Устная математическая олимпиада для 7 -8 классов Круги

Устная математическая олимпиада для 7 -8 классов «Круги Эйлера»

Леона рд Э йлер — швейцарский, немецкий и российский математик, живший в 18 веке, который внес значительный вклад в развитие математики , физики, астрономии и ряда прикладных наук. Эйлер — автор более чем 800 работ Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Устная математическая олимпиада 1 этап. Иллюстрация решения задач с помощью кругов Эйлера (2 примера) 2 этап. Решение 5 задач олимпиады : По мере решения задач представитель команды подходит к члену жюри и рассказывает решение одной задачи. Если задача решена правильно, то на карточке с текстом задачи член жюри выставляет максимальный балл ; если в решении будет ошибка, то команда получает штрафное очко, но имеет возможность попробовать сдать решение повторно

учащиеся 7 - 8 классов школ Южного округа г. Москвы №№ 420; 581; 870; 949 18 команд 7 и 8 классы соревнуются каждый в своей категории Члены жюри: учителя и старшеклассники школ – участников олимпиады ЗАПОЛНИТЬ ЛИСТЫ РЕГИСТРАЦИИ

1 этап 2 этап 3 этап 15 минут объяснение метода 40 минут решение 5 основных задач и 2 дополнительных задач 15 минут показ решений и рассказ о предстоящих играх

Пример № 1 СПОСОБ 1 В деревне в каждой семье есть корова или лошадь, причем в 20 дворах есть коровы, в 25 – лошади, а в 15 – и коровы, и лошади. Сколько в деревне дворов? К=20 Л=25 5 15 10 5+15+10=30

Пример № 1 СПОСОБ 2 В деревне в каждой семье есть корова или лошадь, причем в 20 дворах есть коровы, в 25 – лошади, а в 15 – и коровы, и лошади. Сколько в деревне дворов? К=20 Л=25 15 20+25 -15 =30

ПРИМЕР № 2. В классе 36 человек. После каникул классный руководитель спросил учеников, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. Оказалось, что и в театре, и в кино , и в цирке побывало 2 человека. В кино побывало 10 человек; в театре - 14 человек; в цирке - 18 человек; и в театре, и в цирке - 8 человек; и в кино, и в цирке - 5 человек; и в театре, и в кино - 3 человека Сколько учеников класса не посетили ни театр, ни кино, ни цирк?

Пусть большой круг изображает множество всех учеников класса. Внутри этого круга построим три пересекающихся круга меньшего диаметра: * эти круги будут изображать соответственно театр, кино и цирк.

Т К Ц Для ясности эти круги обозначим буквами Т*, К*, Ц*.

Т К Ц Общей части всех трех кругов соответствует множество ребят, посетивших и театр, и кино, и цирк, поэтому обозначим ее ТКЦ*.

Т К Ц Через ТКЦ * обозначим множество ребят, побывавших в театре и кино, но не побывавших в цирке.

Т К Ц Аналогичным образом обозначим и все остальные области, отрицание отметим чертой над символом.

Т К Ц Обратимся к числовым данным. При ответе вы можете сразу расставлять числовые значения, не вводя предварительных обозначений

Т К = 10 Ц В кино побывало 10 человек.

Т = 14 К = 10 Ц В театре - 14 человек.

Т = 14 К = 10 Ц = 18 В цирке - 18 человек.

Т = 14 К = 10 2 Ц = 18 Так как и в театре, и в кино, и в цирке побывало 2 человека, внесем в область ТКЦ * число 2.

Т = 14 К = 10 3 – 2=1 3 2 Ц = 18 По условию задачи и в театре, и в кино побывало 3 человека *, поэтому в область ТКЦ запишем 1 *.

Т - 14 К - 10 1 2 5 2 =3 5– Ц - 18 Так как и в кино, и в цирке побывало 5 человек*, то в область ТКЦ внесем число 3.

Т =14 К = 10 1 8 2 8 – 2 =6 3 Ц = 18 Так как и в театре, и в цирке побывало 8 человек*, то в область ТКЦ внесем число 6*.

Т = 14 14 -1 -6 -2=5 6 К = 10 1 10 -1 -2 -3=4 2 3 18 -6 -2 -3=7 Ц = 18 А теперь вычислим сколько человек побывало только в театре*, только в кино* и только в цирке*.

Т = 14 К = 10 1 5 6 4 2 3 7 Ц = 18

Т = 14 К = 10 1 5 6 4 2 3 7 Ц = 18 Нам осталось узнать, сколько учащихся не посетили ни театр, ни кино, ни цирк. Для этого сложим найденные числовые данные всех выделенных областей и вычтем полученное число из общего количества учащихся класса.

Т =14 К = 10 1 5 6 4 2 3 7 Ц = 18

Т = 14 К = 10 1 5 4 2 6 3 7 Ц = 18 6 1 2 3 5 7 4 28 36 28 8 По условию задачи, всего в классе 36 человек, * значит не посетили ни театр, ни кино, ни цирк 8 человек*.

Т = 14 К = 10 1 3 6 4 2 3 7 Ц = 18 Ответ: Не посетили ни театр, ни кино, ни цирк 8 человек.

Устная математическая олимпиада 2 этап. 1. Решение задач олимпиады. Каждая команда получит 5 карточек с условиями задач. (На карточке с условием ничего писать нельзя) 2. Решение задач можно писать на черновиках, но при рассказе жюри пользоваться ничем нельзя (заново рисовать круги-решения на специальных бланках) 3. Каждый участник команды может рассказать только одну задачу (исключение составляют команды, где участников меньше 5) Отвечать решения задач могут только участники, на руках у которых закреплен бумажный браслет. Если задача принята, то участник снимает браслет и больше не имеет права отвечать задачи членам жюри, но он продолжает участвовать в решении задач вместе с остальными членами команды

Устная математическая олимпиада 2 этап. 5. Решение задач олимпиады. Если при ответе допущена ошибка, то на обороте карточки записывается штрафное очко (и пока браслет у участника не снимается, с повторным решением может выйти другой «окольцованный» член команды) 6. Карточка с текстом зачтенной задачи передается компьютерщикам (для занесения в электронный протокол) 7. Командам, которые справятся с решением основных задач раньше времени, будут предложены дополнительные задания (по другим темам)

№ 1 В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека. Только по одному предмету имеют «тройки» : по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека, по истории – 11 человек. Семь учеников имеют «тройки» и по математике и по истории, а 5 учеников – «тройки» по всем предметам. Сколько человек учится без «троек» ? М=17 6 4 5 7 2 36 40 – 36 = 4 Р=19 4 4 И=22 11

В классе 35 учеников, из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 - в биологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекается математикой? М=20 20 - х № 2 Б=11 х 11 - х 35 -10=25 посещают кружки (20 -х)+х+(11 -х)=25 31 - х =25 х =6

№ 3 На полу площадью 12 м 2 лежат три ковра: площадь одного 5 м 2, другого - 4 м 2 и третьего - 3 м 2. Каждые два ковра перекрываются на площади 1, 5 м 2, причем 0, 5 м 2 из этих полутора квадратных метров приходится на участок пола, где перекрываются все три ковра. Какова площадь пола, не покрытая коврами? 2, 5 5 1, 5 1 1 1, 5 0, 5 3 0, 5+1+1+1+2, 5+1, 5+0, 5 =8 0, 5 1, 5 4 12 - 8 =4

№ 4 Когда-то давно в нашей стране были пионеры и комсомольцы, и они носили соответственно пионерские галстуки и комсомольские значки. В одной экскурсии участвовали семиклассники и восьмиклассники. Все они были либо с комсомольскими значками, либо в пионерских галстуках. Мальчиков было 16, комсомольцев и комсомолок всего 24. Пионерок столько, сколько мальчиковкомсомольцев. Сколько всего ребят участвовало в экскурсии? Мк Мп 24 16 Дк Дп Мп + Мк + Дп = 16 + 24 = 40 Мк

№ 5 В классе 32 человека. Из них 14 играют в баскетбол, 24 - в теннис, 16 - в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и теннисом - шестеро, баскетболом и волейболом - четверо, теннисом и волейболом - четверо. Двое ничем не занимаются. Сколько ребят увлекается всеми видами игр? 32 – 2 = 30 занимаются Т=24 Б=14 14 -(6 -х)-х-(4 -х)= 6 - х = 4+х 24 -(6 -х)-х-(4 -х)= =14+х 24 х 4 -х 16 -(4 -х)-х-(4 -х)= =8+х 40+х=30 х=-10 В=16 24+(4+х)+(4 -х)+(8+х)=30 Условие противоречиво. Задача не имеет решения !!!

№ 5 В классе 32 человека. Из них 14 играют в баскетбол, 24 - в теннис, 16 - в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и теннисом - шестеро, баскетболом и волейболом - четверо, теннисом и волейболом - четверо. Двое ничем не занимаются. Сколько ребят увлекается всеми видами игр? 32 – 2 = 30 2 способ Т=24 6 Б=14 х 4 4 В=16 занимаются 24+14 +16 = 54 Те, кто ходит ровно в 2 секции посчитаны дважды. Те, кто ходит в 3 секции подсчитаны трижды 6+ 4 = 14 54 – 14 = 40 Те, кто ходит в 3 секции « выброшены» трижды 40+х=30 Не имеет решения в натуральных числах Условие противоречиво. Задача не имеет решения !!!

Задача Эйнштейна С одной стороны улицы подряд стоят пять домов, каждый — своего цвета. В каждом живёт человек, все пять — разных национальностей. Каждый человек предпочитает уникальную марку сигарет, напиток и домашнее животное. Кроме того: • Англичанин живёт в красном доме. • Швед держит собаку. • В зелёном доме пьют кофе. • Датчанин предпочитает чай. • Зелёный дом — по соседству слева от белого. • Курильщик «Pall Mall» разводит птиц. • В жёлтом доме курят «Dunhill» . • Молоко пьют в доме посередине. • Норвежец живет в первом доме. • Человек, курящий «Marlboro» , живёт рядом с хозяином кошки. • Дом, где курят «Dunhill» , — рядом с тем, где держат лошадь. • Любитель «Winfield» пьёт пиво. • Немец курит «Rothmans» . • Норвежец живёт рядом с синим домом. • Тот, кто курит «Marlboro» , живет рядом с тем, кто пьет воду. Вопрос: У кого живёт рыбка?

Устная математическая олимпиада «Круги Эйлера» Домашнее задание 9. 10. 2012 (5 задач, взять на выходе из зала) Отвечать своим учителям в своих школах. Статистика результатов на сайте asv 420. narod. ru

23 октября 15. 30 Школа № 870 Математическая эстафета для 7 -8 классов «Графы в решении логических задач»