В геометрии существует два сокровища первое

«В геометрии существует два сокровища: первое – теорема Пифагора, второе – золотое сечение. Первое можно сравнить с мерой золота, второе – с драгоценным камнем» . Кеплер Автор презентации: Мартусевич Татьяна Олеговна - преподаватель Педагогического колледжа № 2

Давайте выясним, что общего между древнеегипетскими пирамидами, картиной Леонардо да Винчи "Мона Лиза", музыкой Бетховена, стихами А. С. Пушкина, бабочкой, подсолнухом, улиткой, сосновой шишкой и телом человека?

Золотое сечение – (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление, число Фидия, φ) — деление отрезка на части в таком соотношении, при котором большая часть относится к меньшей, как сумма (весь отрезок) к большей.

b: а = с: b Эту пропорцию принято обозначать греческой буквой φ и она равна:

Живая природа в своем развитии стремилась к наиболее гармоничной организации, критерием которой является золотая пропорция, проявляясь на самых различных уровнях - от атомных сочетаний до строения тел высших животных Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого. Яйцо птицы

можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд). Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов Построение шкалы отрезков золотой пропорции можно выразить с помощью чисел Фибоначчи

Последовательность натуральных чисел Uk=1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, . . . , каждый член которой начиная с третьего равен сумме двух предыдущих членов, называется последовательностью Фибоначчи, а ее члены - числами Фибоначчи. Отношение последующего члена ряда к предыдущему стремится к коэффициенту золотого сечения

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного цикорий стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Цикорий Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т. д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0, 618. . . , если АВ принять за единицу, ВЕ = 0, 382. . . Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик ( VI в. до н. обиход Пифагор э. ). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Платон привел формулировку золотой пропорции: «Для соединения двух частей с третьей совершенным образом необходима пропорция, которая бы '' скрепила '' их в единое целое. При этом одна часть целого должна так относиться к другой, как целое к большей части» . Во 2 -й книге «Начал» Евклида дается геометрическое построение золотого деления.

Пифагорейцы были первыми, кто обратил в символ пятиконечную звезду. Редкое обилие математических свойств в одной геометрической фигуре приводило пифагорейцев в священный восторг! Лучи пентаграммы делят друга в золотой пропорции: целое так относится к большей части, как большая часть к меньшей. Столь необычайно пропорциональное строение пентаграммы, красота её внутреннего математического содержания являются основой и красоты её внешней формы. Пентаграммы пропорциональна и, значит, красива. Не случайно и сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира!

В последовательностях звездчатых пятиугольников (а) и десятиугольников (б) прослеживается ряд золотого сечения 1, d, d 2, d 3…

В природе очень распространены спирали. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали. Спираль построенную по принципу золотого сечения описал Архимед. Спираль Архимеда

Гете называл спираль «кривой жизни» . Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных В космосе В рогах животных оленей разбегается по спирали. В строении вирусов В строении улитки В ухе человека

Золотые пропорции в строении молекулы ДНК Все сведения о физиологических особенностях живых существ хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК закон золотой пропорции. состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра). Так вот 21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1: 1, 618.

Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т. д. Совместная работаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения.

"Порхающими цветами" называют бабоч этих удивительных созданий природы. Их крохотное тело несут громадные по площади, ярко окрашенные крылья. У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2, 3, 5, 8.

Неудивительно, что стрекоза выглядит столь совершенной, ведь она создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста. Прозрачные крылья стрекоз - это шедевр "инженерного" мастерства природы.

Золотое сечение в строении снежинок Золотое сечение присутствует в строении всех кристаллов, но большинство кристаллов микроскопически малы, так что мы не можем разглядеть их невооруженным глазом. Однако снежинки, также представляющие собой водные кристаллы, вполне доступны нашему взору. Все изысканной красоты фигуры, которые образуют снежинки, все оси, окружности и геометрические фигуры в снежинках также всегда без исключений построены по совершенной четкой формуле золотого сечения.

Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц в строении некоторых химических соединений в планетарных и космических системах в генных структурах живых организмов в строении отдельных органов человека и тела в целом в биоритмах в функционировании головного мозга, сердца и зрительного восприятия

каждое звено в системе сердца, начиная с сердца субклеточных параметров кардиомиоцита до сердечной мышцы, от структур эритроцита до крови в целом, от отдельного сосуда до коронарного русла, имеет оптимальную организацию и "золотое сечение" является гарантом нормального, оптимального функционирования сердца и всей системы кровоснабжения организма.

В 1855 г. немецкий профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования» . Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1, 625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела: 8 : 5 = 1, 6.

Рука человека Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца)Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения. 4 золотого сечения У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти золотого сечения цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

л и и у с п е ш н о и Маска красоты на с п основе золотого сечения о На протяжении всей истории и в различных культурах ученые и л ь художники пытались рассчитать совершенные пропорции красивого з о лица. Было испробовано и предложено множество "формул", в а наиболее известной из которых является золотое сечение. Это л и М отношение 1 к 1. 618. Еще древние греки знали и успешно а с е к использовали его как в искусстве, так и в архитектуре. Было г а о к замечено, что это числовое соотношение настолько гармонично, и так р а к с часто наблюдается в живой и неживой природе, что кажется, а о т к ы происхождение его божественно, так что именно золотое сечение н в а отвечает за схожесть лиц среди тысяч статуй и картин повсюду в истории западного искусства. и о с с н Может ли быть красота измерена?

«Золотое сечение» в скульптуре скульптур Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении «золотого сечения» . Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям.

Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос.

Венера Милосская. Шедевр античного искусства. Отношение между расстоянием от головы до стоп и от пупа до стоп равняется золотому числу фи (1, 618), так же как отношение длины головы к расстоянию между глазами и подбородком; или отношение расстояния от носа до подбородка к расстоянию между губами и подбородком. Чем больше лицо соответствует этим пропорциям, тем более гармоничным оно кажется

Очень часто встречается утверждение, что в пирамиде Хеопса одновременно заложены две мировые константы: число «пи» и «золотая» пропорция.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления. Античный циркуль золотого сечения

На рисунке виден целый ряд закономерностей, связанных с коэффициентом золотого сечения. Отношение высоты здания к его длине равно 0, 618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению» , то получим те или иные выступы фасада.

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари)

Церковь Покрова на Нерли (1165 год) Смольный собор в Санкт-Петербурге

Пропорции Покровского собора на Красной площади в Москве (более известного как храм Василия Блаженного) определяются храм Василия Блаженного восемью членами ряда золотого сечения: 1, d, d 2 … d 7. Многие члены этого ряда повторяются в затейливых элементах храма многократно, причем d + d 2 = 1, d 2 + d 3 = d, d 3 + d 4 = d 2, d 4 + d 5 = d 3 и т. д.

Премия "Золотое сечение", учрежденная Союзом московских архитекторов, присуждается за лучшие архитектурные проекты и реализации, публикации о современной архитектуре Москвы, а также за особые заслуги в архитектурной практике, педагогике и теории.

Леонардо да Винчи считал, как и многие другие исследователи, что соразмерность, выражаемая отношением золотой пропорции наиболее приятна для глаза. В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. В большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении золотой пропорции, а при выборе размеров картин старались, чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось золотой пропорции.

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

По принципу золотого сечения сложена Венера Боттичелли. Рождение Венеры

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от четыре соответствующих краев плоскости. Данное открытие у художников того времени получило название"золотое сечение" картины.

Золотое сечение в картине И. И. Шишкина "Сосновая роща" На этой знаменитой картине с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника.

И. Е. Репин. А. С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 года. Две линии золотого сечения картины по вертикали и горизонтали определяют композиционные элементы картины – фигуру юного Пушкина и фигуры присутствующей на акте публики.

Формулировку правила "золотого сечения", обозначающего гармонию в изобразительном искусстве или науке, ввел еще Леонардо да Винчи. Изображение объекта в соответствии с этим правилом предполагает самое выгодное сочетание частей единого целого, при котором через физическую форму передается замысел художника. В фотографии это правило используется в виде классических приемов построения композиции.

Примером использования золотого сечения в фотографии является расположение ключевых компонентов кадра в точках, которые расположены в 3/8 и 5/8 3/8 от краев кадра.

Не беда, если вы возьмете готовую фотографию, расчертите ее на сектора и обнаружите, что объекты чуть‑чуть не вписываются в точки и линии, — в конце концов, мы ценим искусство именно за эти «чуть‑чуть» . Но чтобы в поисках своего стиля смело нарушать правила, их нужно знать.

Усовершенствованный пользовательский интерфейс некоторых современных фотокамер позволяет выбрать режим Grid Line. На ЖК-дисплее будет отображаться сетка, выстроенная по правилу «золотого сечения» . Располагая главные детали сюжета на этих линиях или в точках их пересечения, можно добиться очень приятного впечатления от снимка. На этих условных линиях кадра располагается горизонт в пейзаже, главный объект композиции, глаза в портрете и т. д. Раньше приходилось делать это мысленно, а теперь это дело техники.

Трудно оторвать глаза от красоты, она так притягательна, может причина в нем – золотом и божественном. Надо заметить, человек способен интуитивно чувствовать пропорции сечения. Работая над картиной, вышивкой или костюмом, сам того не зная, закладывает Его в свои творения. Коэф_зол_сеч1 = 1. 618; Коэф_зол_сеч2 = 0. 618; Коэф_зол_сеч3 = 0. 382;

Во всем царит гармонии закон, И в мире все суть ритм, аккорд и тон Джон Драйден По наблюдениям Л. Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, а целая серия подобных сечений. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений. Количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).

Многими исследователями было замечено, что стихотворения подобны музыкальным произведениям; в них также существуют кульминационные пункты, которые делят стихотворение в пропорции золотого сечения. Представляет несомненный интерес анализ романа "Евгений Онегин", сделанный Н. Васютинским. Этот роман состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем около 50 стихов. Наиболее совершенной, наиболее отточенной и эмоционально насыщенной является восьмая глава. В ней 51 стих. Вместе с письмом Евгения к Татьяне (60 строк) это точно соответствует числу Фибоначчи 55!

792 стихотворения русского гения Александра Пушкина были изучены на предмет существования в них структур золотого сечения. Основные результаты исследования таковы. Главными функциями золотого сечения в творчестве Пушкина являются: * структурообразующая функция (325 или 84% стихотворений из 385 стихотворений с золотым сечением), * выделение главной мысли (304 или 79%), *прорисовка кульминации (270 или 70%).

Не дорого ценю я громкие права, От коих не одна кружится голова. Я не ропщу о том, что отказали боги Мне в сладкой участи оспаривать налоги Или мешать царям друг с другом воевать; И мало горя мне, свободно ли печать Морочит олухов, иль чуткая цензура В журнальных замыслах стесняет балагура. Все это, видите ль, слова, слова. Иные, лучшие, мне дороги права: Иная, лучшая, потребна мне свобода: Зависеть от царя, зависеть от народа Не все ли нам равно? Бог с ними. Одно из последних Никому (13 строк) по смысловому Отчета не давать, себе лишь самому Служить и угождать; для власти, для ливреи Не гнуть ни совести, ни помыслов, ни шеи; По прихоти своей скитаться здесь и там, Дивясь божественным природы красотам, И пред созданьями искусств и вдохновенья Трепеща радостно в восторгах умиленья, Вот счастье! Вот права. . . стихотворений Пушкина "Не дорого ценю я громкие права. . . " состоит громкие права. . . " из 21 строки и в нем выделяется две смысловые части: в 13 и 8 строк. Характерно, что и первая часть этого стиха содержанию делится на 8 и 5 строк, то есть все стихотворение построено по законам золотой пропорции.

Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил Фильм Броненосец Потёмкин по правилам «золотого сечения» . Он разбил ленту на пять частей. В первых трёх действие разворачивается на корабле. В двух последних — в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Эйзенштейн считал, что так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.

Когда интуитивно или умышленно использует человек золотое сечение в своих творениях, получается нечто прекрасное! Мы можем восхищаться творениями человека, но мы не устанем удивляться чудесам природы и восхищаться устройством мирозданья!

Стремись в заоблачные выси! Спеши: дорога коротка. И ты пришёл не на века, На миг расцвета чувств и мысли. И всё, что было до тебя Прими, как милостыню нищий. Раздай ту радость, что отыщешь, Печали пряча и копя!. .

…Как муравей начни опять Искать гармонии единой, Не утешайся половиной, Где можно целое объять. Будь у наитий в кабале, Но поверяй их ритмам чисел. Стремись в заоблачные выси, Но стой при этом на Земле! Александр Дольский