В М Паклина Е М Паклина МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

В. М. Паклина, Е. М. Паклина МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ Научный редактор: Обабков И. Н. доц. , канд. тех. наук Для студентов всех форм обучения технических направлений подготовки

Содержание § § Булева алгебра Понятие высказывание Логические операции Основные законы 2

АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ (БУЛЕВА АЛГЕБРА) 3

Алгебра высказываний Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний. 4

Джордж Буль 5

ПОНЯТИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ 6

Понятие высказывание Основное понятие булевой алгебры — выказывание. Под простым высказыванием понимается предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. 7

Понятие высказывание Основное понятие булевой алгебры — выказывание. Под простым высказыванием понимается предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Высказывания обозначаются латинскими буквами и могут принимать одно из двух значений: 1 – истина, 0 – ложь 8

Примеры высказываний “ 6 — четное число” “ 10 делится на 2 и 5 больше 3” “ 10 не делится на 2 и 5 не больше 3” “ 24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3”, “если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог” 9

ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ 10

Отрицание Эквиваленция Конъюнкция Логические операции Импликация Дизъюнкция 11

Отрицание Операцией отрицания А называют высказывание Ā (или ¬А, говорят не А), которое истинно тогда, когда А ложно, и ложно тогда, когда А истинно. 12

Таблица истинности А 0 Ā 1 1 0 13

Конъюнкция Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний А и В является новое высказывание С, которое истинно только тогда, когда истинны оба высказывания, записывается С = А ^ В или С = А & В (при этом говорят С равно А и В). 14

Таблица истинности А 0 0 1 1 В 0 1 А˄В 0 0 0 1 15

Дизъюнкция Дизъюнкцией (логическим сложением) двух высказываний А и В является новое высказывание С, которое истинно, если истинно хотя бы одно высказывание. Записывается С = A v В (при этом говорят: С равно А ИЛИ В). 16

Таблица истинности А 0 0 1 1 В 0 1 A˅B 0 1 17

Импликация Импликацией двух высказываний А и В (А называется посылкой, В - заключением) является новое высказывание С, которое ложно только тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно, записывается С = А → В (при этом говорят, из А следует В). 18

Таблица истинности А 0 0 1 1 В 0 1 А→В 1 1 0 1 19

Свойства импликации § A→B≠B→A § A→А=1 § 0→А=1 § A→ 1=1 § A→ 0=Ā 20

Эквиваленция Эквиваленцией двух высказываний А и В является новое высказывание С, которое истинно только тогда, когда оба высказывания имеют одинаковые значения истинности, записывается С = А ↔ В (С = А ≡ В). событие А равносильно событию В 21

Таблица истинности А 0 0 1 1 В 0 1 А↔В 1 0 0 1 22

Свойства эквиваленции § А↔В=В↔А § А ↔ В = ⌐В ↔ ⌐А § А↔ 1=А § А ↔ 0 = ⌐А 23

Порядок выполнения операций 1. операции в скобках, 2. отрицание, 3. конъюнкция, 4. дизъюнкция, 5. импликация, 6. эквиваленция. 24

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ 25

Основные законы § А→В=⌐А˅В § А ↔ В = (A → B) ˄ (В → А) = = (⌐А ˅ В) ˄ (А ˅ ⌐В) = ( А ˄ В) ˅ (⌐А ˄ ⌐В) § ⌐⌐А=А § А˄В=В˄А § А˅В=В˅А 26

Основные законы § (А ˄ В) ˄ С = А ˄( В ˄ С) § (А ˅ В) ˅ С = А ˅ (В ˅ С) § А ˄ (В ˅ С) = (А ˄ В) ˅ (А ˄ С) § А ˅ (В ˄ С) = (А ˅ В) ˄ (А ˅ С) § А˄А=А § А˅А=А 27

Основные законы § ⌐ (А ˄ В) = ⌐ А ˅ ⌐ В § ⌐ (А ˅ В) = ⌐ А ˄ ⌐ В § А˄1=А § А˄0=0 § А˅1=1 § А˅0=А 28

Основные законы § А ˅ ⌐А = 1 § А ˄ ⌐А = 0 § А ˄ (⌐А ˅ В) = А ˄ В § А ˅ (⌐А ˄ В) = А ˅ В 29

Пример 1 30

Пример 2 Упростить выражение 31

Библиографический список 1. Информатика: Учебник / Б. В. Соболь, А. Б. Галин, Ю. В. Панов, Е. В. Рашидова, Н. Н. Садовой. – Изд. 3 -е, дополн. и перераб. – Ростов н/Д: Феникс, 2007. – 446 с. 2. Информатика. Базовый курс: Учебник для вузов / С. В. Симонович, Г. А. Евсеев, В. И. Мураховский, С. И. Бобровский; Под ред. С. В. Симоновича. - СПб. : Питер, 2009. – 640 с. 32