Уравнивание нивелирной сети по методу наименьших квадратов параметрическим

Уравнивание нивелирной сети по методу наименьших квадратов параметрическим способом 1

Схема сети n=8 t = 4 (число параметров) r=n–t=4>0 X 1 B 16. 000 м h 3 Рп. 18 X 2 Выбор параметров: Рп. 15 h 1 h 8 h 6 h 2 X 3 Рп. 17 X 4 A 20. 000 м Рп. 25 h 7 X 1 = HРп. 18 X 2 = HРп. 15 X 3 = HРп. 17 X 4 = HРп. 25 h 4 C - исходные (твердые) пункты - определяемые пункты 25. 000 м 2

1. Составление параметрических уравнений связи n=8 B t = 4 (число параметров) r=n–t=4>0 X 1 Параметры: 16. 000 м X 2 h 3 Рп. 18 Рп. 15 h 1 h 8 h 6 h 2 X 3 Рп. 17 X 4 A 20. 000 м Рп. 25 h 7 h 4 C - исходные ( «твердые» ) пункты - определяемые пункты 25. 000 м • X 1 = HРп. 18 • X 2 = HРп. 15 • X 3 = HРп. 17 • X 4 = HРп. 25 Параметрические уравнения связи: • 1. h 1 = X 1 – HA • 2. h 2 = X 4 – X 1 • 3. h 3 = X 2 – HB • 4. h 4 = X 3 - HC • 5. h 5 = X 2 – X 1 • 6. h 6 = X 4 – X 2 • 7. h 7 = X 3 – X 4 • 8. h 8 = X 3 – X 2 3

2. Параметрические уравнения поправок (линеаризация) • • Параметрические уравнения связи • • Представим: hi = h. Ii + vi (i = 1, 2, … , n) Xi = X 0 i + δxi (i = 1, 2, … , t) • • 1. h 1 = X 1 – HA 2. h 2 = X 4 – X 1 3. h 3 = X 2 – HB 4. h 4 = X 3 - HC 5. h 5 = X 2 – X 1 6. h 6 = X 4 – X 2 7. h 7 = X 3 – X 4 8. h 8 = X 3 – X 2 • Тогда: h. I 1 + v 1 = X 01 + δx 1 – HA h. I 2 + v 2 = X 04 + δx 4 – X 01 – δx 1 h. I 3 + v 3 = X 02 + δx 2 – HB h. I 4 + v 4 = X 03 + δx 3 - HC h. I 5 + v 5 = X 02 + δx 2 – X 01 - δx 1 h. I 6 + v 6 = X 04 + δx 4 – X 02 - δx 2 h. I 7 + v 7 = XI 3 + δx 3 – X 04 – δx 4 h. I 8 + v 8 = X 03 + δx 3 – X 02 - δx 2 или: + δx 1 + l 1 = v 1 – δx 1 + δx 4 + l 2 = v 2 + δx 2 + l 3 = v 3 + δx 3 + l 4 = v 4 + δx 2 - δx 1 + l 5 = v 5 + δx 4 - δx 2 + l 6 = v 6 + δx 3 – δx 4 + l 7 = v 7 + δx 3 - δx 2 + l 8 = v 8 • • - система парам. уравнений поправок (Ax + L = V) 4

Параметрические уравнения связи Параметрические уравнения поправок h 1 = X 1 - H A h 2 = X 4 – X 1 h 3 = X 2 – HB h 4 = X 3 - H C h 5 = X 2 – X 1 h 6 = X 4 – X 2 h 7 = X 3 – X 4 h 8 = X 3 – X 2 + δx 1 + l 1 = v 1 – δx 1 +δx 4 + l 2 = v 2 + δx 2 + l 3 = v 3 + δx 3 + l 4 = v 4 + δx 2 - δx 1 + l 5 = v 5 + δx 4 - δx 2 + l 6 = v 6 + δx 3 – δx 4 + l 7 = v 7 + δx 3 - δx 2 + l 8 = v 8 Свободные члены параметрических уравнений поправок l 1 = (X 01 – HA) - h. I 1 l 2 = (X 04 – X 01) - h. I 2 l 3 = (X 02– HB) - h. I 3 l 4 = (X 03 – HC) - h. I 4 l 5 = (X 02– X 01) - h. I 5 l 6 = (X 04– X 02) - h. I 6 l 7 = (XI 3 – X 04) - h. I 7 l 8 = (X 03– X 02) - h. I 8 Здесь представлено: hi = h. Ii + vi (i = 1, 2, … , n) Xi = X 0 i + δxi (I = 1, 2, … , t) (X 0 i – приближ. знач. параметров) 5

• Вычислим приближенные значения параметров (от ближайших твердых пунктов) • X 01 = HA + h. I 1 = 20. 000 – 1. 978 = 18. 022 м • X 02 = HB + h. I 3 = 16. 000 – 0. 966 = 15. 034 м • X 03 = HC + h. I 4 = 25. 000 – 7. 981 = 17. 019 м • X 04 = X 01+ h. I 2 = 18. 022 + 7. 038 = 25. 060 м 6

Вычислим свободные члены параметрических уравнений поправок: l 1 = (X 01 – HA) - h. I 1 = (18. 022 – 20. 000) – (- 1. 978) = 0 l 2 = (X 04 – X 01) - h. I 2 =(25. 060 – 18. 022) - 7. 038 = 0 l 3 = (X 02– HB) - h. I 3 = (15. 034 – 16. 000) – (- 0. 966 ) = 0 l 4 = (X 03 – HC) - h. I 4 = (17. 019 – 25. 000) – (-7. 981 ) = 0 l 5 = (X 02– X 01) - h. I 5 = (15. 034 – 18. 022) – (-2. 969 ) = - 0. 019 м = - 1. 9 см l 6 = (X 04– X 02) - h. I 6 = (25. 060 - 15. 034) – 9. 975 = 0. 051 м = 5. 1 см l 7 = (X 03 – X 04) - h. I 7 = (17. 019 - 25. 060) – ( -8. 031 ) = - 0. 010 м = - 1. 0 см l 8 = (X 03– X 02) - h. I 8 = (17. 019 - 15. 034) – 1. 979 = 0. 006 м = 0. 6 см 7

Параметрические уравнения поправок (с числовыми своб. членами) + δx 1+ – δx 1+δx 4 + + δx 2 + = v 1 = v 2 = v 3 + δx 3 + = v 4 + δx 2 - δx 1 – 0. 9 = v 5 + δx 4 - δx 2 + 4. 2 = v 6 + δx 3 – δx 4 – 1. 0 = v 7 + δx 3 - δx 2 – 1. 4 = v 8 - матричная запись системы парам. уравнений поправок, в которой: 8

• - матрица коэффициетов системы; 9

(см) • - вектор свободных членов системы параметрических уравнений поправок • (Z – твердые пункты) 10

• • • - неизвестные системы - вектор МНКпоправок к приближенным значениям параметров. 11

• Далее систему параметрических уравнений поправок решают по МНК. • В итоге получают: • - МНК-поправки к приближенным значениям параметров; • - МНК-поправки к измерениям; • - уравненные превышения 12

• Вычисляют также уравненные значения параметров: • Поправки к измерениям используют для оценки точности измерений по формуле • • - ошибка единицы веса 13

• Затем выполняют оценку точности других нужных элементов, для которых как и в коррелатном уравнивании, заранее составляют весовые функции. • Весовые функции – это конкретные формулы, выражающие элементы, подлежащие оценке точности после уравнивания, через параметры уравнивания: 14

• Для весовых функций вычисляют сначала обратные веса, а затем средние квадратические ошибки по формулам 15

• В параметрическом способе уравнивания попутно с процедурой уравнивания сети легко выполняется оценка точности параметров. • Матрица весовых коэффициентов уравненных параметров • Корреляционная матрица • На ее главной диагонали лежат дисперсии уравненных параметров: 16

Дальнейшие вычисления выполним в среде Math. Cad 17