Урок по алгебре в 9 классе Числовые последовательности

Урок по алгебре в 9 классе «Числовые последовательности»

Повторение Готовимся к ГИА

1. Расположите в порядке убывания числа: 0, 1327; 0, 014; 0, 13 А) 0, 1327; 0, 014; 0, 13 Б) 0, 014; 0, 1327 В) 0, 1327; 0, 13; 0, 014 Г) 0, 13; 0, 014; 0, 1327 2. При каком из указанных значений х выражение не имеет смысла? А) при х = -2 Б) при х = -1 В) при х = 1 Г) при х = 0

Посмотрите внимательно и скажите: «ЧТО общего и чем отличаются функции на рисунках 1, 2, 3, 4»

Определение. Функцию y = f(x), x€N, называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f(n) или y 1, y 2, y 3, …, yn, … y 1 – первый член последовательности, y 2 - второй член последовательности, y 3 - третий член последовательности, yn - n-ый член последовательности, n - индекс, который задает порядковый номер

Математические модели ситуаций реальной жизни: Тело падает с башни высотой 26 м. В первую секунду оно проходит 2 м, а за каждую следующую секунду – на 3 м больше, чем за предыдущую. Сколько секунд тело будет падать ?

В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении 1 мин одна из них делится на два. Записать колонию, рожденную одной бактерией за 1 час, 2 часа.

Из пункта А выехал грузовой автомобиль со скоростью 40 км/ч. Одновременно из пункта В навстречу ему отправился второй грузовик, который в первый час прошел 20 км, а за каждый следующий проходил на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов они встретятся, если расстояние от А до В равно 125 км?

Найдите закономерности и покажите их с помощью стрелки: 1; 4; 7; 10; 13; … В порядке возрастания положительные нечетные числа 10; 19; 37; 73; 145; … В порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1 6; 8; 16; 18; 36; … В порядке возрастания положительные числа, кратные 5 П Р О В Е Р Ь С Е Б Я ½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6; Увеличение на 3 раза Чередовать увеличение на 2 и увеличение в 2 раза 1; 3; 5; 7; 9; … 5; 10; 15; 20; 25; … Увеличение в 2 раза и уменьшение на 1

Обозначение членов последовательности 1, 2, 3, 4, 5, …, n-1, n, n+1, … a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, …, an-1, an+1, …

• 2, 4, 6, 8, 10, . . . • 5, 10, 15, 20, 25, … Назовите 1, 2, 3, 4, 5 -ый члены последовательности a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = 2 4 6 8 10 a 1 = 5 a 2 = 10 a 3 = 15 a 4 = 20 a 5 = 25

Последовательностью называется бесконечное множество пронумерованных элементов.

Последовательности составляют такие элементы природы, которые можно пронумеровать Дни недели Дома на улице Классы в школе Названия месяцев Номер счёта в банке

Способы задания последовательностей Словесный Аналитический – с помощью формулы n-ого члена – позволяет вычислить член последовательности с любым заданным номером хn=3×n+2 x 5=3 × 5+2=17; Х 45=3× 45+2=137 Рекуррентный (от слова recursio возвращаться) х1=1; хn+1=(n+1); xn n=1; 2; 3; … можно записать с многоточием 1; 2; 6; 24; 120; 720; …

Способы задания последовательности Аналитическое задание числовой последовательности. Пример 3: Задать последовательность формулой n-го члена: а) 2, 4, 6, 8, … б) 4, 8, 12, 16, 20, …

ЗАДАЧА: Последовательность задана формулой an = 6 n – 1. Найдите первые пять членов этой последовательности.

Способы задания последовательности Словесное задание числовой последовательности. Правило составления последовательности описывается словами Пример : последовательность простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … последовательность кубов натуральных чисел 1, 8, 27, 64, 125, …

Способы задания последовательности Аналитическое задание числовой последовательности. Пример: Задать последовательность формулой n-го члена: а) 2, 4, 6, 8, … б) 4, 8, 12, 16, 20, …

Способы задания последовательности Рекуррентное задание числовой последовательности. Указывается правило позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. При вычислении членов последовательности по этому правилу мы все время возвращаемся назад, выясняем чему равны предыдущие члены, поэтому такой способ называют рекуррентным ( от латинского recurrere – возвращаться)

Способы задания последовательности Рекуррентное задание числовой последовательности. Пример 1: y 1=3, yn= yn-1 + 4, если n = 2, 3, 4, … Каждый член последовательности получается из предыдущего прибавлением к нему числа 4 y 1 = 3 y 3= y 2+ 4= 7 + 4 = 11 y 2 = y 1 + 4= 3 + 4 = 7 y 4 = y 3 + 4= 11 + 4 = 15 и т. д. Получаем последовательность 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …

Способы задания последовательности Рекуррентное задание числовой последовательности. Пример 2: y 1=1, y 2=1, yn= yn-2 + yn-1 Каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих членов y 1=1 y 2=1 y 3= y 1 + y 2 = 1 + 1 = 2 y 4 = y 2 + y 3= 1 + 2 = 3 y 5 = y 3 + y 4 = 2 + 3 = 5 и т. д. Получаем последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Способы задания последовательности Рекуррентное задание числовой последовательности. Выделяют 2 особенно важные рекуррентно заданные последовательности: 1) Арифметическая прогрессия у1 = а, уn = уn-1 + d, а и d – числа, n = 2, 3, … 2) Геометрическая прогрессия у1 = b, уn = уn-1 · q, b и q – числа, n = 2, 3, …

Монотонные последовательности Последовательность (уn ) – возрастающая, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего, т. е. у1 < у 2 < у 3 < у 4 < … < у n < … Пример: 2, 4, 6, 8, 10, … Если а > 1, то последовательность уn = аn – возрастает. Последовательность (уn ) – убывающая, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего, т. е. у1 > у 2 > у 3 > у 4 > … > у n > … Пример: -1, -3, -5, -7, -9, … Если 0 < а < 1, то последовательность уn = аn – убывает.

Монотонные последовательности Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными. Последовательности, которые не возрастают и не убывают, являются немонотонными.

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА. Последовательность задана формулой 1 в. an = 7 n – 1 2 в. an = 3 n + 2 Найдите первые пять членов этой последовательности. ОТВЕТ: 1 В. 6, 13, 20, 27, 34. 2 В. 5, 8, 11, 14, 17.