В е к т о р ы. О

В е к т о р ы. О с н о в н ы е п о н я т и я.

Вектором называется направленный отрезок. Обозначают векторы символами или , где А- начало, а B -конец направленного отрезка. a a AB А В a

• Нулевым вектором (обозначается ) называется вектор, начало и конец которого совпадают. • Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной , или модулем или абсолютной величиной. • Векторы называются коллинеарными , если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых

• Векторы называются компланарными , если они параллельны одной плоскости. • Векторы называются равными , если они сонаправлены и имеют равные длины. • Два вектора, имеющие равные длины, коллинеарные и противоположно направленные, наз. противоположными.

• Вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором или ортом. • Ортом вектора называется соноправленный ему вектор и обозначается a 0 a

Линейные операции над векторами

Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Сложение векторовab c Правило треугольника. bac c

Правило параллелограммаa b c

Сумма нескольких векторов ab c d dcba

Вычитание векторовa b c bac

Свойства abba aa

cbacba)()( 0)(aa

Умножение вектора на число Произведением вектора на действительное число называется вектор (обозначают ), определяемый следующими условиями: 1. , 2. при и при . a bab ab 0 ab

Умножение вектора на числоa a 3 b b 2 1 cc

Свойства)()()(aaa aaa)(

baba)( aa 1 aa)1(

• Отсюда вытекает условие коллинеарности векторов: два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство • Если орт вектора , то и тогда. 0 , ab 0 aa 0 aaaa a a

Пример В треугольнике ABC сторона AB разделена на три равные части точками M и N. Пусть , выразить вектор через и . b. CBa. CA, CM a b Решение M NА ВС

baabaaba. AMCMCM ab. AB ABAM 3 1 3 2 3 1 3 1 , ,

Угол между двумя векторами

• Углом между векторами наз-ся наименьший угол , на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым. • Под углом между вектором и осью понимают угол между вектором и единичным вектором, расположенным на оси 0 l a

Проекция вектора на ось и составляющая вектора на оси

A B 1 A 1 B l 0 l )

• Проекцией вектора на ось называется разность между координатами проекций конца и начала вектора на эту ось. Обозначается . ABl 12 xx ABпр l

• Если — острый, то если — тупой, то если , то ; 0 ABпрl 2 . 0 ABпр l

• Вектор наз. составляющей вектора по оси и обозначается 11 BA ABl 012011 lxxl. ABпр. ABсост. BAll

. )3 ; )2 aпрaпр bпрaпрbaпрll lll ; , cos )1 l. ABАВABпр l

Линейная зависимость векторов

• Векторы наз-ся линейно зависимыми, если существуют числа не все равные 0, для которых имеет место равенство n aaa, . . . , , 21 n , . . . , , 21 (*) 0. . . 2211 nn aaa

n n aaaa 1 3 2 1. . . nn aaaa. . . 33221 векторовкомбинация линейнаяaaa nn . . .

• Векторы наз-ся линейно независимыми, если равенство выполняется только при n aaa, . . . , , 21 0. . . 21 n 0. . . 2211 nn aaa

• Для того чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов можно было представить в виде линейной комбинации остальных. • Всякие три вектора на плоскости линейно зависимы.

• Рассмотрим три вектора на плоскости 1 D 1 B A C D B cba , ,

• Для того чтобы два вектора были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинеарны. • Для того чтобы три вектора в пространстве были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарны.

• Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум. • Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трём.

Базис на плоскости и в пространстве

• Базисом на плоскости называют два любых линейно независимых вектора. Т. Разложение любого вектора на плоскости по базису является единственным a cb ,

• Базисом в пространстве называют три любых линейно независимых вектора. Т. Разложение любого вектора в пространстве по базису является единственнымa dcb , ,

Прямоугольный декартовый базис

i jk. Z Y X. 1 , kji

Oa i j X YZ k

Oa i j X YZ k

EABEOBOA OCODOBOA kaпр. OD jaпр. OC iaпр. OB oz oy ox zoz yoy xox aaпр kajaiaa zyx

Линейные операции над векторами в координатной форме

• Пусть тогда: 1) 2) 3) 4)kajaiaazyx kbjbibb zyx kbajbaibabazzyyxx)()()( kajaiaa zyx z z y y x x b a b a ba|| 222 zyx aaaa

111 ; ; zyx. A 222 ; ; zyx. B kzzjyyixx. AB 121212 2 12 zzyyxx.

Направляющие косинусы

X YZ M O ) ) a

• Пусть дан вектор kajaiaazyx cos cos aaпрa ozz oyy oxx

a ax cos a ay cos a az cos

1 coscoscos

Координаты единичного вектора, cos, cos 0 a

Пример Найти косинусы углов, которые, вектор составляет с осями координат, если А (1, 2, 3) и В (2, 4, 5). AB 32 cos, 31 cos , 3221 , 2; 2; 1 35; 24; 12 222 тогда ABABРешение.

Деление отрезка в данном отношении

1 A 2 AM

1111 ; ; zyx. A 2222 ; ; zyx. A zyx. M; ; 2 1 MA M

1 21 xx x 1 21 yy y 1 21 zz z

• Если , т. е. , то 2 21 xx x 1 21 MAMA 2 21 yy y 2 21 zz z

Скалярное произведение векторов Скалярным произведением векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

cosbaba

Условие перпендикулярности векторов 0 baba

bпрaba a aпрbba b

Проекция вектора на векторb ba aпр b

Угол между векторами. cos 2 2 2 2 1 2 1 212121 zyxzyx zzyyxx ba ba

Физический смысл скалярного произведения Работа постоянной силы на прямолинейном участке пути равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Физический смысл скалярного произведения Fl. FA l

Свойства скалярного произведения abba )1)()()( )2 bababa

2 2 )3 aa 2 aa

• Пусть даны два вектораkajaiaa zyx kbjbibb zyx

Найдем скалярное произведение этих векторов =)(kajaia zyx)(kbjbibzyx zzyyxx bababa 1 1 1 22 22 22 kkkk jjjj iiii 0 0 0 ki kj ji

Примерbac 324 a 5 b ab. c Дан вектор , причем , , угол между векторами и равен. 60 0 Найти модуль вектора

. 9124 32 22 22 bbaa baсс 164 2 22 aa, 255 2 22 bb , 1060 cos 54 cos 0 baba. 4092591012164 c. Решение то

Векторное произведение векторов

• Векторным произведением вектора на вектор наз. вектор , удовлетворяющий следующим условиям: 1) 2) 3)векторы образуют правую тройкуa bbac sinbac cacb

Понятие «правой» тройки векторов Тройку векторов называют правой , если направление вектора таково, что, смотря из его конца вдоль вектора, кратчайший поворот от вектора к вектору будет виден против движения часовой стрелки. , a, bc c a b , a , bс — правая тройка a b с

Обозначение векторного произведения векторов ab c bac

Свойства векторного произведенияabba 00 aba 0 b или ba 0 aa

Свойства векторного произведенияcbcacba)( )()()(bababa

Физический смысл векторного произведения. F O M

Физический смысл векторного произведения Если – сила, приложенная к точке М , то момент этой силы относительно точки О равен векторному произведению векторов и . F FOM

Векторные произведения координатных векторовi j k. , , ikj jik kji . , , ijk jki kij

kkba jkbaikbakjbajjba ijbakibajibaiiba kbjbibkajaiaba zz yzxzzyyy xyzxyxxx zyxzyx

k bb aa j bb aa i bb aa kbabajbabaibaba ibajbaibakbajbakba yx yx zx zx zy zy xyyxxzzxyzzy yzxzzyxyzxyx

Векторное произведение в координатной формеbzbybx azayax kji ba

Пример Найти векторное произведение векторов. 43 , 32 kjib kjia Решение. 11513 13 32 43 12 41 13 413 132 kjikj ikji ba

A B Ca b sinba. S

Площадь параллелограммаba. S пар

Площадь треугольникаba. S

Пример Найти если. 90, 1, 2 0 ba, 232 baba . 1490 sin 217 sin 77 6432 232 0 abab bbbaabaa baba Решение

Смешанное произведение Смешанным произведением трёх векторов называется произведение вида : cba)(

kcjcicc k bb aa j bb aa i bb aa bazyx yx yx zx zx zy zy z yx yx y zx zx x zy zy c bb aa cba

Смешанное произведениеccc bbb aaa zyx zyx cba

Компланарные векторы Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях. ab cm n p , , , ыкомпланарнcba. , , рнынекомпланаpnm

Условие компланарности трёх векторов cba , , . 0 zyx zyx ccc bbb aaa Если компланарны, то Элементами определителя являются координаты векторовcba, ,

a b c

Объём параллелепипеда cba. V

Объём тетраэдра cba. V тет