Уравнения с модулем Абсолютная величина
Определение модуля n Модулем (абсолютной величиной) действительного числа х, т. е. | x|, называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное
1. Свойства модуля 1. | а • b | = | а | • | b | для любых чисел а и b 2. | |= 3. при в ≠ 0 | а |2= а 2 для любого числа а
n n 2. Простейшим из уравнений, содержащих модули, является уравнение вида | f(x) | = a, где, а≥ 0. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений. [ Если а<0, то множество решений такого уравнения пусто. Пример 1. Решить уравнение | x 2 + 3 x – 2 | = 2 n Решение: Исходное уравнение при любом x є R равносильно совокупности уравнений: n 1) x 2 +3 x-2 = 2 x 2 +3 x – 4=0 x 1=1, x 2 = -4 2) x 2 +3 x-2 =- 2 x 2 +3 x =0 x 3=0, x 4 =-3 Ответ: { 4; 3; 0; 1 } n n
n n n Более сложными являются уравнения вида | f(x) | = g(x), где f(x), g(x) – некоторые функции действительного переменного х. 1) При g(x) <0 множество решений такого уравнения пусто; 2) При g(x) =0 заданное уравнение эквивалентно уравнению f(x) = 0 3) При g(x) >0 исходное уравнение равносильно совокупности Γ f(x) = g(x), Lf(x) = -g(x).
Пример 2. Решить уравнение | 1 – 2 x | = 3 x - 2 n Решение: Заметим, что Зх 2≥ 0, т. е. х ≥ или х є ( ; +∞) Нa множестве х є ( ; + ∞) заданное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: 1) 1 -2 х=Зх-2 X 1 = 2)1 2 х= (Зх 2) X 2 = 1 n Поскольку < , то n посторонний корень, а Ответ: 1. n n , т. е. X 1 –
n n Теперь рассмотрим уравнения вида | а 1 х – в 1|+ | а 2 х – в 2 | + … + | аnх – вn | = ах + в, где а 1, а 2, а 3, … , аn, в 1, в 2, в 3 некоторые числа принадлежащие R, х действительная переменная строится по следующей схеме. Область допустимых значений переменной заданного уравнения разбивается на множества, на каждом из которых знаки подмодульных выражений постоянны. Нa каждом таком множестве исходное уравнение заменяется (с учётом знаков подмодульных выражений) эквивалентным ему уравнением, не содержащим абсолютных величин. Объединение решений полученной таким образом совокупности уравнении является решением заданного уравнения.
Пример 3. Решить уравнение | 2 х+5 | | 3 х | = 0, 5 n n n Решение. Область допустимых значений переменной вся числовая ось. Найдём точки, в которых подмодульные выражения равны 0: 2 х+5=0, т. е. х1= 2, 5; 3 х=0, т. е. х2 = 3.
n n n n n Разобьём область допустимых значений полученными точками на множества ( ∞; 2, 5), ( 2, 5; 3), (3; +∞) Определим знаки подмодульных выражений на каждом из полученных множеств (они записаны в таблице 1) Таблица 1 ( ∞; 2, 5) ( 2, 5; 3) (З; + ∞) 2 х + 5 + + 3–х + + Таким образом, исходное уравнение | 2 x+5 | | 3 х | =0, 5 равносильно совокупности уравнений: 1) х< 2, 5 (2 х +5) (3 х)=0, 5 2 х 5 – 3 + х=0, 5 х=8, 5 х= 8, 5, 8, 5 ( ∞; 2, 5).
n 2) при 2, 5 ≤ х < 3 2 х+5 (3 х) = 0, 5 2 х+ 5 3+х = 0, 5 3 x = 1, 5 х = 0, 5є[ 2, 5; 3) n 3) при х ≥ 3 n Ответ: { 8, 5; 0, 5 } Уравнение вида F( | f 1(x) |, | f 2(x) |, …, | fn(x) | ) = 0, где f 1(x), f 2(x), …, fn(x) – некоторые функции действительной переменной х, решаются совершенно аналогично способу, рассмотренному выше. n 2 х+5+(3 х)=0, 5 2 х+5+3 х=0, 5 х= 7, 5, 7, 5 є [3; + ∞)
3. Теперь рассмотрим некоторые утверждения, применение которых позволяет значительно упростить решение уравнений с модулями. n n n Утверждение 1. Равенство | а+в | = | а | + | в | является верным, если ав ≥ 0. Доказательство. Действительно, после возведения обеих частей данного равенства в квадрат, получим, | а+в |2 = |a|2 + 2|ав | + |в|2 a 2 + 2 ав + в 2 = a 2 + 2|ав |+ в 2 , откуда | ав | = ав А последнее равенство будет верным при ав ≥ 0. Утверждение 2. Равенство | а-в | = | а | + | в | является верным при ав ≤ 0. Доказательство. Для доказательства достаточно в равенстве | а+в | = | а | + | в | заменить в на -в, тогда а( -в) ≥ 0, откуда ав ≤ 0
n n Утверждение 3. Равенство | а | + | в | = а+в выполняется при а≥ 0 и в ≥ 0. Доказательство. Рассмотрев четыре случая а≥ 0 и в ≥ 0; а≥ 0 и в<0; а<0 и в≥ 0; а<0 и в<0, непосредственно убедимся в том , что равенство выполняемы только при а≥ и в≥ 0 Утверждение 4. Равенство | а | | в | = | а в | справедливо при условии в(а – в) ≥ 0. Доказательство. Запишем данное равенство в виде | а – в | + | в | = |а|. Согласно утверждению 1 полученное равенство является верным, если (а – в)в ≥ 0. Утверждение 5. Равенство | а+в | = | а | | в | справедливо при в(а + в)≤ 0. Это утверждение следует из предыдущего при замене в на -в.
Пример 4. Решить уравнение: | 2 х 2| = |х3 2 | + | 2 х х3 | n n n Решение: Так как |х3 2 | + | 2 х х3 | = |х3 2 + 2 х х3 |, то все корни уравнения находятся среди решений неравенства (х3 2 )(2 х – х3)≥ 0 (утверждение 1). Решим это неравенство методом интервалов; х(х3 – 2)(х2 – 2)≥ 0 х(х3 – 2)(х + )≤ 0 + + + 0 х Ответ: [ ; 0] U [ ; ]
4. В иных примерах совсем не следует торопиться с раскрытием модулей, надо прежде всего рассмотреть выражение в целом Пример 7. Решить уравнение: n В «целом» произведение двух дробей может быть равна 1 только в трёх случаях: n а) если дроби взаимно обратны, т. е. х+1= х+2 и | х+1| = | х+2|, но это не возможно при любых х. n б) если каждая из них равна 1, то получим и. Из первого уравнения следует х+1>0 х > 1. Из второго уравнения получим х+2>0 х> 2. Общее решение: х> 1. в) если каждая из них равна 1, то получим и. Из первого уравнения следует х+1<0 х< 1. n
n n n Из второго уравнения получим х+2<0 х< 2. Общее решение: х< 2. Ответ: ( ∞; 2)U( 1; +∞) Пример 8. Решить уравнение: n а) и положительные слагаемые. Сумма положительных чисел не может быть отрицательной, поэтому этот случай отвергается. б) Каждое слагаемое равно 1. Тогда получим систему уравнений. Первое уравнение х+1 = |х+1| х+1<0 х< 1 Второе уравнение х 2 = |х 2| х 2<0 х<2 Общее решение х< 1 n Ответ: (-∞; -1) n
Скачать презентацию Уравнения с модулем Абсолютная величина Определение модуля
Uravneniya_s_modulem2.ppt