Валентинов В А Эконометрика Модуль 2 Метод наименьших

Валентинов В. А. Эконометрика. Модуль 2. Метод наименьших квадратов Тема 5. Оценка параметров линейных уравнений регрессии Тема 6. Предпосылки МНК, методы их проверки Тема 7. Свойства оценок параметров эконометрической модели, получаемых при помощи МНК Тема 8. Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК)

Валентинов В. А. Эконометрика. Тема 5. Оценка параметров линейных уравнений регрессии Постановка задачи метода наименьших квадратов: необходимо определить такие значения коэффициентов а 0 и а 1, при которых сумма квадратов остатков ei = Уi – (а 0 + а 1*Хi) регрессионной модели Уi = а 0 + а 1*Хi + ei будет минимальной.

Валентинов В. А. Эконометрика. Задача 5. 1 Имеются численные значения двух показателей: количество продавцов и розничного товарооборота по четырем выборочным однородным филиалам одной фирмы. Таблица 1. - База данных по четырем филиалам одной фирмы i Хi Уi 1 2 3 4 5 1 3 2 4 5 4 6 7 10 ? Где i - номер филиала фирмы, Х - количество продавцов (чел. ), У - величина розничного товарооборота (тыс. руб. ). Необходимо определить такие оптимальные значения коэффициентов а 0 и а 1 регрессионной модели Уi = а 0 + а 1*Хi + ei, при которых сумма квадратов остатков будет минимальной ∑еi 2 -> min.

Валентинов В. А. Эконометрика. Решение. Представим уравнение Уi= a 0 + a 1*Xi + еi в развернутом виде: i Х У 4= 1*a 0 + 1*a 1 + е 1 1 4 1 6= 1*a 0 + 3*a 1 + е 2 2 3 6 2 3 7 7= 1*a 0 + 2*a 1 + е 3 4 4 10 10= 1*а 0 + 4*а 1 + е 4 Представим полученную систему уравнений в матричном виде: . У= XА + е, где i i

Валентинов В. А. Эконометрика. Метод наименьших квадратов заключается в том, что он позволяет определить такие значения коэффициентов а 0 и а 1, при которых сумма квадратов остатков будет минимальной: е'е min, где е= У – ХА. е'е= (У - ХА)'(У - ХА) = У'У - 2*Х'УА + Х'Х(А)2. Возьмем первую производную от е'е по А, приравняем ее к нулю и определим оценки параметров модели. d(e'e) ---- = -2*Х'У + 2*Х'ХА= 0. d. А После несложных преобразований можно получить: Х'ХА= Х'У - система нормальных уравнений, представленная в матричном виде,

Валентинов В. А. Эконометрика. Используя выражение Х'ХА= Х'У , определим матрицу А А = (Х'Х)-1 Х'У- расчетная формула коэффициентов линейной модели. Представим систему нормальных уравнений Х'ХА= Х'У в развернутом виде:

Валентинов В. А. Эконометрика. Решим систему уравнений и получим формулы расчета коэффициентов, представленных в скалярном виде: a 0= Уc - a 1*Хc, где Хc, Ус - средние значения переменных Х и У. Приводим расчеты коэффициентов в скалярном виде. Хi 1 3 2 4 Суммы Уi 4 6 7 10 Средние 2, 5 а 1 = а 0 = Хi-Хс Уi -Ус (Хi-Хс)*(Уi -Ус) -1, 5 0, 5 -0, 5 1, 5 -2, 75 -0, 75 0, 25 3, 25 4, 125 -0, 375 -0, 125 4, 875 8, 5 6, 75 1, 7 2, 5 У=2, 5+1, 7*Х+е (Хi-Хс)2 2, 25 0, 25 2, 25 5

Валентинов В. А. Эконометрика. Произведем расчеты коэффициентов линейного уравнения с помощью матричных операций. Расчетная формула коэффициентов, представленная в матричном виде: А = (Х'Х)-1 Х'У читается следующим образом: вектор столбец значений коэффициентов уравнения регрессии равен транспонированной матрице Х, умноженной на исходную матрицу Х, от результата умножения ищется обратная матрица, которая умножается на транспонированную матрицу Х, полученный результат умножается на исходную матрицу У. Выполним действия в той последовательности, как была прочитана формула расчета значений коэффициентов уравнения регрессии. Исходные значения матриц Х и У 1 Х' = Х'Х = 1 1 1 3 2 4 У= 1 Х= 1 1 3 2 4 (Х'Х)-1 = 1 4 10 30 6 7 10 1, 5 -0, 5 0, 2 (Х'Х)-1 Х' = 1 -0, 3 А = (Х'Х)-1 Х'У = 0 0, 1 2, 5 1, 7 Ур = а 0+а 1 Х = 2, 5 + 1, 7 0, 5 -0, 1 = а 0 = а 1 *Х -0, 5 0, 3

Валентинов В. А. Эконометрика. Вопросы тестов i-exam. ru Тема: Оценка параметров линейных уравнений регрессии в 1 При методе наименьших квадратов параметры уравнения парной линейной регрессии определяются из условия ______ остатков. V - минимизации суммы квадратов - равенства нулю суммы квадратов - минимизации модулей - равенства нулю Решение: При методе наименьших квадратов параметры уравнения парной линейной регрессии определяются из условия минимизации суммы квадратов остатков. Эконометрика. Краткий курс: учеб. пособие / С. А. Айвазян, С. С. Иванова. – М. : Маркет ДС, 2007. – С. 59– 61.

Валентинов В. А. Эконометрика. Вопросы тестов i-exam. ru Тема: Оценка параметров линейных уравнений регрессии в 2 Для эконометрической модели уравнения регрессии ошибка модели определяется как ______ между фактическим значением зависимой переменной и ее расчетным значением. V - разность - сумма квадратов разности - квадрат разности - сумма разности квадратов

Валентинов В. А. Эконометрика. Тема 6. Предпосылки МНК, методы их проверки 6. 1. Предпосылки МНК 6. 2. Проверка первой, второй предпосылок МНК 6. 3. Проверка третьей, четвертой предпосылок МНК 6. 4. Проверка пятой предпосылки МНК

Валентинов В. А. Эконометрика. 6. 1. Предпосылки МНК При оценке параметров и уравнения регрессии Уi = + Xi+ i применяется метод наименьших квадратов (МНК). На основании выборочных данных, взятых из генеральной совокупности, методом наименьших квадратов рассчитываются значения коэффициентов модели Уi = а+в. Хi+еi. где а и в являются оценками параметров и , - еi – остатки модели, которые являются отдельными реализациями возмущения i. Так как возмущения i относятся к генеральной совокупности и исследователю не известны, то на них накладываются определенные ограничения в виде предпосылок МНК. Если предпосылки МНК относительно возмущения i выполняются, то полученные численные значения коэффициентов а и b, являющиеся оценками параметров и , будут обладать свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности. Проверять предпосылки МНК относительно i будем с помощью остатков еi модели Уi = а+в. Хi+еi.

Валентинов В. А. Эконометрика. Приводим следующие пять предпосылок МНК относительно остатков еi: 1 – остатки являются случайными величинами; 2 - средняя величина остатков равна нулю, остатки не зависят от Х; 3 – остатки являются гомоскедастичными (однородными) — дисперсии остатков являются одинаковыми для всех интервалов значений Х; 4 - отсутствие автокорреляции остатков или отсутствие связи остатков между собой; 5 – остатки подчиняются нормальному закону распределения. (Эконометрика/Елисеева, 2004, стр. 156 -157) Имеется следующее ограничение применения МНК применим к моделям, которые являются линейными относительно параметров и переменных, коэффициенты которых соединены аддитивно.

Валентинов В. А. Эконометрика. 6. 2. Проверка первой, второй предпосылок МНК Проверка первой предпосылки Для проверки случайного характера остатков строится график зависимости остатков е, от теоретических значений результативного признака (рис. 2). Рис. 2. - Зависимость случайных остатков еi, от теоретических значений. Если на графике получена горизонтальная полоса, то остатки е, представляют собой случайные величины и расчетные значения Ур хорошо аппроксимируют фактические значения У.

Валентинов В. А. Эконометрика. Проверка второй предпосылки Вторая предпосылка имеет две составляющих: - среднее значение остатков должно равняться нулю или сумма остатков модели должна равняться нулю; - остатки не должны зависеть от значений Хi. Если коэффициенты определены МНК, то сумма остатков равняется нулю Σеi = 0 выполняется для линейных моделей. Если уравнение регрессии проходит через точку Хс Ус , то сумма остатков будет равна нулю

Валентинов В. А. Эконометрика. Для проверки независимости остатков еi от значений Хi строится график зависимости остатков еi от Хi Рис. 6. 3 – График зависимости остатков е от Х Если остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, то они независимы от значений Xj. Если же график показывает наличие зависимости еi и Xj, то возможно улучшение модели с помощью выбора более лучшей математической функции.

Валентинов В. А. Эконометрика. 6. 3. Проверка третьей, четвертой предпосылок МНК Проверка третьей предпосылки. В соответствии с третьей предпосылкой МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной (однородной, одинаковой). Если дисперсии остатков отличаются между собой, то это свойство остатков называется гетероскедастичностью (неоднородной, разной). Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть на полях корреляции (рис. 3). Рис. 3 - Примеры гетероскедастичности остатков На рис. 3 а остатки являются не однородными (разными), дисперсия остатков растет по мере увеличения Х На рис. 3 б – дисперсия остатков уменьшается в зависимости от Х.

Валентинов В. А. Эконометрика. Последствия гетероскедастичности: • уравнение регрессии может описывать свойства тех объектов, которых вообще нет; • доверительные интервалы регрессии и прогноза не соответствуют фактическим значениям остатков. Для обнаружения гетероскедастичности используются визуальный анализ корреляционного поля данных и статистические тесты. Для проверки достоверности гетероскедастичности используется тест Голдфелда-Квандта, имеющий следующие предпосылки: - дисперсии остатков пропорционально значениям фактора Х; - остатки имеют нормальный закон распределения, - автокорреляция остатков отсутствует.

Валентинов В. А. Эконометрика. Тест Голдфелда-Квандта выполняется в следующем порядке: 1. Все n наблюдений упорядочиваем по величине X. 2. После этого всю упорядоченную выборку разбиваем на три равные подвыборки размерностью n. 3. Оцениваем отдельные регрессии для первой подвыборки (n первых наблюдений) и для третьей подвыборки (n последних наблюдений). 4. Если предположение о пропорциональности дисперсий отклонений значениям X верно, то дисперсия остатков по n первой подвыборке будет существенно меньше дисперсии остатков по n третьей подвыборке. 5. Для сравнения соответствующих дисперсий используем критерий Фишера - F-статистику: Fнабл = S 32 / S 12 , где S 32 и S 12 - дисперсии остатков для третьей и первой совокупности , n-k - число степеней свободы выборочных дисперсий остатков; n – объем выборки; k — количество коэффициентов в уравнении регрессии, включая свободный коэффициент.

Валентинов В. А. Эконометрика. При сделанных предположениях относительно случайных отклонений построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы ν 1 = n-k; ν 2 = n-k. 6. Если Fнабл = S 32/S 12 >Fкрит = Fα, v 1, v 2; , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется на уровне значимости α. Для множественной регрессии данный тест, как правило, проводится для той объясняющей переменной, которая в большей степени связана с дисперсией остатков.

Валентинов В. А. Эконометрика. Проверка четвертой предпосылки Четвертая предпосылка МНК предполагает отсутствие автокорреляции остатков или отсутствие связи остатков между собой. Автокорреляция остатков порядка m равна коэффициенту корреляции, рассчитанному между исходными остатками модели и лаговыми остатками порядка m (или остатками, смещенные на m дат). Коэффициент автокорреляции рассчитывается по обычной формуле коэффициента корреляции, только в качестве первой переменной является исходные остатки, а в качестве второй переменной используется лаговые остатки порядка m. Проверку достоверности коэффициента автокорреляции остатков первого порядка можно производить по упрощенной или по более точной методике.

Валентинов В. А. Эконометрика. Упрощенная методика проверка коэффициента автокорреляции совпадает с методикой проверки достоверности обычного парного коэффициента корреляции, которая выполняется в следующей последовательности: Шаг 1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что r(m) = 0 H 0: r(m) = 0 Шаг 2. Вычисляется r(m). Шаг 3. Вычисляется ошибка r(m) Шаг 4. Вычисляется критерий Стьюдента Шаг 5. Проверяется условие: если t > t( = 0, 05, к = n - m - 2), то нулевая гипотеза отвергается с вероятностью1 -. Где t – критерий Стьюдента, - уровень значимости (вероятность совершить ошибку, при отклонении нулевой гипотезы). В противном случае нулевая гипотеза принимается.

Валентинов В. А. Эконометрика. Коэффициент автокорреляции остатков порядка обладает следующими свойствами: первого - коэффициент автокорреляции остатков может принимать значения от -1 до +1; - если остатки часто меняют свой знак, то коэффициент автокорреляции первого порядка будет отрицательным; - если остатки имеются серии положительных и отрицательных значений остатков, то коэффициент автокорреляции первого порядка будет положительным.

Валентинов В. А. Эконометрика. Для более точной проверки достоверности коэффициента автокорреляции остатков используется критерий Дарбина- Уотсона (DW) в следующей последовательности: Шаг 1. Вычисляется критерий Дарбина – Уотсона Шаг 2. Определяются по таблицам нижнее и верхнее пороговые значения, соответственно dн и dв, зависящие от числа измерений, уровня значимости и числа объясняемых факторов в модели. Шаг 3. Проверяются следующие условия: а) если dн

Валентинов В. А. Эконометрика. Рис. – Пять зон значений DW Критерий DW рассчитывается практически во всех статистических пакетах прикладных программ.

Валентинов В. А. Эконометрика. 6. 4. Проверка пятой предпосылки МНК Проверка пятой предпосылки Проверка остатков на нормальность закона распределения осуществляется с помощью коэффициентов ассиметрия и эксцесс, а также критерия χ2 (читается хи - квадрат). Для расчета коэффициентов ассиметрия и эксцесс воспользуемся функциями Ехсе 1 «СКОС» , «ЭКСЦЕСС» . При этом считается, что если ассиметрия и эксцесс по модулю не превышают 1, то массив чисел имеет нормальный закон распределения.

Валентинов В. А. Эконометрика. Лекция 6. Предпосылки МНК, методы их проверки Для проверки нормальности распределения остатков с помощью критерия Хи-квадрат нужно выполнить несколько шагов: Шаг 1 - рассчитать фактические частоты распределения остатков. Шаг 2 – рассчитать теоретические частоты, подчиняющиеся нормальному закону распределения. Шаг 3 – рассчитать фактическое значение критерия Хи-квадрат. Шаг 4 – рассчитать табличное значение критерия Хи - квадрат. Шаг 5 – сравнить фактическое значение критерия Хи - квадрат с табличным и сделать вывод о проверке нулевой гипотезы о том, что остатки модели подчиняются нормальному закону распределения или фактические частоты не отличаются от теоретических. Для проверки нормальности распределения остатков с помощью критерия Хи-квадрат χ2 по исходным данным экономического показателя можно использовать программу Stadia 8

Валентинов В. А. Эконометрика. Тема 7. Свойства оценок параметров эконометрической модели, получаемых при помощи МНК 7. 1. Несмещенность 7. 2. Состоятельность 7. 3. Эффективность

Валентинов В. А. Эконометрика. 7. 1. Несмещенность Если соблюдаются предпосылки метода наименьших квадратов, то оценки параметров модели будут несмещенными, состоятельными и эффективными. Несмещенность - свойство оценок параметров модели, которое заключается в том, что математические ожидания коэффициентов модели должны равняться их истинному значению, рассчитанных для всей генеральной совокупности.

Валентинов В. А. Эконометрика. 7. 2. Состоятельность - свойство оценок параметров модели, которое заключается в том, что с ростом объема выборки численное значение коэффициента модели должно стремиться к соответствующему параметру генеральной совокупности.

Валентинов В. А. Эконометрика. 7. 3. Эффективность - свойство оценок параметров модели, которое заключается в том, что для выборок равного объема они должны иметь минимальную дисперсию.

Валентинов В. А. Эконометрика. Тема 8. Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК) 8. 1. Область использования ОМНК 8. 2. Анализ третьей и четвертой предпосылок МНК 8. 3. Использование ОМНК при гомоскедастичных остатках 8. 4. Использование ОМНК при наличии автокорреляции остатков

Валентинов В. А. Эконометрика. 8. 1. Область использования ОМНК Обобщенный метод наименьших квадратов иногда называют методом взвешенных наименьших квадратов, который с помощью преобразования данных, является одним из методов устранения нарушений предпосылок МНК: 3 – остатки являются гомоскедастичными (однородными) — дисперсии остатков являются одинаковыми для всех интервалов значений Х; 4 - отсутствие автокорреляции остатков или отсутствие связи остатков между собой. Взвешенная регрессия, основанная на ОМНК, получила широкое применение, с помощью которой можно приближать расчетные значения функции к наиболее важным значениям зависимой переменной. Оценки параметров модели, выполненных с помощью ОМНК для автокорреляции остатков, позволяют улучшить модель.

Валентинов В. А. Эконометрика. 8. 2. Анализ третьей и четвертой предпосылок МНК Представим уравнение модели в матричном виде: У = ХА + е. е 1 е 2 е = е' = е 3 е 1 е 2 е 3 е 4 е 5 е 12 е 1 е 3 е 1 е 4 е 1 е 5 е 2 е 1 ее' = е 1 е 2 е 2 е 3 е 2 е 4 е 2 е 5 е 3 е 1 е 3 е 2 е 3 е 4 е 3 е 5 е 4 е 1 е 4 е 2 е 4 е 3 е 42 е 4 е 5 е 5 е 1 е 5 е 2 е 5 е 3 е 5 е 4 е 52 е 5

Валентинов В. А. Эконометрика. М(е 12) М(е 1 е 3) М(е 1 е 4) М(е 1 е 5) М(е 2 е 1) М(е 22) М(е 2 е 3) М(е 2 е 4) М(е 2 е 5) М(е 3 е 1) М(е 3 е 2) М(е 3 е 4) М(е 3 е 5) М(е 4 е 1) М(е 4 е 2) М(е 4 е 3) М(е 42) М(е 4 е 5) М(е 5 е 1) М(ее') = М(е 1 е 2) М(е 5 е 3) М(е 5 е 4) М(е 52) где М – знак математического ожидания, ( математическое ожидание равно среднему значению, при увеличении измерений, стремящихся к бесконечности) Математическое выражение М(ее') можно записать более компактно в двух вариантах. Первый вариант: М(ее') = ϭ 2Ω ϭ 2 – константа - дисперсия остатков, которая считается неизвестной, Ω - матрица, показывающая структуру М(ее'), которая считается известной. Второй вариант: М(ее') = V V – матрица, элементы которой считаются известными на основании многократных определения остатков модели на различных выборках равного объема.

Валентинов В. А. Эконометрика. Если предпосылки 3 и 4 выполняются, то Ω = I, следовательно М(ее') = ϭ 2 I , где I - единичная матрица. I= 1 0 0 0 0 0 1 Матрица ϭ 2 I будет иметь следующий вид: ϭ 2 0 М(ее') =ϭ 2 I = 0 ϭ 2 0 0 0 ϭ 2 0 0 0 ϭ 2 В диагональной матрице недиагональные элементы равны нулю, следовательно, автокорреляция остатков равна нулю или отсутствует, диагональные элементы равны ϭ 2, следовательно, дисперсии остатков равны между собой или однородны или гомоскедастичны.

Валентинов В. А. Эконометрика. Лекция 8. Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК) Нарушение предпосылок 3 и (или) 4 МНК записывается следующим соотношением: М(ее') ϭ 2 I, При нарушении предпосылок 3 и (или) 4 оценки параметров модели, вычисленные по формуле будут несмещенными, состоятельными, но неэффективными. Для того, чтобы оценки параметров модели, при наличии нарушений предпосылок 3 или 4, были эффективными, можно использовать формулу обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК) или метод Эйткена: где В – вектор столбец коэффициентов модели, вычисленных по методу Эйткена; Х – матрица значений факторов, У – вектор столбец зависимой переменной, V = М(ее'), V-1 – обратная матрица от V.

Валентинов В. А. Эконометрика. Расчеты коэффициентов по предложенной формуле метода Эйткена можно выполнить, если известна матрица V, которая вычисляется на основе известных значений остатков с помощью средних значений (ее'), являющихся оценкой М(ее'). К сожалению, не от каждой матрицы V можно получить обратную матрицу. Метод Эйткена не является универсальным и может использоваться только при определенной структуре матрицы V.

Валентинов В. А. Эконометрика. Известны два условия, при которых можно найти обратную матрицу от V. Первое условие: если матрица V является диагональной, это означает, что автокорреляция остатков равна нулю. Диагональная матрица - квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие не на главной диагонали, равны нулю. Выполнение первого условия позволяет устранить гетероскедастичность остатков. Второе условие: если матрица V имеет одинаковые диагональные элементы или гетероскедастичность отсутствует, не диагональные элементы расположены так, что определитель матрицы не равен нулю или имеется автокорреляция остатков. Выполнение второго условия позволяет устранить автокорреляцию остатков. Однако, ученым пока не удалось одновременно устранить и гетероскедастичность и автокорреляцию остатков.

Валентинов В. А. Эконометрика. 8. 3. Использование ОМНК при гетероскедастичных остатках Рассмотрим более подробно первое условие - если матрица V является диагональной, это означает наличие или отсутствие гетероскедастичности остатков, автокорреляция остатков равна нулю. Допустим, матрица V является диагональной V = 1, 00 0, 00 0, 00 0, 00 1, 00 0, 00 0, 00 10, 00 0, 00 1, 00 Четвертому значению диагонали было дано значение 10, остальным элементам диагонали были даны значения, равные 1. Обратная матрица от V будет иметь следующий вид: V-1 = 1, 00 0, 00 0, 00 0, 00 1, 00 0, 00 0, 10 0, 00 0, 00 1, 00

Валентинов В. А. Эконометрика. Вычислим коэффициенты линейной модели У=а 0+а 1*Х+е двумя методами: МНК и ОМНК, сравним их значения Х = 1, 00 1, 00 2, 00 3, 00 4, 00 5, 00 У = 15, 00 21, 00 19, 00 35, 00 26, 00 V = 1, 00 0, 00 0, 00 0, 00 1, 00 0, 00 0, 00 10, 00 0, 00 1, 00 Приводим значения коэффициентов линейной модели , вычисленных МНК по формуле: а 0 = а 1 = 12, 4 3, 6 в 0 = в 1 = 13, 41 2, 59 Приводим значения коэффициентов линейной модели, вычисленных ОМНК по формуле: В = (Х'V-1 Х)-1 Х'V-1 У

Валентинов В. А. Эконометрика. Построим графики расчетных зависимости У от Х, вычисленных МНК и ОМНК. Если измерение имеет повышенное значение остатков, следовательно, оно имеет менее надежные значения, которые не следует учитывать в расчетах коэффициентов модели, что показывают оценки параметров, вычисленных ОМНК. Следовательно, диагональными элементами матрицы V можно усиливать или ослаблять влияние значений Х на отдельные значения У – поэтому этот метод получил название взвешенной регрессии.

Валентинов В. А. Эконометрика. Приводим виды преобразований данных, которые позволяют устранить гетероскедастичность остатков. В скалярном выражении преобразованная модель будет иметь следующий вид: Уi/|еi| = а 0 X 0 i/|еi| + а 1 Хi/|еi| +еi/|еi|. В новой модели остатки будут принимать значения 1 или -1, т. е. будут гомоскедастичными, коэффициенты новой модели можно рассчитать МНК, остатки будут удовлетворять предпосылкам МНК. Коэффициенты, вычисленные по новой модели МНК являются оценками, вычисленные ОМНК. Если в исходной модели использовать коэффициенты, вычисленные ОМНК, то расчетные значения уравнения пройдут ближе к тем значениям, остатки которых будут наименьшими.

Валентинов В. А. Эконометрика. Второй вид преобразований. Если дисперсии остатков пропорциональны квадрату значений Х: ϭi 2 = Хi 2 ϭ 2 , то преобразованная модель будет иметь вид: Уi/Хi = а 0 Х 0 i/ Хi + а 1 Хi/Хi +еi/Хi, в которой при определенных условиях новым переменным можно дать экономическую интерпретацию. Например, У – издержки производства, Х – объем продукции, то новая переменная: У/Х – означает затраты на единицу продукции. В новой модели с новыми переменными остатки будут обладать свойствами гомоскедастичности.

Валентинов В. А. Эконометрика. 8. 4. Использование ОМНК при наличии автокорреляции остатков Если остатки являются гомоскедастичными, но имеется автокорреляция остатков, то матрица V имеет одинаковые диагональные элементы, не диагональные элементы не равны нулю, но имеют такие значения, при которых определитель матрицы не равен нулю. В эконометрической литературе имеются хорошо отработанные методы построения модели автокорреляции остатков первого порядка. Представим уравнение модели в матричном виде: У = ХА + е, et = ρet-1 + vt.

Валентинов В. А. Эконометрика. Если возмущения появляются в результате использования автокорреляционной схемы первого порядка et = ρet-1 + vt , при отсутствии гетероскедастичности, то М(ее') = V = ϭ 2Ω, где 1 ρ2 … ρn-1 ρ … ρn-2 … … … ρn-1 Ω= ρ ρn-2 ρn-3 … 1 Обоснование структуры Ω см. Джонстон, 1980, стр. 242 -244. Матрица Ω является симметрической и положительно определенной, от которой можно получить обратную матрицу.

Валентинов В. А. Эконометрика. Для того, чтобы оценки параметров модели, при наличии нарушений предпосылки 4, были несмещенными, состоятельными и эффективными, можно использовать формулу обобщенного метода наименьших квадратов (метод Эйткена): где В – вектор столбец коэффициентов модели, вычисленный по методу Эйткена; Х – матрица значений факторов, У – вектор столбец зависимой переменной, Ω – матрица симметрическая, положительно определенная, Ω -1 – обратная матрица от Ω.

Валентинов В. А. Эконометрика. Использование коэффициентов, определенных ОМНК в модели У = ХА + е, et = ρet-1 + vt. позволяет улучшить аппроксимацию исходных данных. Однако для проведения расчетов необходимо знать оценку коэффициента автокорреляции остатков первого порядка ρ. В эконометрической литературе имеется несколько методов определения коэффициента автокорреляции остатков первого порядка, которые дают примерно одинаковые результаты.

Валентинов В. А. Эконометрика. Предлагаем самый простой метод определения коэффициента автокорреляции первого порядка, называемый методом наименьших квадратов, который выполняется в следующей последовательности: Шаг 1. Вычисляются коэффициенты линейной модели с помощью функции ЛИНЕЙН. Шаг 2. Вычисляются остатки модели е = У- (а 0+а 1*Х) Шаг 3. Вычисляется коэффициент автокорреляции первого порядка r 1 для остатков модели с помощью функции КОРРЕЛ, где первым массивом являются значения остатков еt, вторым массивом являются остатки модели, сдвинутые на одну дату времени еt-1. Шаг 4. r 1 является оценкой ρ.

Валентинов В. А. Эконометрика. Спасибо за внимание Москва февраль 2013