В практике электротехники в качестве переменного тока широкое

В практике электротехники в качестве переменного тока широкое применение нашел ток синусоидальной формы. Это обусловлено рядом преимуществ: – генераторы синусоидального тока значительно дешевле в производстве, чем генераторы постоянного тока; – переменный ток легко преобразуется в постоянный; – трансформация и передача электрической энергии переменным током экономичнее чем постоянным; – двигатели переменного тока имеют простую конструкцию, высокую надежность и невысокую стоимость. В настоящее время переменный ток применяется в промышленном приводе и в электроосвещении, в сельском хозяйстве и на транспорте, в технике связи и в быту. Производство электрической энергии также осуществляется на переменном токе. Огромную роль в деле внедрения переменного тока сыграли русские ученые П. Н. Яблочков и М. О. Доливо-Добровольский

В электрических цепях электро-, радио- и других установках широко применяются периодические ЭДС, напряжения и токи. Периодические величины изменяются во времени по значению и направлению. Эти изменения повторяются через равные промежутки времени Т, называемые периодом. е е T е ωt t t T T е ωt T В линейных электрических цепях синусоидального тока ЭДС, напряжения и токи изменяются во времени по синусоидальному закону , например, e = Emах sin( t e), u = Umах sin( t u), i = Imах sin( t i),

е +Eмах е 1 ωt T - период f = 1/T – частота e, u, i – мгновенные значения ЭДС, -Eмах T напряжения, тока Eмах, Uмах, Iмах - амплитудные значения ЭДС, напряжения, тока t + e – фаза Ψe – начальная фаза Положительная начальная фаза откладывается влево от начала координат, а отрицательная вправо. Знак начальной фазы определяется знаком мгновенного значения e, u. i при t = 0.

Umаx Imax u, i u(t) i(t) +u 0 u = Umахsin(ωt + ψu), , i = Imахsin(ωt ψi). wt 0 –i 0 = Ψu - Ψi +φu –φ i T Совокупность векторов E, U, I, относящихся к одной электрической цепи называют векторной диаграм y A A 2 A 1 A 0 0 e e 2 = Emax A ωt 2 U e 1 ω I φ e 0 ωt 1 e ωt 1 x 0 ωt ωt 2 0 e ωT а) б) Знак угла сдвига фаз между векторам U и I, определяется направлением от вектора тока к вектору напряжения.

Действующим значением синусоидального тока называют такое значение постоянного тока, при прохождении которого по одному и тому же сопротивлению R за время одного периода Т выделяется столько же теплоты, сколько при прохождении синусоидального тока. Количество теплоты Q, выделяемое в резисторе R за время Т при синусоидальном токе: , а при постоянном токе: Так как Qsin = Qпост, то ; ; ;

За среднее значение синусоидального тока принимают такое значение постоянного тока, при котором за половину периода переносится такой же электрический заряд, что и при синусоидальном токе. Iср = 0, 637 Imax Uср = 0, 637 Umax Eср = 0, 637 Emax

Синусоидальная величина изображается вращающимся вектором на комплексной плоскости с мнимая единица, символ. осями 1 и j, где Комплексные значения синусоидальных величин обозначают I'' +j +ω İ i Над комплексными числами можно производить все алгебраические действия (при сложении и вычитании удобнее использовать алгебраическую форму, а при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня – показател Алгебраическая форма записи: +1 I' – i Тригонометрическая форма записи: İ* . несинусоидальных z, S. I модуль İ = Icos i + j. Isin i. ) Показательная форма записи: действующего значения тока, равный длине вектора; где действительная составляющая тока; - мнимая составляющая тока i = arctg ( ) – аргумент тока, равный начальной фазе, т. е. угол действительной полуосью +1 при t = 0. между вектором и При расчете цепей синусоидального тока (и простых, и сложных) все законы и методы расчета цепей постоянного тока действительны при условии, что все величины сопротивлений, напряжений и токов выражены в комплексных числах.

Переход из одной формы записи в другую осуществляется по формуле Эйлера через тригонометрическую форму записи Например: i = 10 cos 37˚ + j 10 sin 37º = 10 ·0, 8 + j 10 0, 6 = 8 +j 6 = еjarctg 6/8 = 10 ej 37° Умножение комплексного числа на + j приводит к увеличению его аргумента на 90º и повороту вектора на 90º против часовой стрелки (в положительном направлении); умножение на j – к уменьшению аргумента на 90º и повороту вектора на 90º в отрицательном направлении (по часовой стрелке). При работе с комплексными числами используют и сопряженные комплексные величины, имеющие одинаковые модули и одинаковые по величине, но противоположные по знаку аргументы:

Закон Oма для участка цепи: Y = 1/Z = где Y – комплексная полная проводимость, Первый закон Кирхгофа: İk = 0, где İk токи, сходящиеся в одном узле. Второй закон Кирхгофа: = Zkİk, напряжения источников питания, расположенных в контуре; Zk и İk сопротивления и токи отдельных приемников энерги расположенных в этом контуре.

Для упрощения расчета электрической цепи синусоидального тока реальную цепь заменяют схемой замещения, составленной из так называемых «идеальных» элементов: резистивный элемент с активным сопротивлением R(Ом), или активной проводимостью G = 1/R(Cм); индуктивный элемент с индуктивностью L (Гн) и реактивным индуктивным сопротивлением XL = 2πƒL(Ом ) или реактивной индуктивной проводимостью BL = 1/XL (См); емкостный элемент с емкостью С, и реактивным емкостным сопротивлением XC = 1/2πƒC (Ом) или реактивной емкостной проводимостью BC = 1/XC, ( (См). При расчете цепей синусоидального тока (и простых, и сложных) все законы и методы расчета цепей постоянного тока действительны при условии, что все величины сопротивлений, напряжений и токов выражены в комплексных числах.

Напряжение u = Umахsinωt. ψu = 0 º. i = Umахsinωt/R = Iмахsinωt, ψi = 0° Imах = Umах/R или I = U/R. • Напряжение u и ток i в цепи с активным сопротивлением совпадают по фазе. Сдвиг по фазе между напряжением и током цепи: φ = ψu ψi = 0° Комплексные напряжение и ток цепи с резистивным элементом: Ù = Uej 0; ψu = 0°; İ = Iej 0; ψi = 0°. Комплексное сопротивление цепи: Z = Ù /İ = Uej 0/Ie j 0= R Векторная диаграмма +J 0 Временная диаграмма u. R, i. R İR UR +1 0 u. R i. R ωt

Мощность цепи с R-элементом: p = ui = Umахsinωt Imахsinωt = U * I (1 – cos 2ωt ), В цепи с резистивным элементом вся потребляемая электрическая энергия преобразуется в тепловую или другие виды энергии. Среднее значение мощности за период равно активной мощности, так как cosφ = 1. Комплексная мощность: S = Se j φ = UIcos 0º + j. UIsin 0º =UI, ВА Р = UI = RI 2, Вт[к. Вт, м. Вт]

Напряжение u = Umахsinωt е. L = wd. Ф/dt = Ldi/dt, u u. L = 0, u = е. L, Umах sinωt – Ldi/dt = 0, или di/dt = Umахsinωt/L. i = Umахcosωt/ωL = Umахsin(ωt π/2)/ωL = Imахsin(ωt π/2). Величина ωL имеет размерность сопротивления, Гн/с = В·с/А·с = Ом. Это индуктивное сопротивление: XL = ωL = 2πf. L. Ù= Ue j 0, ψu = 0 o; İ = Ie j 90, ψi = 90° = Ù /İ = Ue j 0/Ie j 90 = XLej 90 = j. XL; Сдвиг по фазе между напряжением и током цепи: φ = 0° – ( 90° ) = +90 o Таким образом, синусоида тока в цепи с идеальной индуктивной катушкой отстает от синусоиды напряжения на угол 90º.

Векторная и временная диаграмма цепи с идеальной индуктивностью

P = ui = Umахsinωt * I mахsin(ωt 90°) = UIsin 2ωt. Энергия обмена энергией между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена энергией характеризуется реактивной мощностью QL = UI, вар [квар, мвар] S= = Sejφ = UIcos 90° + j. UIsin 90° = j. UI QL = UI = XLI 2, вар[квар, мвар]

Реальная индуктивная катушка в цепи переменного тока Комплексное сопротивление цепи с реальной индуктивной катушкой при R = 8 Ом, ХL = 6 Ом равно: Z = 8 +j 6 = еjarctg 6/8 = 10 ej 37° Задача Напряжение сети u = 14, 1 sin ωt, R = 10 Ом, L = 0, 03 Гн. Определите комплексные сопротивление и ток цепи в алгебраической и показательной формах эаписи.

~U u = Umахsinωt, Ic Q = Cuc, где uс падение. напряжения на конденсаторе По II ЗК Кирхгофа: u = uc. C i = d. Q/dt = ωCUmахcosωt = ωCUmахsin(ωt + π/2) = Imахsin(ωt + π/2), Imах = ωCUmах = Umах/(1/ωC). Величина 1/ωC имеет размерность сопротивления, [с/Ф = с. В/Кл = = с. В/с. А = Ом]. Это емкостное сопротивление Xс = 1/ωC = 1/2πf. C. = Uej 0; ψu = 0º; İ = Ie j 90; ; ψi = + 90º; = Ù /İ Сдвиг по фазе между напряжением и током цепи: φ = ψu ψi = 0º 90º = 90º. Таким образом, синусоида тока в цепи с конденсатором опережает синусоиду напряжения на угол 90º.

Векторная и временная диаграмма цепи с конденсатором

Р = ui = Uмахsinωt * I mахsin(ωt + 90°) = UIsin 2ωt, Энергия обмена энергией между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена энергией характеризуется реактивной мощностью Qс = – UI, вар [квар, мвар] = S= =Se j = UIcos 90° – j. UIsin 90°= – j. UI Qc = –UI= –Хс. I 2, вар

i = Iмахsinωt u = u. R + u. L + u. C u = Umах. Rsinωt + Umах. Lsin(ωt + π/2) + +Umах. C sin(ωt π/2) = Umaxsin(ωt + φ). Полное напряжение цепи состоит из двух синусоидальных слагаемых одинаковой частоты, а, следовательно, являются так же синусоидальными с некоторой амплитудой Umах и фазовым углом φ (при условии, что начальная фаза тока равна 0). +j u = Umахsin(ωt+φ). UR UC UL U φ UP = U L - U C UR I +1 UC Векторная диаграмма для цепи с последовательным соединением R, L, C при XL>XC и Ψi= 0

Комплексное напряжение цепи = IR + I j. XL I j. XC = I[(R + j(XL XC)] = Ue jφ Z= Модуль комплексного сопротивления - полное сопротивление цепи φ = arctg(XL – XC) / R - Аргумент комплексного сопротивления цепи – сдвиг по фазе синусоид напряжения и тока XL XC – реактивное сопротивление цепи I = U/z – ток цепи

UP = U L - U C U S UR = Ucosφ; Up = Usinφ; φ Qр = Q L - Q C P = Scosφ; Q = Ssinφ; φ UR P S= Z = U/I φ X = (UL – UC)/I R = Zcosφ; X = Zsinφ; R = UR/I cosφ = UR/U = R/Z = P/S; cosφ – коэффициент мощности – важный показатель электрооборудования. Определяет, какую часть от полной мощности составляет активная мощность, расходуемая на совершение полезной работы.

Резонанс – это явление в электрической цепи, при котором ток и напряжение цепи совпадают по фазе. Резонанс напряжений возникает в цепи при последовательном соединении элементов, при XL = XC. Так как при этом Z = R, т. е. полное сопротивление имеет минимальное значение, следовательно, ток цепи будет максимальным. В этом режиме резко возрастают напряжения на реактивных элементах XL и XC. Происходит непрерывный обмен энергии между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора. Равенства ХL и XC можно добиться изменением L, C, f. U, UR, UL, Uc Uc UL U +90 I, UR ωL f 0 90

U = Umaxsinωt i R = Imах. Rsinωt; i L = Imах. Lsin(ωt π/2); i C = Imах. Csinωt(ωt + π/2). IR =U/R=GU; IL=U/XL = BLU; IC = U/XC = BCU. где G = 1/R; BL = 1/XL; BC = 1/XC, Y = 1/Z – активная, индуктивная, емкостная и полная проводимости цепи. I = U/Z =YU, А

По I ЗК для цепи: İ = İ R + İL + İС ; В комплексной форме записи: напряжение источника питания I= Векторные диаграммы +j İc Треугольник токов İ İR ВL < В C İL Y = 1/Z +1 φ I = U/Z , +j +1 φ İ İR ВL > В C İc Ip = U/Xp B = 1/Xp İL Треугольник проводимостей Ia = U/R G = 1/R G = Ycosφ; B = Ysinφ; φ = arctg(B/G) = arctg((BL – BC)/G). Полная проводимость цепи в комплексной форме _

I = YU = İL İ= İC İa İC İL =0 Состояние цепи, когда общий ток совпадает по фазе с напряжением, реактивная мощность равно нулю, а цепь потребляет только активную мощность, называют резонансом токов. 0 В режиме резонанса токов ток IL равен току IC. Эти токи могут превышать общий ток I в цепи cosφ=1 в BL/G (Bc/G) раз, если BL = BC > G. cos , I I II I 0 cos , С Cp

I Полная проводимость ветви с R и L I 2 I 1 U Y 1 = 1/Z 1 = 1/(R 1+j. X 1)= (R 1 j. XL)/(R 1 + j. XL) (R 1 – j. XL) = R 1 R 2 L C Активная проводимость. Индуктивная проводимость: Полная проводимость ветви с R и C Y 2 = 1/Z 2 = 1/( R 2 – j. XC) = (R 2+JXC)/[(R 2 j. XC)(R 2 + j. XC)] = U = Ia = I =0 I 1 Активная проводимость 2 Ia 1 Емкостная проводимость Ia 2 Полная проводимость всей цепи при BL > BC: I 2 Ic 0 IL Y= Y 1 + Y 2 = (G 1 + G 2)+ j(BC – BL) = Y е jφ Комплексный ток цепи:

Резонанс токов нашел широкое применение в мероприятиях по повышению коэффициента мощности промышленных предприятий. Iл U Iпр U Ic 3 Ic 4 Rпр İл 1 Iл 3 Iл 4 C Ic Ic 2 Iл 2 Iпр 1 Xпр Ic 4 Ic 3 пр Ic 2 0 Iпр. L Реактивная мощность конденсаторной батареи уменьшает общую реактивную мощность установки, так как Q = QL – QC, и тем самым увеличивает коэффициент мощности. Повышение коэффициента мощности приводит к уменьшению тока в проводах, соединяющих потребитель с источником питания и полной мощности источника.

В электрической цепи, к которой приложено напряжение u = Umaxsinωt и в которой протекает ток Imахsin(ωt - φ), мгновенная мощность, поступающая в цепь будет равна: р = Umax. Imax sinωtsin(ωt - φ ) = UI((cos φ cos(2ωt φ )) имеет две составляющие: постоянную UIcos φ и косинусоидальную, UI(cos(2ωt φ), имеющую удвоенную частоту по сравнению с частотой напряжения и тока. Среднее значение второй составляющей за время Т, в течение которого она совершает два цикла изменений, равна нулю. Активная мощность однофазной цепи P, Вт (к. Вт): Реактивная мощность Q, вар(квар): Q = UIsinφ = I 2 X = U 2 B, где X = XL – XC реактивное сопротивление; B = BL – BC реактивная проводимость; Q = QL QC, где QL индуктивная мощность, QC емкостная мощность, Q реактивная мощность. Полная мощность S, S= В∙А(к. В∙А), : = I 2 Z = U 2 Y Комплексная полная мощность: S , В • А (к. В∙А): : = UIcosφ + j. UIsinφ =P+j. Q, ВА S = Sejφ =

Расчет электрической цепи комплексным методом ведут в следующей последовательности: 1) определяют комплексные сопротивления отдельных ветвей и всей цепи; 2) в зависимости от типа электрической цепи выбирают метод расчета цепи (если цепь простая – метод свертывания; сложная – какой-либо из методов расчета сложных цепей); 3) определяют токи и напряжения ветвей; 4) правильность расчета проверяют составлением баланса активных и реактивн мощностей: Рист = Σ Рпр , Qист = Σ Qпр, Sист = I* = Pист ± j. Qист ,

1. Катушка индуктивности L = 0, 032 Гн подключена к источнику питания U = 80 В, f = 50 Гц. Вычертить электрическую схему цепи, определить ток, мощность и построить векторную диаграмму, если начальная фаза напряжения ψU = 30°. 2. Конденсатор С = 600 мк. Ф подключен к источнику питания U = = 40 В, f = 50 Гц. Вычертить электрическую схему цепи, определить ток, мощность и построить векторную диаграмму, если начальная фаза тока ψi = – 30°. 3. В цепь синусоидального тока частотой f = 50 Гц последовательно включены R 1 = 50 м, R 2 = 40 м, L = 0, 096 Гц, С = 630 мк. Ф. Напряжение на конденсаторе Uc = 30 В. Определить ток, активную, реактивную и полную мощность цепи. Вычертить электрическую схему цепи и построить векторную диаграмму, если начальная фаза тока ψi = – 45º. 4. В цепь синусоидального тока f = 50 Гц параллельно включены две ветви с параметрами R 1 = 8 Ом; L 1 = 0, 016 Гн; R 2 = 4 Ом; С 2 = 680 мк. Ф. Напряжение на R 2 = 40 В. Вычертить электрическую схему, определить токи в ветвях. Построить векторную диаграмму, если начальная фаза напряжения источника питания ψu = 0.