Валентинов В А Эконометрика Модуль 4 Нелинейные

Валентинов В. А. Эконометрика. Модуль 4. Нелинейные модели регрессии Тема 13. Нелинейные зависимости в экономике Тема 14. Виды нелинейных уравнений регрессии Тема 15. Линеаризация нелинейных моделей регрессии Тема 16. Оценка качества нелинейных уравнений регрессии

Валентинов В. А. Эконометрика. Тема 13. Нелинейные зависимости в экономике 13. 1. Нелинейные тенденции 13. 2. Нелинейность зависимости рознично товарооборота от количества продавцов 13. 3. Нелинейные зависимости эффективности от факторов 13. 4. Нелинейные зависимости производства продукции от факторов

Валентинов В. А. Эконометрика. 13. 1. Нелинейные тенденции Нелинейные тенденций экономических процессов являются составным элементом науки «нелинейная динамика» . Нелинейная тенденция - англ. tendency, nonlinear; нем. Tendenz, nichtlineare - направленность процесса, при котором уровень изменения У не является постоянным, а изменяется от одного значения фактора к другому. В графическом виде не образует прямую линию.

Валентинов В. А. Эконометрика. При наличии явной нелинейной тенденции нужно выполнить качественный анализ зависимости У от Х для того, чтобы избежать ошибок спецификации при выборе вида тренда. Качественный анализ предполагает изучение проблем возможного наличия в исследуемом ряду поворотных точек и изменения темпов прироста, начиная с определенного значения фактора. В том случае, если уравнение тренда выбрано неправильно то результаты прогнозирования У будут недостоверными по причине ошибки спецификации.

Валентинов В. А. Эконометрика. 13. 2. Нелинейность зависимости рознично товарооборота от количества продавцов Если в магазине имеется очередь, то увеличение количества продавцов приводит к пропорциональному росту товарооборота. Если очередь в магазине отсутствует, то увеличение количества продавцов не будет приводить к росту товарооборота. Указанная закономерность очень хорошо видна при работе кассиров в крупных гипермаркетах. Если в некоторый интервал времени несколько кассиров не обслуживают покупателей, то менеджер уменьшает количество кассиров. 3. 3. Нелинейные зависимости эффективности от факторов Приводим примеры нелинейной зависимости эффективности производства от факторов: - экономическая эффективность производства возрастает или убывает непропорционально изменению масштабов производства.

Валентинов В. А. Эконометрика. 13. 4. Нелинейные зависимости производства продукции от факторов Можно выделить следующие нелинейные зависимости производства продукции от факторов: - величина затрат на производство партии деталей возрастает в связи с увеличением размеров партии, но не пропорционально им; - непропорциональные зависимости между объемом производства и затратами; - непропорциональные зависимости между количеством используемого в производстве компонента и некоторыми показателями качества готовой продукции; -непропорциональные зависимости между затратами сырья и физическими параметрами (давление, температура и т. п. ) соответствующего производственного процесса; - непропорциональные зависимости между выручкой и объемом реализации.

Валентинов В. А. Эконометрика. Тема 14. Виды нелинейных уравнений регрессии 14. 1. Ограничения применения МНК 14. 2. Линейная относительно коэффицентов, переменных аддитивная модель 14. 3. Нелинейные модели, которые являются внутренне линейными 14. 4. Нелинейные модели, которые являются внутренне нелинейными

Валентинов В. А. Эконометрика. 14. 1. Ограничения применения МНК Метод наименьших квадратов применим к линейным (относительно коэффициентов и параметров) аддитивным регрессионным уравнениям следующего вида: У = а 0 + а 1*Х 1 + а 2*Х 2 + … ак*Хк + е, где - а 0, а 1, … -коэффициенты регрессии являются линейными и соединены аддитивно (сложением), -Х 1, Х 2, … -переменные находятся в первой степени.

Валентинов В. А. Эконометрика. 14. 2. Линейная относительно коэффициентов, переменных аддитивная модель Приводим классификацию эконометрических моделей по трем признакам: коэффициентам, переменным и остаткам. Модель считается линейной по коэффициентам и переменным с аддитивными остатками, если выполняются следующие условия: - коэффициенты имеют первую степень; - переменные имеют первую степень; - коэффициенты связаны аддитивно; - остатки включены в модель аддитивно. Пример линейной модели по коэффициентам, переменным и аддитивным остаткам: Уi = а 0 + а 1*Хi + еi – линейная однофакторная модель. Уi= a 0 + a 1*Х 1 i + a 2*Х 2 i + a 3*Х 3 i + ei- многофакторная линейная модель, где Х 1, Х 2, Х 3 - факторы, независимые переменные, оказывающие влияние на У.

Валентинов В. А. Эконометрика. 14. 3. Нелинейные модели, которые являются внутренне линейными Нелинейные модели называются внутренне линейными, если после преобразований они могут быть отнесены к линейному виду. Приводим нелинейные модели, которые являются внутренне линейными. Модель считается нелинейной по коэффициентам, нелинейной по переменным и мультипликативным остаткам, если выполняются следующие условия: - коэффициенты имеют первую степень, но некоторые входят в состав степени; - переменные имеют степень, отличную от 1; - коэффициенты связаны мультипликативно; - остатки включены в модель мультипликативно. Пример модели, нелинейной по коэффициентам, нелинейной по переменным и мультипликативным остаткам: Уi = a 0*Xia 1*ei – степенная модель

Валентинов В. А. Эконометрика. Модель считается нелинейной по коэффициентам, линейной по переменным и мультипликативным остаткам, если выполняются следующие условия: - коэффициенты имеют степень, отличную от 1; - переменные имеют первую степень; - коэффициенты связаны мультипликативно; - остатки включены в модель мультипликативно. Пример модели, нелинейной по коэффициентам, линейной по переменным с мультипликативными остатками: Уi = a 0*a 1 xi*ei – показательная модель

Валентинов В. А. Эконометрика. Модель считается нелинейной по коэффициентам, нелинейной по переменным с мультипликативными остатками, если выполняются следующие условия: - коэффициенты имеют первую степень и входят в состав степени; - переменные имеют первую степень, но входят в состав степени; - коэффициенты связаны аддитивно, но входят в состав степени; - остатки включены в модель мультипликативно. Пример модели, нелинейной по коэффициентам, нелинейной по переменным с мультипликативными остатками: Уi = e a 0+a 1*Хi *еi – экспоненциальная модель.

Валентинов В. А. Эконометрика. Следующие виды нелинейных моделей: Уi = a 0*Xia 1*ei – степенная модель Уi = a 0*a 1 xi*ei – показательная модель Уi = e a 0+a 1*Хi *еi – экспоненциальная модель являются внутренне линейными, так как после преобразований могут быть приведены к линейному виду. Например, степенную модель, отражающую зависимость спроса от цены Уi = a 0*Xia 1*ei можно считать внутренне линейной, так как после логарифмирования получим модель: ln. Уi = lna 0+a 1*ln. Xi+lnei, После замены переменных получим линейную модель: У 1 i = b 0 + b 1*Х 1 i + vi , где У 1 i =ln. Уi, b 0=lna 0, Х 1 i=ln. Xi, vi=lnei Коэффициенты b 0 и b 1 линейной модели можно рассчитать с помощью метода наименьших квадратов

Валентинов В. А. Эконометрика. 14. 4. Нелинейные модели, которые являются внутренне нелинейные Нелинейные модели являются внутренне нелинейными, если их нельзя привести к линейному виду. Внутренне нелинейными являются модели вида: Уi = a 0*Xia 1 + ei Коэффициенты нелинейных моделей, которые являются внутренне нелинейными, можно рассчитать с помощью интерактивных методов. Например, с помощью программы Ехсе 1 «Поиск решения» можно найти коэффициенты любых моделей: необходимо найти такие коэффициенты модели, при которых сумма квадратов остатков (целевая функция) будет минимальной.

Валентинов В. А. Эконометрика. Тема 15. Линеаризация нелинейных моделей регрессии 15. 1. Перечень методов линеаризации 15. 2. Метод замены переменной 15. 3. Метод логарифмирования 15. 4. Метод обращения и разложения в ряд Тейлора

Валентинов В. А. Эконометрика. 15. 1. Перечень методов линеаризации Процесс преобразования нелинейной модели в линейную называется линеаризацией. Можно выделить следующие методы линеаризации: 1 - метод замены переменной; 2 - метод логарифмирования; 3 - метод обращения; 4 - метод разложение функции в ряд Тейлора. После преобразования нелинейной модели в линейную коэффициенты линейной функции можно рассчитать методом наименьших квадратов с помощью функции ЛИНЕЙН.

Валентинов В. А. Эконометрика. 15. 2. Метод замены переменной осуществляется в том случае, если в исходной модели коэффициенты находятся в первой степени и соединены аддитивно, а переменные находятся в степени, отличной от единицы. Пример 1. Дана У=а 0+а 1 Х+а 2 Х 2 +е – параболическая модель. Если произвести замену: Х=Z 1, Х 2 =Z 2, то получится новая линейная модель: У=а 0+а 1*Z 1 + а 2*Z 2 + е. Пример 2. У = а 0+а 1/Х + е – гиперболическая модель. Если произвести замену: 1/Х=Z, то получится новая линейная модель: У=а 0+а 1 Z + е.

Валентинов В. А. Эконометрика. 15. 3. Метод логарифмирования осуществляется в том случае, если в исходной модели коэффициенты находятся в степени, отличной от единицы или находятся в степени переменной, остатки модели соединены мультипликативно. Пример. Дана У= а 0*Xa 1 е – экспоненциальная модель. Произведем логарифмирование левой и правой части исходного уравнения, получим нелинейную аддитивную модель: ln. У = lna 0+a 1*ln. X+ lne Если произвести замену: ln. У=Z 1, lna 0 = Z 2, ln. X = Z 3 , lne = v, то получится новая линейная аддитивная модель: Z 1= Z 2+а 1 Z 3 + v, коэффициенты которой рассчитываются методом наименьших квадратов, например с помощью функции ЛИНЕЙН. Если в выражении lna 0 = Z 2 значение Z 2 найдено, то а 0 определяется потенцированием, по формуле a 0=е. Z 2 = ехр(Z 2)

Валентинов В. А. Эконометрика. 15. 4. Метод обращения и разложения в ряд Тейлора Метод обращения используется в том случае, если исходная модель представлена в виде дроби, где в числителе стоит единица. Пример 1. У= 1/(а 0+а 1*Х+е) – гипербола 2. Если произвести замену: 1/У=Z 1 , то получится новая линейная аддитивная модель: Z 1= а 0+а 1*Х+е, коэффициенты которой рассчитываются с помощью функции ЛИНЕЙН. Метод разложение функции в ряд Тейлора. Если модель является внутренне нелинейной, т. е. ее нельзя преобразовать в линейную функцию, то эту функцию раскладывают в ряд Тейлора. Пример 2. У= а 0*Xa 1 +е – экспоненциальная модель, в которой остатки включены аддитивно, при этом модель становится внутренне нелинейной, так как нельзя привести к линейному виду, по тому, что нельзя найти логарифм суммы (а 0*Xa 1 +е). Метод разложения функции в ряд Тейлора не получил широкого распространения в эконометрических исследованиях.

Валентинов В. А. Эконометрика. Тема 16. Оценка качества нелинейных уравнений регрессии 16. 1. Показатели качества нелинейных уравнений регрессии 16. 2. Абсолютная и относительная ошибка модели 16. 3. Коэффициент детерминации и критерий Фишера 16. 4. Использование функции ЛИНЕЙН для расчета качества нелинейной модели

Валентинов В. А. Эконометрика. 16. 1. Показатели качества нелинейных уравнений регрессии Если определены коэффициенты нелинейной модели, то показателями качества нелинейной модели могут быть: 1. Е - абсолютная ошибка модели, 2. Е% -процент ошибки модели, 3. R 2 - коэффициент детерминации, 4. F - критерий Фишера.

Валентинов В. А. Эконометрика. 16. 2. Абсолютная и относительная ошибка модели Показатели качества нелинейной модели – абсолютная и относительная ошибка модели вычисляются по следующим формулам

Валентинов В. А. Эконометрика. 16. 3. Коэффициент детерминации и критерий Фишера Показатель качества нелинейной модели: коэффициент детерминации вычисляется по формуле Показатель качества нелинейной модели: Критерий Фишера вычисляется по формуле: Табличное значение критерия Фишера имеет следующие характеристики: F(α=0, 05; m 1 = k-1; m 2=n-k) n - объем выборки, k - количество коэффициентов в модели, включая свободный коэффициент. Проверка достоверности нелинейной модели по критерию Фишера имеет стандартную последовательность.

Валентинов В. А. Эконометрика. 16. 4. Использование функции ЛИНЕЙН для расчета качества нелинейной модели Если для линеаризации использовался метод подстановки, то для оценки качества нелинейной модели можно использовать характеристики, рассчитанные инструментами Ехсе 1: функцией ЛИНЕЙН или программой «Регрессия» . Если для линеаризации использовался метод логарифмирования или обращения, то коэффициенты нелинейных моделей и ее характеристики определяются с помощью функции ЛИНЕЙН по преобразованным данным, поэтому полученные характеристики качества модели нельзя использовать для исходных значений. В этом случае показатели качества модели рассчитываются по соответствующим формулам с использованием табличного процессора ЕХСЕ 1.

Валентинов В. А. Эконометрика. Спасибо за внимание Москва Март 2013 г.