, только сдвинутым вперед на k дат Уt+k. Автокорреляция показывает степень влияния предыдущих значений временного на их последующие значения с временным сдвигом, равным k датам.

Валентинов В. А. Эконометрика. Автокорреляционная функция – зависимость коэффициентов автокорреляции от величины их порядка k. Автокорреляция может изменяться от – 1 до + 1. Если временный ряд содержит периодическую сезонную составляющую с периодом 4 месяца, то автокорреляционная функция будет иметь наибольшее положительное значение при к = 4, наименьшее отрицательное значение при к = 4/2= 2.

Валентинов В. А. Эконометрика. 17. 4. Периодограмма В эконометрической литературе встречается несколько видов периодограмм. Периодограмма временного ряда является графиком зависимости ошибки модели (Е) от периода периодической составляющей (Т), чем ближе значение периода Т к периоду периодической составляющей, тем меньше ошибка модели Е. Модель временного ряда с периодической составляющей имеет следующий вид: Уt = а 0 + а 1*t + а 2*Соs(2 t/T) + а 3*Sin(2 t/T) + еt где t- время, Т – период колебания, изменяющийся от 2 до 2 n, которые задает исследователь; a 0. a 1 , a 2, a 3 – коэффициенты уравнения регрессии, определяемый МНК. а 0 + а 1*t – линейная функция, превращающая нестационарный ряд в стационарный. Ошибка модели Е определяется с помощью функции ЛИНЕЙН.

Валентинов В. А. Эконометрика. Минимумы значений периодограммы указывают на наличие во временном ряду периодических составляющих с заданными периодами. Обнаруженные периоды характеризуют периодические составляющие временного ряда. Основной период имеет наименьшую ошибку модели, а кратные периоды или ложные периоды имеют увеличенную ошибку модели. Например, квартальная периодическая составляющая 3 мес. порождает эхо на периодах: 3 2=6 месяцев или полугодовой период, 3 3 =9 месяцев, 3 4 =12 месяцев или годовой период и т. д. (Кендел М. Временные ряды. - М. : Финансы и статистика, 1981, с. 110)

Валентинов В. А. Эконометрика. Тема 18. Структура временного ряда 18. 1. Структура временного ряда 18. 2. Тренд 18. 3. Сезонная составляющая 18. 4. Циклическая составляющая

Валентинов В. А. Эконометрика. 18. 1. Структура временного ряда Обычно временной ряд представляют в виде аддитивной модели, имеющей следующие компоненты: Уt = f 1 t + f 2 t + f 3 t + et, где f 1 t – тренд, плавно изменяющаяся компонента, которая отражает влияние факторов формирующих долговременную, как правило монотонную, общую тенденцию в изменениях признака временного ряда Уt; f 2 t – сезонная компонента, которая отражает повторяемость экономических процессов в течении не очень длительного периода (года, месяца, недели и т. д. ); f 3 t – циклическая компонента, которая отражает повторяемость экономических процессов в течении длительных периодов (например, влияние волн экономической активности Кондратьева, демографических спадов, циклов солнечной активности и т. д. ); et – случайная компонента (остатки), учитывающая влияние факторов, не вошедших в модель.

Валентинов В. А. Эконометрика. 18. 2. Тренд f 1 t – тренд, плавно изменяющаяся компонента, которая не должна влиять на периодическую составляющую временного ряда. Главное назначение тренда- перевести нестационарный временной ряд в стационарный. Поэтому наиболее оптимальной функцией, используемой для тренда временного ряда, является линейная функция, которая не влияет на периодические составляющие временного ряда. Компонента f 1 t (тренд) изучена очень хорошо. Имеется программа "Table. Curve 2 D", которая позволяет аппроксимировать тренд временного ряда с использованием более двух тысяч различных аналитических математических функций.

Валентинов В. А. Эконометрика. 18. 3. Сезонная составляющая f 2 t – сезонная компонента, которая отражает повторяемость экономических процессов в течение не очень длительного периода, является одной из составляющих периодических колебаний временного ряда.

Валентинов В. А. Эконометрика. 18. 4. Циклическая составляющая f 3 t – циклическая компонента, которая отражает повторяемость экономических процессов в течении длительных периодов может отражать влияние как сезонной компоненты, так и других периодических колебаний с различными периодами. Компонента f 3 t (циклическая) изучена слабо и требует решения трех проблем: 1) объяснения механизма появления периодических колебаний; 2) аналитического представления периодических колебаний; 3) экономической интерпретации периодических колебаний.

Валентинов В. А. Эконометрика. Причины периодических колебаний условно подразделяются на астрофизические и экономические. Астрофизические факторы, как правило, являются неуправляемыми, и их влияние носит глобальный характер. Известны периоды астрофизических факторов: 1) суточные и годовые, связанные с вращением Земли вокруг своей оси и Солнца; 2) месячные циклы, связанные с вращением Луны; 3) 11 - летние циклы солнечной активности, определяемые по числам Вольфа; 4) долгосрочные периоды, связанные с ледниковыми периодами, 5) смены полюсов Земли, 6) прецессии оси вращения Земли.

Валентинов В. А. Эконометрика. Изучение экономических причин возникновения периодических колебаний требует специальных исследований. В эконометрической литературе таких исследований явно недостаточно. Известны пятилетние циклы, связанные с переизбранием президентов, десятилетние периоды смены устаревшего оборудования; 50 - летние коньюнктурные циклы - Кондратьева и др.

Валентинов В. А. Эконометрика. Тема 19. Аддитивная и мультипликативная модели временных рядов 19. 1. Два вида моделей временных рядов 19. 2. Правила выбора моделей временных рядов 19. 3. Этапы построения модели временного ряда 19. 4. Примеры построения моделей временных рядов

Валентинов В. А. Эконометрика. 19. 1. Два вида моделей временных рядов Обычно временной ряд представляют в виде соответствующих аддитивной или мультипликативной моделей: а) Уt = f 1 t + f 2 t + f 3 t + et, б) Уt = f 1 t*f 2 t*f 3 t*et. имеющих следующие компоненты: f 1 t – тренд, плавно изменяющаяся компонента, которая отражает влияние факторов формирующих долговременную, как правило монотонную тенденцию в изменениях признака временного ряда Уt; f 2 t – сезонная компонента, которая отражает повторяемость экономических процессов в течение не очень длительного периода (года, месяца, недели и т. д. ); f 3 t – циклическая компонента, которая отражает повторяемость экономических процессов в течение длительных периодов (например, влияние волн экономической активности Кондратьева, демографических спадов, циклов солнечной активности и т. д. ); et – случайная компонента (остатки), учитывающая влияние факторов, не вошедших в модель.

Валентинов В. А. Эконометрика. 19. 2. Правила выбора моделей временных рядов Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонних колебаний. Аддитивную модель строят в том случае, если амплитуда колебаний приблизительно постоянна. В аддитивной модели временного ряда предполагаются значения сезонной компоненты постоянными для различных циклов. Мультипликативную модель строят в том случае, если амплитуда сезонних колебаний возрастает или уменьшается. В мультипликативной модели значения сезонной компоненты зависят от уровня временного ряда.

Валентинов В. А. Эконометрика. 19. 3. Этапы построения модели временного ряда Рассмотрим модели временних рядов, содержащие трендовую, сезонную и случайную составляющие. Уt = f 1 t + f 2 t + et, Уt = f 1 t*f 2 t*et. Построение аддитивной и мультипликативной модели сводится к расчету значений f 1 t, f 2 t, et для каждого уровня ряда. Процесс построения модели включает в себя следующие шаги. 1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. 2. Расчет значений сезонной компоненты f 2 t. 3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получене выравненных данных. 4. Расчет f 1 t, при условии устранения влияния сезонной компоненты. 5. Расчет значений временно ряда при совместном влиянии значений f 1 t и f 2 t. 6. Расчет ошибки модели.

Валентинов В. А. Эконометрика. 19. 4. Примеры построения моделей временных рядов

Валентинов В. А. Эконометрика.

Валентинов В. А. Эконометрика. Тема 20. Модели стационарных и нестационарных временных рядов и их идентификация 20. 1. Определение строго стационарных временных рядов 20. 2. Проверка стационарности временных рядов 20. 3. Модели стационарных временных рядов 20. 4. Модели нестационарных временных рядов

Валентинов В. А. Эконометрика. 20. 1. Определение строго стационарных временных рядов Стационарные временные ряды – это такие ряды вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Временной ряд Уt (t=1, 2, …, n) называется строго стационарным, если совместное распределение вероятностей n наблюдений y 1, y 2, …, yn такое же, как и n наблюдений y 1+ τ, y 2+ τ, …, yn+ τ при любых n, t, τ. Где ряды y 1, y 2, …, yn и y 1+τ , y 2+τ, …, yn+τ. являются сдвинутыми относительно друга на τ единиц или с лагом τ. Таким образом, свойства строго стационарных рядов не зависят от момента времени t. Временной ряд имеет три характеристики: - среднее значение, - дисперсия, -автокорреляция. Временной ряд будет стационарен, если: - среднее значение будет одинаковым на любом его отрезке, - дисперсия временного ряда будет одинаковой на любом его отрезке или гомоскедастичной (однородной, одинаковой), - автокорреляция является постоянной на любом участке временного ряда и зависит только от величины лага τ.

Валентинов В. А. Эконометрика. Временной ряд называется нестационарным, если характеристики временного ряда: - среднее значение, - дисперсия, - автокорреляционная функция зависят от времени. Например, временной ряд является нестционарным - если среднее значение временного ряда линейно зависит от времени, то это означает наличие во временном ряду линейной тенденции, - если дисперсия временного ряда изменяется во времени или является гетероскедастичной (неоднородной), - если автокорреляционная функция циклически изменяется, то это говорит о том, что временной ряд содержит периодические составляющие.

Валентинов В. А. Эконометрика. 20. 2. Проверка стационарности временных рядов Проверка стационарности временного ряда по характеристике среднее значение. Проверим на стационарность временной ряд по характеристике: среднее значение по следующим этапам. Этап 1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что среднее значение временного ряда является константой или коэффициент а 1 линейной модели равен нулю: H 0: а 1=0. Этап 2. Проверка нулевой гипотезы H 0: а 1=0 проводится с помощью критерия Стьюдента для коэффициента а 1 линейной модели Уt = а 0+а 1*t + et. Расчеты характеристик модели можно выполнить с помощью функции ЛИНЕЙН. Если нулевая гипотеза принимается, то считается, что временной ряд имеет среднее значение, не изменяющееся во времени, т. е. временной ряд не содержит возрастающей или снижающейся тенденции.

Валентинов В. А. Эконометрика. Проверка стационарности временного ряда по характеристике автокорреляции. Стационарный временной ряд не должен содержать одну или несколько периодических составляющих. Периодическая составляющая проверяется с помощью визуального анализа графика временного ряда и с помощью автокорреляционной функции. Если в автокорреляционной функции наблюдается локальный минимум или максимум, то это указывает на наличие во временном ряду периодической составляющей.

Валентинов В. А. Эконометрика. Проверка стационарности временного ряда по признаку дисперсии временного ряда. Проверку нулевой гипотезы о том, что дисперсии временного ряда одинаковы на любом отрезке (гомоскедастичны), осуществим по критерию Фишера. Разделим временной ряд на три равных участка, на первом и третьем участке вычислим дисперсии временного ряда и сравним между собой по критерию Фишера. Если фактическое значение критерия Фишера будет больше табличного, то нулевая гипотеза отвергается и утверждается, что дисперсии временного ряда являются гетероскедастичными.

Валентинов В. А. Эконометрика. 20. 3. Модели стационарных временных рядов Если временной ряд стационарен, то это означает, что численные значения временного ряда изменяются около среднего значения с примерно одинаковой амплитудой без четко выраженных периодических колебаний. Стационарные временные ряды могут получаться после моделирования нестационарного временного ряда, остатки которого являются стационарными. К основным линейным моделям стационарных временных рядов относятся: 1) модели авторегрессии; 2) модели скользящего среднего; 3) модели авторегрессии и скользящего среднего.

Валентинов В. А. Эконометрика. Модели авторегрессии Уровень временного ряда, представленного моделью авторегрессии порядка р, можно представить следующим образом: Уt=δ 1 Уt-1+δ 2 Уt-2+…+δp. Уt–p+νt, где p – порядок модели авторегрессии; δt – коэффициенты модели авторегрессии, подлежащие оцениванию; νt – белый шум (случайная величина с нулевым математическим ожиданием). Модель авторегрессии порядка р обозначается как АР(р) или AR(p). На практике чаще всего используются модели авторегрессии первого, второго, максимум третьего порядков. Модель авторегрессии первого порядка АР(1) называется «Марковским процессом» , потому что значения переменной У в текущий момент времени t зависят только от значений переменной У в предыдущий момент времени (t– 1). Данная модель имеет вид: Уt=δУt– 1+νt. Модель авторегрессии второго порядка АР(2) называется «процессом Юла» . Данная модель имеет вид: Уt=δ 1 Уt-1+δ 2 Уt-2+νt.

Валентинов В. А. Эконометрика. Модели скользящего среднего относятся к простому классу моделей временных рядов с конечным числом параметров, которые можно получить, представив уровень временного ряда как алгебраическую сумму членов ряда белого шума с числом слагаемых q. Общая модель скользящего среднего порядка q имеет вид: Уt=νt–φ1νt– 1–φ2νt– 2–…–φqνt–q, где q – порядок модели скользящего среднего; φt – неизвестные коэффициенты модели, подлежащие оцениванию; νt – белый шум. Модель скользящего среднего порядка q обозначается как CC(q) или MA(q). На практике чаще всего используются модели скользящего среднего первого CC(1) и второго порядков CC(2). Качество модели скользящего среднего зависит от белого шума, который можно получить с помощью функции Ехсе 1. Если полученный белый шум как - то напоминает временной ряд, то качество модели получается хорошим, в противном случае не удается построить достоверную модель скользящего среднего.

Валентинов В. А. Эконометрика. Модели авторегрессии и скользящего среднего Для достижения большей гибкости модели временных рядов при эконометрическом моделировании в неё включают как члены авторегрессии, так и члены скользящего среднего. Подобные модели получили название смешанных моделей авторегрессии и скользящего среднего и также относятся к линейным моделям стационарных временных рядов. Смешанная модель авторегрессии и скользящего среднего обозначается как АРСС(p, q) или ARMA(p, q). Чаще всего на практике используется смешанная модель АРСС(1) с одним параметром авторегрессии p=1 и одним параметром скользящего среднего q=1. Данная модель имеет вид: Уt=δУt– 1+νt–φνt– 1, где δ – параметр процесса авторегрессии; φ – параметр процесса скользящего среднего; νt – белый шум.

Валентинов В. А. Эконометрика. 20. 4. Модели нестационарных временных рядов Если временной ряд нестационарен, то это означает, что временной ряд содержит или линейную тенденцию или гетероскедастичность остатков или автокорреляцию остатков или периодическую составляющую или все вместе. Рассмотрим следующие модели нестационарных временных рядов: - модель периодических составляющих временных рядов. - модель гетероскедастичности временных рядов. - модель автокорреляции остатков.

Валентинов В. А. Эконометрика. Модель периодических составляющих временных рядов Представим временной ряд в виде аддитивной модели, имеющей следующие компоненты: Уt = f 1 t + f 2 t+ f 3 t + et. Моделирование тренда f 1 t Включение в модель Уt = f 1 t + et тренда преследует две цели: первая – определить долговременную тенденцию временного ряда для получения долгосрочных прогнозов; вторая – преобразование нестационарного временного ряда в стационарный, для выделения в них периодических составляющих. Тренд f 1 t обычно воспроизводится с помощью следующих математических функций, которые слабо искажают периодические составляющие: f 1 t= a 0 + a 1*t, f 1 t= a 0 + a 1*lnt, f 1 t= a 0 + a 1/t. Наибольшее распространение получила линейная функция, так как она не оказывает влияния на периодическую составляющую временного ряда. Все остальные функции искажают периодическую составляющую временного ряда, поэтому не получили широкого применения. Коэффициенты модели Уt = f 1 t + et определяются методом наименьших квадратов.

Валентинов В. А. Эконометрика. Моделирование сезонной и циклических компонент (f 2 t, f 3 t). Сезонная и циклическая компоненты являются периодическими с разными периодами. Обычно в экономических временных рядах на длинно периодическую циклическую составляющую накладывается сезонная волна. Процесс моделирования сезонной и циклической компонент выполняется в следующей последовательности. Шаг 1. Выбор модели для выявления периодических составляющих. Для выявления периодических составляющих временного ряда используется следующая модель: Уt = a 0 + a 1*t + a 2*Sin(2 t/T) + a 3*Cos(2 t/T) + et, где а 0, а 1, а 2, а 3 – коэффициенты, определяемые методом наименьших квадратов; (а 0 + а 1*t) = ft – линейная функция (тренд), которая приводит временной ряд к стационарному виду с нулевым средним значением, без искажения периодических составляющих остатка; Sin(2 t/T), Cos(2 t/T) – тригонометрические функции периодической составляющей временного ряда, сумма которых позволяет учесть начальную фазу колебания; t – порядковый номер времени; Т – период или длина волны циклической составляющей временного ряда.

Валентинов В. А. Эконометрика. (2 t/T) - аргумент тригонометрической функции, выраженный в радианах; 1/Т – частота, численно равная количеству колебаний в единицу времени; Шаг 2. Создается база данных. Х 1 - t - время, Х 2 - Sin(2 t/T), Х 3 - Cos(2 t/T), У - значения показателя временного ряда, Т - период циклической составляющей, значение которого вводит исследователь в пределах от 3 до удвоенной длины временного ряда. Шаг 3. Вычисление ошибки модели Е Уt = a 0 + a 1*t + a 2*Sin(2 t/T) + a 3*Cos(2 t/T) + et с помощью статистической функции ЛИНЕЙН. Переход к шагу 2 с изменением периода Т. Шаг 4. Построение периодограммы - графика зависимости ошибки модели Е временного ряда от периода Т циклического фактора, включенного в модель. Строится периодограмма - график зависимости Е от Т.

Валентинов В. А. Эконометрика. Шаг 5. Определение периодических составляющих временного ряда. Определяются такие значения периодов Т, при которых ошибка модели имеет локальные минимумы. Обнаруженные периоды характеризуют периодические составляющие временного ряда, среди которых надо исключить ложные периоды. Ложная периодичность относится к периодам (эхам), которые являются кратными величине основного периода. Шаг 6. Определение достоверных периодических составляющих временного ряда. Для определения достоверности периодических составляющих строится модель вида: Уt = a 0 + a 1*t + a 2*Sin(2 t/T 1) + a 3*Cos(2 t/T 1) + a 4*Sin(2 t/T 2) + a 5*Cos(2 t/T 2) + … + et, где Т 1 и Т 2 - периоды выделенных периодических составляющих. Анализ характеристик многофакторной модели производится обычным образом. Коэффициенты модели, достоверные по критерию Стьюдента, укажут на достоверность наличия соответствующей периодической составляющей временного ряда.

Валентинов В. А. Эконометрика. Шаг 7. Построение модели временного ряда. Окончательная модель временного ряда с включением всех компонент может иметь следующий вид: Уt = a 0 + a 1*t + a 2*Sin(2 t/T 1) + a 3*Cos(2 t/T 1) + a 4*Sin(2 t/T 2) + a 5*Cos(2 t/T 2) + et, где a 0 + a 1 t =f 1 t - тренд, a 2*Sin(2 t/T 1) + a 3*Cos(2 t/T 1) = f 2 t – сезонная компонента, Т 1 = период сезонной компоненты, a 4*Sin(2 t/T 2) + a 5*Cos(2 t/T 2) = f 3 t – циклическая компонента, Т 2 – период циклической компоненты. еt – остатки модели. Коэффициенты модели рассчитываются методом наименьших квадратов.

Валентинов В. А. Эконометрика. Модель гетероскедастичности временных рядов Гетероскедастичность остатков - неоднородность остатков, дисперсии остатков для каждого фиксированного значения Х достоверно отличаются между собой. На рис. 20. 2 показан пример временных рядов с гетероскедастичными остатками. У Х Рис. 20. 2. Пример гетероскедастичности остатков

Валентинов В. А. Эконометрика. Причины появления гетероскедастичности остатков: - плохая спецификация модели, - наличие стратификации: в базе данных двух и более групп объектов, свойства которых сильно отличаются между собой. Последствия гетероскедастичности: - уравнение регрессии может описывать свойства тех объектов, которых вообще нет, - доверительные интервалы регрессии и прогноза не соответствуют фактическим значениям остатков. Критерии проверки достоверности гетероскедастичности. Для обнаружения гетероскедастичности используется: - визуальный метод. Для проверки достоверности гетероскедастичности используется: - критерий Гольдфельда-Квандтома. Критерий Гольдфельда-Квандтома использует критерий Фишера анализа двух дисперсий остатков, определенных для двух групп остатков, взятых определенным образом из совокупности всех остатков.

Валентинов В. А. Эконометрика. Методы устранения гетероскедастичности остатков. Известно несколько методов устранения гетероскедастичности остатков: - метод выделения однородных объектов, - обобщенный метод наименьших квадратов или метод Эйткена. Метод выделения однородных объектов. Самый простой метод это выделение группировка однородных объектов, для которых остатки модели будут однородными. Обобщенный метод наименьших квадратов или метод Эйткена. Линейное регрессионное уравнение имеет следующий вид: Уi = a 0 + a 1*XI + ei. Если все уравнение разделить на модуль остатков ei, то для новых переменныхостатки новой модели будут принимать значения 1 или -1. Следовательно, остатки новой модели будут гомоскедастичными.

Валентинов В. А. Эконометрика. Модель автокорреляции остатков Если из временного ряда исключить линейную тенденцию Уt – ( а 0 +а 1*Хt) = et, то остатки модели et, могут иметь следующие закономерности их поведения: - быстро изменяться около среднего значения остатков, равных нулю; - плавно изменяться по периодической функции; - изменяться хаотично. Если остатки модели имеют определенную закономерность в их изменении, то появляется возможность улучшить модель и повысить точность прогнозирования. Анализ автокорреляции остатков проводился в теме 6.

Валентинов В. А. Эконометрика. Модели, учитывающие автокорреляцию остатков Если линейная модель Уt = а 0 +а 1*Хt + et содержит автокорреляцию остатков первого порядка, то для ее устранения можно использовать следующую модель Уt = а 0 +а 1*Хt + р*et-1 + vt, где р - коэффициент автокорреляции первого порядка; et-1 - лаговая переменная остатков первого порядка; еt = р*еt-1 + vt; vt - остатки новой модели. Интрига предложенной модели заключается в том, что одновременно нельзя найти коэффициенты а 0, а 1 и р.

Валентинов В. А. Эконометрика. Эконометристами были предложены несколько методов определения коэффициентов модели Уt = а 0 +а 1*Хt + р*et-1 + vt. Рассмотрим наиболее простой - метод наименьших квадратов, который выполняется в следующей последовательности: - методом наименьших квадратов определяются коэффициенты а 0, а 1 модели Уt = а 0 +а 1*Хt + et - вычисляются остатки модели et = Уt - (a 0 + a 1*Xt) - методом наименьших квадратов определяется коэффициент р модели et = p*et-1 + vt.

Валентинов В. А. Эконометрика. Прогнозирование по модели с коэффициентом автокорреляции производится по формуле У пр(n+1) = a 0 + a 1*X(n+1) + p*e(n), где Упр( n+1) - прогнозное значение зависимой переменной на прогнозный период, - e(n) - значение остатка в предшествующий период. - а 0 +а 1*Х(n +1) - обычный прогноз по линейной функции, - р*е(n) - поправка прогноза на автокорреляцию остатка. Улучшение прогноза с использованием автокорреляции остатков первого порядка возможно только при прогнозировании на одну дату.

Валентинов В. А. Эконометрика. Спасибо за внимание Москва Март 2013