Уравнения вида и нестандартные методы решения При

Уравнения вида и нестандартные методы решения

При решении уравнений: (1) (2) полезны следующие утверждения: 1) Решения уравнения (2), содержащиеся в области допустимых значений уравнения (1), являются решениями уравнения (1). 2) Если f(х) - строго монотонная функция, то уравнения (1) и (2) равносильны на области допустимых значений уравнения (1). 3) Если f(х), g (х) и h (х) многочлены, то полином f(g(x)) – f(h(x)) делится на многочлен g(х) - h(х).

Пример 1: ОДЗ: R а) Заметим, что это уравнение имеет вид где = 1) Используя утверждение: 3) Если f(х), g (х) и h (х) многочлены, то полином f(g(x)) – f(h(x)) делится на многочлен g(х) - h(х). разделим = = на = =

Пример 1: ОДЗ: R а) 1) Используя утверждение: 3) Если f(х), g (х) и h (х) многочлены, то полином f(g(x)) – f(h(x)) делится на многочлен g(х) - h(х). разделим = на = = = __ __ __ 0

Пример 1: ОДЗ: R а) 1) Используя утверждение: 3) Если f(х), g (х) и h (х) многочлены, то полином f(g(x)) – f(h(x)) делится на многочлен g(х) - h(х). разделим = = на = = 2) Значит уравнение равносильно совокупности: Ответ: x = - 2, x = 1,

Замечание 1 f(g(х)) - f(h(х)) = g 2(х) - h 2(х) - 3(g(х) - h(х)) = = (g(х) - h(х))(g(х) + h(х) - 3) б) ОДЗ: R Заметим, что это уравнение вида f(g(х))=f(h(х)), где

Замечание 1 б) Используя замечание 1: f(g(х)) - f(h(х)) = g 2(х) - h 2(х) - 3(g(х) - h(х)) = = (g(х) - h(х))(g(х) + h(х) - 3) разложим на множители многочлен: тогда уравнение равносильно совокупности: ОДЗ: R

Замечание 1 б) ОДЗ: R Эти уравнения не имеют решений. то Действительно: если то если поэтому Следовательно, первое уравнение не имеет решений. и то Если то и Если же Поэтому второе уравнение не имеет решений. Отсюда следует, что уравнение б) не имеет решений.

Пример 2: ОДЗ: R Заметим, что это уравнение имеет вид где 1) Используя утверждение: 2) Если f(х) - строго монотонная функция, то уравнения (1) и (2) равносильны на области допустимых значений уравнения (1).

Пример 2: ОДЗ: R Т. к. функции 2 х и -3 -х возрастают на R, то функция f(х)=2 х-3 -х, является возрастающей на R, значит уравнение равносильно уравнению g(х)=h(х), т. е х2 - 3 x + 1 = 2 х х2 - 5 х + 1 = 0 y x Ответ:

Замечание 2 Если функция строго монотонна лишь на множестве и , то уравнение значений равносильно Пример: а) Заметим, что это уравнение имеет вид где ОДЗ: R

Замечание 2 Пример: а) ОДЗ: R 1) Определим монотонность на (-1; 1), значит убывает на 2)Найдем множество значений убывает на множестве значений значит Значит согласно замечанию 2 уравнение равносильно т. е. Ответ:

Замечание 2 Пример: б) Заметим, что это уравнение имеет вид где ОДЗ: R 1)Найдем множество значений 2)Докажем что возрастающая на множестве значений и x >1, то согласно свойству Пусть , т. к. показательной функции имеем показательную функцию возрастающую на x>1 тогда

Замечание 2 Пример: б) ОДЗ: R 2)Докажем что возрастающая на множестве значений и x >1, то согласно свойству Пусть , т. к. показательной функции имеем показательную функцию возрастающую на x>1 тогда согласно свойству степенной функции значит, т. е. функция f(x) является возрастающей на множестве значений g(x) и h(x). Согласно замечанию 2 уравнение равносильно: т. е. Ответ:

Применение свойств четности, нечетности. Полезные утверждения f(g(x)) = f(h(x)) (1): 1) Если функция четная, то уравнение f(g(x))=f(h(x)) равносильно совокупности уравнений на О. Д. З. уравнения f(g(x))=f(h(x)); 2)Если f(x) – четная и строго монотонна при x>0, то и на О. Д. З. исходного уравнения g(x)=h(x) , g(x)= -h(x); 3)Если функция f(x) нечетная и строго монотонна на О. Д. З. , то решение уравнения f(g(x))=-f(h(x)) сводится к решению уравнения g(x)= - h(x).

Пример 2: а) Заметим, что это уравнение имеет вид где ОДЗ: R f(x) – четная, т. к. воспользуемся совокупностью уравнений тогда уравнение равносильно совокупности: éнет решений , é x 2 - 1 = x - 2 , éx 2 - x + 1 = 0 , ê - 1 ± 13 =. ê 2 êx = - 1 ± 13 ; x 2 ê x - 1 = - x + 2; ê x + x - 3 = 0 ; ë ë ê ë 2 Ответ: ,

Пример 2: б) ОДЗ: R Заметим, что это уравнение имеет вид где Используя утверждение: 3)Если функция f(x) нечетная и строго монотонна на О. Д. З. , то решение уравнения f(g(x))=-f(h(x)) сводится к решению уравнения g(x)= - h(x).

Пример 2: б) Используя утверждение: ОДЗ: R 3)Если функция f(x) нечетная и строго монотонна на О. Д. З. , то решение уравнения f(g(x))=-f(h(x)) сводится к решению уравнения g(x)= - h(x). 1)f(x) – нечетная, т. к. 2)Функция f(x) - возрастающая. Докажем это. Пусть x 10, то f(x 1)<0

Использование периодичности при решении уравнений. Полезные утверждения: 1’’) Если функция периодическая периода Т, то решение уравнения f(g(x))=f(h(x)) (1) сводится к решению g(x)=h(x) + k. T (5) бесконечной совокупности решений. 2’’) Если f(x) периодическая периода Т и строго монотонна на промежутке длины Т, то на О. Д. З. исходного уравнения совокупность уравнений (5) и уравнение (1) эквивалентны.

Пример 3: это дробная часть числа х. Заметим, что это уравнение имеет вид где Ясно, что f(х) является периодической функцией периода 1 и строго возрастающей на полусегменте [0; 1). Поэтому уравнение равносильно совокупности уравнений где n - произвольное целое число.

Пример 3: это дробная часть числа х. Ясно, что f(х) является периодической функцией периода 1 и строго возрастающей на полусегменте [0; 1). Поэтому уравнение равносильно совокупности уравнений где n - произвольное целое число. Предположим p = 3 – n. Тогда решениями уравнения будут где p - произвольное целое число не больше 4. Ответ:

Класс уравнений вида: (6) 10) Корни уравнения f(x)= x (7) являются решениями уравнения (6); 20) Если f(x) возрастающая, уравнение (6) равносильно(7); 30) Если f(x) непрерывна на D(f), которая является промежутком , то уравнение (6) не имеет корней, если уравнение (7) не имеет решений.

Пример 4: а) Преобразуем дробь (числитель и знаменатель делим на )

Пример 4: а) тогда уравнение примет вид f(f(x))=x, согласно утверждению 30) Если f(x) непрерывна на D(f), которая является промежутком , то уравнение (6) не имеет корней, если уравнение (7) не имеет решений. нет решений. проверим уравнение f(x)=x; f(x) – непрерывна на R. Ответ: нет решений

В заключение изучения уравнений, составленных из функций, являющихся суперпозициями более простых функций, остановимся на уравнениях вида: где f(х) - некоторая функция, - функция, обратная к функции f(х) и левая часть уравнений (12) и (13) есть результат действия n раз f на х (n - кратная суперпозиция f). Ясно, что решение уравнений (13) сводится к решению уравнений вида (12). Приведем пример.

Пример 5: а) где возведение в куб в левой части уравнения повторяется n раз; Решение. а) Нетрудно заметить, что уравнение имеет вид , причем f(х) = 6 + х3 (если у = 6 + х3, то х = ). Поскольку функция f(x) возрастающая, то уравнение равносильно уравнению и, следовательно, эквивалентно уравнению f(х) = (х), т. е. уравнению 6 + х3 = х. Отсюда следует, что уравнение a) имеет одно решение х = -2.