Устойчивость ЭЭС Математические задачи в ЭЭ 1

Устойчивость ЭЭС Математические задачи в ЭЭ

1. Постановка задачи Задача исследования устойчивости ЭЭС требует наличия методов, которые бы давали возможность по доступным, легко получаемым признакам установить устойчивость системы. Критерий устойчивости – необходимое и достаточное условие (или группа условий), при выполнении которых система устойчива. Необходимое условие – условие, при невыполнении которого появляется неустойчивость. Достаточное условие – условие, при выполнении которого имеет место устойчивость

Устойчивость системы вида Система устойчива тогда и только тогда, когда все корни характеристического уравнения этой системы имеют отрицательные вещественные части, т. е. все корни р1, р2, …, рn лежат в левой полуплоскости

Общее решение системы имеет вид Действительный корень Сумма комплексно сопряженных корней

Графическое представление решения системы Если все корни лежат в левой полуплоскости, то все составляющие по модулю экспоненциально затухают Если среди корней имеется один из правой полуплоскости, то составляющая, соответствующая этому корню неограниченно возрастает во времени

2. Алгебраические критерии устойчивости АКУ основаны на закономерностях, связывающих отрицательность всех действительных частей корней характеристического уравнения со знаками коэффициентов этого уравнения и некоторых функций от коэффициентов. Необходимое и достаточное условие устойчивости

2. 1. Критерий Гурвица Все коэффициенты с индексом i<0 или i>n обозначаются нулями.

2. 2. Критерий Рауса Таблица Рауса: элементы первой строки – коэффициенты с четными индексами элементы второй строки – с нечетными индексами элементы следующей строки по формуле Устойчивость:

Таблица Рауса

«Нерегулярный» случай при составлении таблицы Рауса Рассмотреть пример

Таблица Рауса для примера 0

2. 3. Критерий Михайлова (Принцип аргумента) Принцип аргумента: разность между числом нулей и числом полюсов функции F(p) внутри контура С равна числу оборотов, которые делает вектор в плоскости W(jw), идущий из « 0» в «F(p)» , когда точка р описывает контур С. Критерий Михайлова: Для отсутствия корней с положительной действительной частью характеристического уравнения, т. е. для обеспечения устойчивости системы, необходимо и достаточно, чтобы при прохождении точкой р мнимой оси в положительном направлении приращение аргумента D(p) было равно nπ.

Геометрическая иллюстрация правила Михайлова

Характеристический вектор

Характеристический вектор Все корни слева M корней справа

Практическое использование критерия Михайлова Годограф характеристического уравнения

Условие устойчивости Система устойчива Система не устойчива

Примеры годографов устойчивых систем

Рассмотреть пример

ω 0 2. 236 3. 786 ∞ U 0. 5 0 -0. 933 -∞ Система устойчива V 0 2. 504 0 -∞

2. 4. Критерий устойчивости Найквиста Основан на применении принципа аргумента к вектору-годографу комплексного коэффициента усиления разомкнутой системы

Устойчивость по критерию Найквиста 1. Пусть разомкнутая система устойчива

Устойчивость по критерию Найквиста 2. Пусть разомкнутая система неустойчива

Возможные очертания амплитуднофазовой характеристики разомкнутой системы 1) 2)

Возможные очертания амплитуднофазовой характеристики разомкнутой системы 3) 4) 5)

Критерий Найквиста в зависимости от состояния разомкнутой системы Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика устойчивой или нейтральноразомкнутой системы не охватывала точку С (-1, j 0).

Критерий Найквиста в зависимости от состояния разомкнутой системы Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика неустойчивой разомкнутой системы охватывала m/2 раз точку С (-1, j 0) в положительном направлении

Критерий Найквиста для инверсной амплитудно-фазовой характеристики Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы инверсная амплитуднофазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы охватывала точку С с координатами (-1, j 0)

Пример

Решение

2. 5. Способ D-разбиения Целью исследования является отыскание всех значений исследуемых параметров, при которых система устойчива. При решении таких задач удобно выделять области устойчивости (Ю. И. Неймарк) Рассмотрим характеристическое уравнение n-ой степени, где m – корней в правой полуплоскости, (n-m) – корней в левой.

Пояснение способа D-разбиения При плавном изменении коэффициентов ak корни уравнения будут перемещаться на плоскости корней, образуя траектории корней.

D-разбиение Поверхность N делит пространство коэффициентов ak на области D(m) с равным числом m корней в правой и (n-m) в левой полуплоскости корней. N-граница D-разбиения

Определение границы D-разбиения Подставив в характеристическое уравнение p=jω и разделив действительную и мнимую часть получим Все ωk удовлетворяющие данному условию определят точки границы D-разбиения

Математическая задача для определения устойчивости Дана замкнутая система, характеристический многочлен которой имеет вид: П 1, П 2… - выделенные параметры системы D 0(p), D 1(p)… - заданные полиномы. Задача: определить все значения Пk, при которых система устойчива.

Решение задачи методом D-разбиения Метод D-разбиения по трем параметрам (k=3) Метод D-разбиения по двум параметрам (k=2) Метод D-разбиения по одному параметру (k=1)

Метод D-разбиения по двум параметрам Характеристическое уравнение системы: Найти значения П 1 и П 2, при которых характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней p 1, 2=jωi.

Уравнение распадается на два Где

Решение Где При изменении ω от 0 до +∞ получим кривую Dразбиения (при изменении ω от -∞ до 0 кривая Dразбиения дублируется)

Особые прямые 1) 2) Прохождение значения ∆ через « 0» : При ∆=0 значение ∆1 и ∆2 конечны и не равны « 0» При ∆=0 значения ∆1=∆2=0. Тогда П 1 и П 2 – неопределенные, значит коэффициенты уравнений пропорциональны:

Получение особых прямых 1) 2) 3) а 0=0, если оно зависит от П 1 и П 2. Получить уравнение особой прямой , соответствующей ω=∞ аn=0, если оно зависит от П 1 и П 2. Получить уравнение особой прямой , соответствующей ω=0 Найти все отличные от « 0» значения ω, при которых ∆=∆1=∆2=0. Получить уравнения соответствующих особых прямых

Штриховка границ D-разбиения При обходе в сторону возрастающих ω (-∞; +∞) кривая D-разбиения штрихуется слева, если главный определитель ∆>0, и справа, если ∆<0.

Штриховка особых прямых Направление штриховки особых прямых увязывается с направлением штриховки границы D-разбиения в точке ωi, для которой построена особая прямая. 1) Если при ωi≠ 0 ∆(ωi)=∆1(ωi)=∆2(ωi)=0

2) Если при ωi=0 или при ωi=∞ ∆(ωi)=0

Выделение области устойчивости Переход через границу D-разбиения в точке ωi в сторону штриховки соответствует переходу двух сопряженных корней рi, i+1 через мнимую ось Если вне границе D-разбиения расположена область D(m), то внутри находится область D(m 2). Область с наименьшим числом m является претендентом на область устойчивости.

Метод D-разбиения по одному параметру Характеристическое уравнение Уравнение имеет решение только для случая

Условия устойчивости 1) если условие не выполняется ни при каких значениях ω, то при любых значениях П 1 система либо устойчива, либо неустойчива (проверка по П 1=0)

Условия устойчивости 2) Если условие выполняется при нескольких ω, то необходимо провести D-разбиение по оси П 1:

Где Для определения устойчивости в плоскости (a, b) строится кривая D-разбиения

Пример кривой D-разбиения Устойчивость системы обеспечивается при условиях

Метод D-разбиения по трем и более параметрам Характеристическое уравнение После подстановки p=jω

Построение границы D-разбиения Графоаналитический метод построения: ∆’ 1 и ∆’ 2 – определители системы при П 3=0

Уравнения кривой D-разбиения Где П 10(ω) и П 20(ω) представляют кривую D-разбиения при П 3=0

Пример Определить все значения К 1, К 2, при которых система устойчива

Решение Где

Решение Сведем вычисления К 1 и К 2 в таблицы

Таблицы К 1 и К 2 К 1 -1 2 4, 3 7 2 -9 -ω4/3 10ω2/3 0 -0, 3 1, 3 -12 -27 -48 0 3, 3 6, 6 20 30 40 ω2 К 2 0 1 2 6 9 12 +∞ 0, 9 1, 3 4, 6 7, 2 10 0, 9ω2 1/ω2 0 0, 9 1, 8 5, 4 8, 1 11 +∞ 1 0, 5 0, 17 0, 1 0, 08 ω2 0 1 2 6 9 12

Кривая D-разбиения для примера