Урок 60 ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ

Урок 60 ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ

Какие нам понадобятся инструменты? • линейка 1 • циркуль 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

В геометрии выделяют задачи на построение, которые можно решить только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений. Линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки; с помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Основные этапы решения задачи на построение 1 АНАЛИЗ 2. ПОСТРОЕНИЕ 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 4. ИССЛЕДОВАНИЕ В том случае, когда при построении получаются равные фигуры, будем считать, что задача имеет единственное решение.

Алгоритм решения задач на построение 1. Анализ. Нарисовать фигуру, установить связь между данными задачи и искомыми элементами, составить план решения задачи. 2. Построение. Выполняется по намеченному плану выполняется циркулем и линейкой. 3. Доказательство. Доказать, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи. 4. Исследование. Выяснить при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько решений. 5

С помощью линейки Можно: Провести произвольную прямую Провести прямую проходящую через любую точку Провести произвольную прямую, проходящую через любые две данные точки. Нельзя: Откладывать отрезки данной длины Другие операции

С помощью циркуля • Можно описать окружность из данного центра • Отложить отрезок заданной длины • Найти искомую точку с помощью пересечения двух окружностей • Найти искомую прямую с помощью пересечения двух окружностей

Условные обозначения окр(О; г) - окружность с центром в точке О и радиусом г - знак угла - знак принадлежности - знак перпендикулярности - знак пересечения - в скобках указано множество точек пересечения : - заменяет слова ”такой что”

Задача 1 На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному Дано: Луч h, О- начало A O PQ-отрезок P Q Построить: OA: A h OA=PQ Построение: 1. окр(О; PQ) 2. h окр(O; PQ)=A 3. OA-искомый h

Задача 2 Деление отрезка пополам P Дано: АВ-отрезок Построить: О: О АВ ОА=ОВ О O B А Построение: 1. окр(А ; АВ) 2. окр(В; ВА) 3. окр(А; АВ) окр(В; ВА)= P; Q 4. PQ-прямая Q 5. PQ AB=O 6. O- искомая точка

Задача 2 Деление отрезка пополам P Дано: 1 2 АВ-отрезок Построить: О: О АВ ОА=ОВ О B А Доказательство: APQ= BPQ( по трем сторонам) так как 1) AP=BP=г 2) AQ=BQ=г 3) PQ-общая Следовательно, 1= 2 Q Значит, РО-биссектриса равнобедренного АРВ. Значит, РО и медиана АРВ. То есть, О-середина АВ.

исследование Задача 2 Деление отрезка пополам (строим окружность, радиус которой меньше данного отрезка) P Дано: АВ-отрезок Построить: О: О АВ ОА=ОВ Построение: 1. окр(А ; АF) 2. окр(В; ВM) 3. окр(А; АF) окр(В; ВM P; Q 4. PQ-прямая О O А М F B Q 5. PQ AB=O 6. O- искомая точка

исследование Задача 2 Деление отрезка пополам (при построении проводим окружность, радиус которой меньше половины данного отрезка) Дано: АВ-отрезок Построить: О: О АВ ОА=ОВ М А T B Построение: 1. окр(А ; АM) 2. окр(В; ВT) 3. окр(А; АM) не пересекает окр(В; ВT)= P; Q Значит построение середины отрезка невозможно.

Задача 3 Построение прямой перпендикулярной данной точка М принадлежит прямой а Дано: P прямая а точка M М Построить: m: A M m m a а m A 1 Построение: 1. окр(М; г); г-любой 2. окр(М; г) а= А; А 1 3. окр(А; АА 1) 7. m-искомая Q 4. окр(А 1; A 1 A) 5. окр(А; АА 1) окр(А 1; А)= P; Q 6. прямая PQ=m

Задача 4 Построение прямой перпендикулярной данной Дано: точка М не принадлежит прямой а прямая а М точка M Построить: m: M m m a Построение: 1. окр(М; г) а A m A 1 Q 2. окр(М; г) а= А; А 1 5. окр(А; АМ) окр(А 1; А 1 М)= M; Q 3. окр(А; АМ) 6. прямая МQ=m 4. окр(А 1; A 1 М) 7. m-искомая

Задача 4 Построение прямой перпендикулярной данной Дано: точка М не принадлежит прямой а прямая а точка M Построить: М 1 2 M m О m: m a m A Доказательство: AМQ= А 1 MQ( по трем Q сторонам) так как 1) AM=А 1 M=г 2) AQ=A 1 Q=г 3) MQ-общая Следовательно, 1= 2. Тогда, МО-биссектриса равнобедренного АМА 1. Значит, МО и высота АМА 1. Тогда, МQ a. а A 1

Задача 5 Построение угла, равного данному Дано: К луч ОМ А С А Построить: KOM= А О В Е М К 1 Построение: 1. окр(А, г); г-любой 2. окр(А; г) А= В; С 3. окр(О, г) 4. окр(О, г) ОМ= Е 5. окр(Е, ВC) 6. окр(Е, BС) окр(О, г)= К; К 1 7. луч ОК; луч ОК 1 8. КОМ -искомый

Задача 5 Построение угла, равного данному Дано: К луч ОМ А С А О В Е К 1 Доказательство: Построить: KOM= А AВС= ОЕК(по трем сторонам) так как 1) АВ=ОЕ=г 2) АС=ОК=г 3) ВС=ЕК=г 1 Следовательно, КОМ= А М

Задача 6 Построение биссектрисы данного угла Дано: B А Построить: Луч AE-биссектрису А А Е E E 1 C Построение: 1. окр(А; г); г-любой 5. окр(В; г 1) окр(С; г 1)= Е; E 1 2. окр(А; г) А= В; С 6. Е-внутри A 3. окр(В; г) 7. AE-луч 4. окр(С; г) 8. AEискомый

Домашнее задание • Практическая работа • Экзаменационные задачи 1 -10