Условное обозначение и символы Точка Линии

Условное обозначение и символы Точка Линии - Поверхности - A, B, C, D …… a, b, c , d 1, 2, 3 …. …. П, , , …. пси тета

Условное обозначение и символы - перпендикулярность - параллельность - принадлежность - включение (содержит в себе) - логическое следствие - пересечение - совпадение - скрещивание ( АВ ) – прямая, проходящая через точки А и B [ АВ ] – отрезок прямой, ограниченный точками А и B | АВ | – расстояние между точками А и B

Начертательная геометрия - наука, изучающая методы изображения пространственных геометрических фигур на плоскости и способы решения метрических и позиционных задач по этим изображениям. Основные методы: - метод проекций; - метод сечений.

Метод проекций Основными элементами проецирования являются: - проецируемый объект (точка А) S -плоскость проекций (П 1) А -центр проецирования S i П 1 -проецирующий луч ( i ) А 1 = i П 1 А 1 -проекция точки Если проецирующий луч перпендикулярен плоскости проекций, то такое проецирование называется ортогональным (прямоугольным). А П 1 А 1 =900

Обратимость чертежа Требования к чертежу: 1. Точность 2. Наглядность 3. Обратимость восстановление оригинала по его проекционным изображениям (чертежу) – возможность определять форму, размеры объекта и его положение в пространстве. Обратимость чертежа обеспечивается проецированием на две (три) взаимно перпендикулярные плоскости проекций a b c a 1 b 1 c 1 П 1

Ортогональное проецирование Z П 1 – горизонтальная плоскость проекций 2 октант П 2 – фронтальная плоскость проекций П 3 П 2 П 3 – профильная плоскость проекций 1 октант -У X - ось абсцисс Y – ось ординат У П 1 Х 3 октант Z – ось аппликат 4 октант -Z Х У Z + + _ + 1 + _ 2 + + + _ октанты 3 4

Наглядное изображение точки Z П 2 Дано: А 1 четверти AZ A 2 П 3 A A 3 х АX 0 П 1 AY У

Наглядное изображение точки Z П 2 Дано: А 1 четверти AZ A 2 П 3 A A 3 Z х X АX 0 Y П 1 AY A 1 У Положение точки А в пространстве однозначно определяется А (XY Z) А 1 (Х, Y ) А 2 (Х, Z ) А 3 (Y, Z) координатами:

Наглядное изображение точки Z П 2 AZ A 2 х П 3 A АX A 3 0 П 1 AY У Совместим плоскость П 1 с плоскостью П 2 вращением вокруг оси ОХ, а плоскость П 3 с плоскостью П 2 вращением вокруг оси ОZ

Комплексный чертеж (эпюр Монжа) Z П 2 AZ П 3 A 3 х AX 0 AY AY A 1 П 1 У У

Комплексный чертеж (эпюр Монжа) Горизонтальная линия связи Вертикальная линия связи это чертеж (эпюр) на совмещенных плоскостях. Z (-У) П 2 AZ A 2 Y Z х (-У) AX П 3 X У (-Х) AY Y A 1 A 3 AY A 1 A 2 -расположены на одной вертикальной линии связи A 2 A 3 -расположены на одной горизонтальной линии связи П 1 А У (-Z) (X Y Z)

Комплексный чертеж (эпюр Монжа) Пример: построить комплексный чертеж точки А (20, 15). Z A 2 15 A 3 20 У 10 х A 1 У

Конкурирующие точки - это точки, расположенные на одном проецирующем луче. Фронтально- конкурирующие точки П 2 Горизонтально- конкурирующие точки Z (M 2) A 2 П 1 A 1 B 2 N х х M 1 B N 2 ( M 2 ) A 2 MA х Z П 2 B 2 M 1 У A 1 Из двух фронтально-конкурирующих точек видна та точка, которая наиболее удалена от фронтальной плоскости проекций N 2 х П 1 (N 1) B 1 У ( N 1) B 1 Из двух горизонтально- конкурирующих точек видна та точка, которая расположена выше относительно горизонтальной плоскости проекций

Задание и изображение прямой Две точки определяют прямую Для того чтобы задать прямую, необходимо и достаточно задать две ее точки. А 2 В 2 а 1 – горизонтальная проекция прямой X 12 А 1 а 2 – фронтальная проекция прямой В 1 а 1

Задание и изображение прямой Прямая относительно плоскостей проекций может занимать различные положения. Прямые общего положения ( || П ) Прямые частного положения Проецирующие прямые ( П ) Прямые уровня ( || П ) Прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения. Прямая, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций называется проецирующей прямой. Прямая, параллельная какой-либо плоскости проекций называется прямой уровня.

A 2 K 2 L 2 С 2 В 2 M 2 н. в. Z N 2 M 3 N 3 н. в. D 2 Х Y K 1 В 1 A 1 н. в. C 1 D 1 L 1 M 1 н. в. N 1 [АВ] прямая общего [CD] горизонтально- [KL] фронтально- Y [MN] профильно- положения проецирующая прямая [АВ] о. п. [СD] П 1 [KL] П 2 н. в. H 2 S 2 F 1 [EF] фронтальная прямая [EF] ׀׀ П 2 P 3 н. в. F 2 E 1 П 3 Z E 2 Х [MN] R 3 R 2 P 1 H 1 н. в. S 1 [HS] горизонтальная прямая [HS] ׀׀ П 1 R 1 Y [PR] профильная прямая [PR] ׀׀ П 3 Y

Принадлежность точки прямой Если точка принадлежит линии, то проекции точки принадлежат соответствующим проекциям этой линии. А 2 М 2 N 2 В 2 Дано; АB || П 1 П 2 M, N АB -? X М 2 А 2 B 2 М 1 А 1 B 1 А 1 М АB N 2 А 2 B 2 N 1 А 1 B 1 N АB М 1 N 1 В 1

Взаимное положение прямых в пространстве Параллельные прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек Одноименные проекции параллельных прямых всегда параллельны прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие общую точку пересечения Проекции точки пересечения прямых всегда находятся на одной линии связи С 2 L 2 M 2 T 2 А 2 S 2 Скрещивающиеся прямые, не лежащие в одной плоскости Проекции точек пересечения проекций прямых никогда не находятся на одной линии связи [EH] [GV] [СD] [AB] = M [KL] || [ST] K 2 Пересекающиеся прямые В 2 E 2 V 2 M 2 D 2 G 2 H 2 X 12 K 1 S 1 T 1 L 1 А 1 С 1 M 1 D 1 В 1 G 1 E 1 N 1 H 1 V 1

ПЛОСКОСТИ Плоскость общего положения Плоскость частного положения Плоскость уровня Проецирующая плоскость

Задание плоскости В 2 А 2 K 2 E 2 С 2 N 2 F 2 D 2 L 2 M 2 K 1 А 1 В 1 С 1 D 1 (DE, F) (ABC) R 2 P 2 E 1 M 1 F 1 А 2 S 1 (PR SG) R 1 G 1 С 1 А 1 ( ABC) 2 С 2 S 2 P 1 L 1 (KL MN) В 2 G 2 N 1 В 1 1 ( 1 2 )

Горизонтальная плоскость Фронтальная плоскость Плоскость о. п. В 2 А 2 E 2 a 2 b 2 А 1 ( ABC)- о. п. F 2 D 2 С 1 a 1 В 1 Профильная плоскость b 1 D 1 (а b) || П 1 E 1 c 2 d 2 F 1 d 3 c 1 d 1 (c d) || П 3 ( DEF) || П 2 L 2 m 2 n 2 M 2 K 2 m 1 n 1 ( m n) П 2 Фронтально-проецирующая плоскость K 1 p 3 s 3 p 2 s 2 L 1 p 1 M 1 ( KLM) П 1 Горизонтально- проецирующая плоскость s 1 (p || s) П 3 Профильно-проецирующая плоскость

Принадлежность прямой к плоскости Аксиома 1 Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат этой плоскости. Аксиома 2 Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой этой плоскости. В 2 Дано: D 2 a 2 С 2 А 2 В 1 А 1 Σ( АВС) о. п. a Σ a 1 -? A D a Σ D 1 a 1 С 1 В 2 С 2 a 2 =D 2 A 1 D 1 a 1 D 1 B 1 C 1

Главные линии плоскости – горизонталь и фронталь Горизонталью плоскости называется прямая, принадлежащая плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций П 1 h II П 1 Фронталью плоскости называется прямая, принадлежащая плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций П 2 f II П 2 B 2 A 2 f 2 h 2 12 C 2 X 12 h 1 A 1 f 1 B 1 C 1 11

Прямая пересекает плоскость Дано: Г Σ - плоскость а – прямая линия а Σ a Σ K m а Σ = К - ? 1. Заключаем прямую а во вспомогательную плоскость Г 2. Находим линию пересечения заданной плоскости Σ и вспомогательной плоскости 3. Определяем точку пересечения И линии m Г K заданной линии а 4. Определяем видимость прямой а

Прямая пересекает плоскость Г 2 а 2 B 2 Дано: 12 K 2 А 2 Σ( АВС)- о. п. a – о. п. a Σ m 2 22 а 1 a Σ=? C 2 1. а Г Г П 2 21 K 1 А 1 11 C 1 2. Г Σ = m 3. m a = K m Σ a Σ = K m 1 B 1

Прямая пересекает плоскость а 2 B 2 Дано: 12 32 Σ( АВС)- о. п. a – о. п. a Σ K 2 А 2 a Σ=? C 2 а 1 31 C 1 K 1 А 1 11 B 1 1. Видимость прямой а на фронтальной проекции определяем фронтально конкурирующими точками.

Прямая пересекает плоскость а 2 B 2 K 2 А 2 Дано: Σ( АВС)- о. п. a – о. п. a Σ 42 52 а 1 a Σ=? C 2 C 1 А 1 K 1 51 41 B 1 2. Видимость прямой а на горизонтальной проекции определяем горизонтально конкурирующими точками.

Поверхности Поверхность следует рассматривать как совокупность последовательных положений некоторой линии (образующей), перемещающейся в пространстве по направляющим линиям. l m Образующая Направляющие линии задают закон перемещения образующей. Такой способ задания поверхности называется кинематическим.

поверхности Линейчатые гранные (l – прямая) Нелинейчатые (l – кривая) поверхности вращения • пирамидальная • Коническая поверхность • призматическая • Цилиндрическая поверхность • Торовая поверхность • Сферическая поверхность

Гранные поверхности Пирамидальная поверхность – это линейчатая поверхность, образованная перемещением прямой линии, проходящей через фиксированную точку S (вершину), по ломанной направляющей m S Г(m, S) [ l m, S l ] l m Призматическая поверхность – это линейчатая поверхность, образованная перемещением прямой линии, движущейся параллельно некоторому заданному направлению s и пересекающей направляющую m, которая представляет собой ломаную линию. S l (m, s) [ l m, l ||s] m

Гранные поверхности Многогранником называют замкнутые пространственные фигуры, ограниченные плоскими многоугольниками. (многоугольники называются гранями, линии пересечения граней – ребрами, точки пересечения ребер - вершинами) А 12 S 2 C 12 B 12 M 2 N 21 А 2 B 2 12 А 1 S 1 N 1 11 1 C 2 B 2 12 А 1 C 1 11 B 1 Дано : - пирамида. N N 1 -? А 2 B 1 11 А 11 C 2 C 1 M 1 C 11 B 11 Дано : - призма. M M 1 -?

Поверхности вращения Поверхность вращения образована вращением любой образующей вокруг ее оси. экватор i F Каждая точка образующей при вращении вокруг оси описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называют параллелями E C D горло Параллель наименьшего диаметра называется горлом B Параллель наибольшего диаметра называется экватором A образующая параллели При проецирующем положении оси параллель на одну из плоскостей проекций (по отношению к которой ось перпендикулярна) проецируется в виде окружности, на другие – в виде отрезков.

Поверхности вращения меридиан Плоскость, проходящая через ось поверхности вращения называется меридиональной плоскостью Линия пересечения меридиональной плоскости с поверхностью вращения называется меридианом Все меридианы одной поверхности вращения равны между собой Очерковые меридианы называются главными Главный фронтальный меридиан Меридиан, очерковый относительно фронтальной плоскости проекций называется главным фронтальным меридианом

Линейчатые поверхности Коническая поверхность –поверхность, образованная вращением прямолинейной образующей вокруг оси, при этом, образующая пересекает ось в собственной точке. i ось Точки 1 и 2 являются опорными точками – т. е. принадлежат очерку поверхности i 2 Образующая 12 22 212 Σ ( l, i) [ l i] – коническая поверхность 21 1 11 i 1 21

Линейчатые поверхности Коническая поверхность –поверхность, образованная вращением прямолинейной образующей вокруг оси, при этом, образующая пересекает ось в собственной точке. i ось i 2 Образующая 12 32 22 212 Σ ( l, i) [ l i] – коническая поверхность 31 1 21 11 1 i 1 31 21

Линейчатые поверхности Коническая поверхность –поверхность, образованная вращением прямолинейной образующей вокруг оси, при этом, образующая пересекает ось в собственной точке. i ось i 2 Образующая 12 42 32 22 212 Σ ( l, i) [ l i] – коническая поверхность 41 11 1 31 1 21 1 i 1 41 3 2 1 1

Сфера образуется вращением окружности вокруг диаметра, который одновременно является осью вращения i. i

Сфера проецируется на все плоскости проекций в виде равных окружностей одинакового радиуса. i

Проекции сферы Главный фронтальный меридиан n 2 n 3 m 2 Экватор m 1 Главный профильный меридиан k 2 k 3 k 1 n 1

Точки на поверхности сферы Точка принадлежит поверхности сферы, если она принадлежит линии этой поверхности. i R M

Опорные точки на поверхности сферы A 2 A 1 A 3

Опорные точки на поверхности сферы D 2 I D 1 D 3 I D 3

Точки на поверхности сферы A 2 А 2 I Радиус параллели A 1 I A 1 A 3 I A 3

Конические сечения

Конус может иметь в сечении пять различных фигур: 1. Треугольник, если секущая плоскость пересекает конус, через вершину по двум образующим 2. Окружность, если секущая плоскость параллельна основанию или перпендикулярна оси, а конус прямой круговой 3. Эллипс, если секущая плоскость пересекает все образующие конуса под некоторым углом к основанию конуса. 4. Параболу, если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса 5. Гиперболу, если секущая плоскость параллельна оси конуса или параллельна двум его образующим

Две образующие(треугольник) Дано: 2 Г 2 - конус - плоскость = m m - треугольник m 2 12 11 I m 1 11 Г 1

Окружность Дано: Г 2 - конус - плоскость 2 = n n 2 n – окружность n 1 Г 1

Эллипс Дано: 2 - конус - плоскость = p 3 42 2 12 22 Г 2 52 p 2 < р- эллипс I 41 I 31 51 I 21 11 p 1 41 3 1 51 Г 1

Парабола Дано: - конус - плоскость 12 2 Г 2 а 2 32 = а = 22 21 I а- парабола а 1 31 I 11 31 21 Г 1

Гипербола Дано: - конус 2 - плоскость = с Г 2 12 с2 32 > 22 c- гипербола 21 I 31 I 11 31 с1 21 Г 1

Метод замены плоскостей проекций П 2 А 4 П 4 А B 2 ZA X 12 2. В каждом преобразовании меняется лишь одна плоскость проекций. B 4 B ZB А 1 B 1 Основные положения метода: 1. Геометрическая фигура не меняет своего положения в пространстве. X 14 3. Новая плоскость проекций перпендикулярна старой оставшейся плоскости проекций П 1 4. Геометрическая фигура ортогонально проецируется в новой системе плоскостей проекций.

1 задача. Комплексный чертеж преобразовать так, чтобы прямая общего положения стала прямой уровня. Дано: А 2 [AB] – о. п. B 2 X 12 П 1 П 2 П 4 П 1 А 1 X 14 П 1 П 4 [AB] || П B 1 П 4 || [AB] X 14= П 4 П 1 X 12 X 14|| [A 1 B 1] А 4 B 4

2 задача. Комплексный чертеж преобразовать так, чтобы прямая уровня стала проецирующей прямой. А 2 X 12 П 1 B 2 П 4 П 1 П 4 [AB] А 1 X 12 X 14 [A 1 B 1] B 1 А 4 B 4 П 1 П 4 X 14

3 задача. Комплексный чертеж преобразовать так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей. B 2 Дано: ( АВС) –о. п. А 2 X 12 П 1 П h 2 С 2 А 1 П 2 П 4 П 1 П 4 h h С 1 h 1 С 4 B 1 П 4 X 12 X 14 h 1 А 4 П 4 B 4

4 задача. Комплексный чертеж преобразовать так, чтобы проецирующая плоскость стала плоскостью уровня. B 2 Дано: ( АВС) –о. п. II П А 2 X 12 С 2 П 1 С 1 П 2 П 4 П 1 П 4 || B 1 А 1 С 4 П 1 X 14 П 4 А 4 B 4 X 12 X 14|| 1 (А 1 В 1 С 1)

Способ вспомогательных секущих плоскостей K 1 a K 2 I с Kn b d m m К 1 К 2 К 3 … Кn Линию пересечения поверхностей строят по отдельным точкам 1. Определяют опорные точки (точки пересечения контурных линий одной поверхности с другой поверхностью) 2. Выбирают промежуточные точки

Секущие плоскости должны быть выбраны так, чтобы их линии пересечения с заданными поверхностями были бы простейшими (прямыми или окружностями)

Пример 1. остроить линию пересечения поверхности конуса и сферы П Дано: - конус - сфера -?

Пример 1. остроить линию пересечения поверхности конуса и сферы П Дано: i 2 I - конус A 2 i 2 - сфера -? 2 С 2 D 2 m 2 B 2 n 2 II П 1 = m C 1 A 1 i 1 D 1 m 1 = n m n = C, D B 1 i 1 I n 1

Пример 1. остроить линию пересечения поверхности конуса и сферы П Дано: i 2 I - конус A 2 i 2 - сфера 121 12 -? I 2 2 С 2 D 2 B 2 II П 1 C 1 = m 11 1 = n m n = C, D 11 D 1 A 1 i 1 B 1 i 1 I

Пример 1. остроить линию пересечения поверхности конуса и сферы П Дано: i 2 I - конус A 2 i 2 - сфера 121 12 -? I 2 2 С 2 D 2 2 II 221 22 B 2 II П 1 C 1 11 D 1 = m 21 1 A 1 i 1 B 1 i 1 I 21 = n m n = C, D

Пример 1. остроить линию пересечения поверхности конуса и сферы П Дано: i 2 I - конус A 2 i 2 - сфера 121 12 -? I 2 2 2 II С 2 D 2 221 22 B 2 II П 1 C 1 11 D 1 = m 21 1 A 1 i 1 B 1 i 1 I 21 = n m n = C, D

Условное обозначение и символы Точка Линии — Поверхности